Eigene Lautstärke in verschiedenen Bezugsrahmen (und Tetraden)

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Eigene Lautstärke in verschiedenen Bezugsrahmen (und Tetraden)

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Mich interessiert das Verhalten der Eigenlautstärke beim Umschalten des Bezugsrahmens . Ich weiß zum Beispiel, dass das richtige Volumenelement für die Schwarzschild- und Kerr-Schwarzen Löcher leicht aus den Formeln extrahiert werden kann:

$V=\sqrt{g}dr d\theta d\phi = \frac{r^{5/2} \sin (\theta )}{\sqrt{r-2 m}}$

(Wo wir nur die räumlichen Komponenten der ausgewählt haben $g_{\mu \nu}$ für die Determinante)

Ich bin jedoch daran interessiert zu sehen, wie sich dieses Eigenvolumen nach Ansicht verschiedener Beobachter ändert. Ich weiß zum Beispiel, dass der lokale Bezugsrahmen mit einer Tetrade ausgedrückt werden kann:

$e^m_\mu=\left( \begin{array}{cccc} \sqrt{\frac{r-2 m}{r}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{\frac{r^2}{r^2-2 m r}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{r^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{r^2} \sin (\theta ) \\ \end{array} \right)$

Was erfüllt: $e_{c}{}^{b} e_{e}{}^{d} g_{bd} = \eta_{c e}$ (die Tetradentransformation in das lokale Bezugssystem)

Jetzt interessiert mich, was die richtige Lautstärke ist $V_{\rm local}$ befindet sich in diesem lokalen Bezugsrahmen, der durch die Tetrade gegeben ist. Ist das möglich?

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Eigene Lautstärke in verschiedenen Bezugsrahmen (und Tetraden)

Bence Racskó · Answer 1

Nun, um Volumen zu berechnen, braucht man eine Hyperfläche.

Lassen $\Sigma$ sei eine solche Hyperfläche, lokal beschrieben als

X^{μ} = Φ^{μ} (ξ),

$x^\mu=\Phi^\mu(\xi),$ Wo

ξ = (ξ^{1}, ξ^{2}, ξ^{3})

$\xi=(\xi^1,\xi^2,\xi^3)$ sind lokale Koordinaten auf der Hyperfläche. Lasst uns annehmen

Σ

$\Sigma$ ist raumartig, da Sie das anscheinend anstreben.

Die induzierte Metrik ist dann positiv definit und wird durch gegeben

γ_{ich J} = G_{μ v} \frac{\partial Φ^{μ}}{\partial ξ^{ich}} \frac{\partial Φ^{v}}{\partial ξ^{J}},

$\gamma_{ij}=g_{\mu\nu}\frac{\partial\Phi^\mu}{\partial\xi^i}\frac{\partial\Phi^\nu}{\partial\xi^j},$

das Volumenelement ist dann

D Σ = \sqrt{det γ} D^{3} ξ .

$d\Sigma=\sqrt{\det\gamma}d^3\xi.$

Lassen $e_{(a)}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ ein orthonormaler Rahmen sein $\Sigma$ , also haben wir

δ_{A B} = γ_{ich J} e_{(A)}^{ich} e_{(B)}^{J},

$\delta_{ab}=\gamma_{ij}e^i_{(a)}e^j_{(b)},$ Wenn man die Determinante beider Seiten nimmt, erhält man

1 = det γ \cdot (det e)^{2}, \sqrt{det γ} = det (e^{- 1}),

$1=\det\gamma\cdot(\det e)^2, \\ \sqrt{\det\gamma}=\det(e^{-1}),$ ist bezeichnen wir den Doppelrahmen mit

θ^{(a)} = θ_{i}^{(a)} d ξ^{i}

$\theta^{(a)}=\theta^{(a)}_id\xi^i$ (wir haben

e_{(a)}^{i} θ_{i}^{(b)} = δ_{a}^{b}

$e^i_{(a)}\theta^{(b)}_i=\delta^b_a$ ), wir haben

\sqrt{det γ} = det θ,

$\sqrt{\det\gamma}=\det\theta,$ also das Volumenelement ist

D Σ = det θ D^{3} ξ .

$d\Sigma=\det\theta d^3\xi.$

Ah, ich verstehe, also wäre in diesem Fall die richtige Lautstärke: $d\Sigma = det (e_m^\mu)^-1 dx dy dz=r^2 \sin (\theta ) \sqrt{\frac{r}{r-2 m}} dx dy dz$ ? Nur zur Bestätigung, dass ich es richtig verstanden habe.
Macht nichts, ich habe es jetzt! Zur Verdeutlichung für andere mag es hilfreich sein zu bemerken, wie ich die obige Herleitung wiederholt habe: Wir haben $d\xi^m=e^m_{\ \ \mu} dx^\mu$ , und wenn wir setzen $dx^0=0$ , erhalten wir das obige Ergebnis für $d^3 \xi=\sqrt{det\gamma}^{-1} dx^1 dx^2dx^3$

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Bence Racskó

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