Lassen sei die Raumzeit-Mannigfaltigkeit und betrachten wir ein lokales Koordinatensystem
Dies ist eine Möglichkeit, das Raumzeit-Ereignis zu beschreiben mit einer Reihe von Zahlen: ein anderes lokales Koordinatensystem definiert an beschreibt das gleiche Ereignis mit unterschiedlichen Nummern , was zusammenhängen muss auf der Kreuzung von .
Soweit ich weiß, sind lokale Koordinatensysteme nur Beobachter, die dasselbe Ereignis aus verschiedenen Blickwinkeln sehen und mit unterschiedlichen Zahlen beschreiben.
Gegeben sei eine Pseudo-Riemannsche Metrik , man kann es bzgl. zweier verschiedener Koordinatensysteme ausdrücken als
Es wird oft gesagt, dass die Eigenzeit eines sich bewegenden Teilchens durch einen BEOBACHTER gegeben wird, der auf dem Teilchen sitzt und das Teilchen selbst in Ruhe sieht. Daher
Ich möchte die obigen Punkte aus mathematischer Sicht verstehen.
Die Beziehung zwischen Beobachtern und Koordinaten ist leider nicht ganz so einfach. Dies gilt in der speziellen Relativitätstheorie für Trägheitsbeobachter (bis zu einem gewissen Grad), aber in einem allgemeineren Fall ist die Beziehung zwischen den beiden subtiler.
Ein Beobachter ist im Allgemeinen eine zukunftsorientierte zeitartige Kurve . Manchmal geben wir ihnen auch zusätzliche Attribute, um wiederzugeben, wie ein tatsächlicher physischer Apparat funktionieren könnte: eine Borduhr (Dies liegt daran, dass die Zeit, die ein Beobachter misst, nicht unbedingt die richtige Zeit ist), was eine monoton zunehmende Funktion von Punkten der Kurve nach ist :
Dies wird meistens verwendet, wenn wir normalerweise über tatsächliche Experimente nachdenken wird einfach die richtige Zeit widerspiegeln. Ein Beobachter kann auch einen lokalen Rahmen haben , das sind drei linear unabhängige raumähnliche Richtungen, so dass wir Messungen von Richtungen wie Einfallswinkeln und dergleichen durchführen können.
Da ein Beobachter nun eine einfache Kurve ist, kann er nicht mit einem Koordinatensystem äquivalent sein, weil ein Beobachter nichts außerhalb seiner unmittelbaren Umgebung wirklich messen kann. Ein einfacher Grund, warum nicht, ist der folgende: Betrachten Sie ein Koordinatensystem, das an einen Beobachter angepasst ist, und führen Sie dann einen Diffeomorphismus darauf aus, der die Identität um den Beobachter herum, aber nicht außerhalb seines Bereichs ist. Aus Sicht des Beobachters wird es keinen Unterschied geben.
Wie können wir also einen Beobachter einem Koordinatensystem zuordnen? Die einfachste Art, wie dies normalerweise geschieht, besteht darin, dass Ihr Beobachter eine Linie konstanter räumlicher Koordinaten sein kann und seine Koordinate in zeitähnlicher Richtung der Eigenzeit (oder seiner Borduhr, wenn Sie dies wünschen) entsprechen kann. Wenn unser lokaler Rahmen nicht zu verrückt ist, können wir ihn außerdem so gestalten, dass der lokale Rahmen in derselben Richtung wie die Koordinatenbasis ausgerichtet ist. Wenn der Beobachter ein Geodätischer ist, sind das die Fermi-Koordinaten . Es gibt allgemeinere Prozesse, die Sie für willkürlichere Beobachter verwenden können, aber das sind die gebräuchlichsten.
Fermi-Koordinaten und andere Koordinaten ihres Typs (z. B. Radarkoordinaten) sind immer lokaler Natur und etwas willkürlich. Sie stimmen normalerweise in der Nähe des Beobachters etwas überein, können aber beginnen, je weiter Sie sich entfernen, zu divergieren, und es gibt normalerweise einen Punkt, ab dem sie nicht mehr gültig sind (z. B. bei Vorhandensein eines geschnittenen Locus ) .
Es ist möglich, eine bessere Methode zu haben, um Koordinaten "physisch" zu konstruieren, wenn Sie einen Beobachter haben, der durch jeden Punkt des Raums geht, aber das ist ein komplexerer Prozess.
Können Sie auf der anderen Seite einen Beobachter umgekehrt bekommen, beginnend mit einigen Koordinaten? Die Antwort wird zunächst offensichtlich nein sein. Ein klassisches Beispiel sind die Nullkoordinaten
Die konstanten Linien dieser Koordinaten sind alle Nullkurven und daher keine Beobachter, obwohl dies nur der Minkowski-Raum ist. Wenn eine Ihrer Koordinaten jedoch eine zeitähnliche Kurve ist, können Sie einfach eine Linie entlang dieser Koordinate ziehen (für zusätzlichen Spaß bei den räumlichen Koordinaten Null), die Tetraden als lokalen Rahmen setzen, und dies ist tatsächlich der Beobachter dieses Koordinatensystems an diesem Punkt. Beachten Sie jedoch, dass es sich bei dieser Kurve weder garantiert um eine Geodäte noch um die richtige Zeit handelt. Es ist ein gängiger Trick in der Allgemeinen Relativitätstheorie, dass Sie, wenn Ihre Metrik stationär ist, immer nur eine ziemlich einfache Koordinatentransformation durchführen können
was nichts als die zeitähnliche Komponente der Metrik ändern wird, in diesem Fall, wenn Ihre Kurve ursprünglich als Eigenzeit verlief, wird sie dies nicht mehr tun.