Ein großes Problem in Landaus Statistical Mechanics Book

Diese Frage betrifft: Landau; Kurs für Theoretische Physik, Band 5, Statistische Physik, Teil 1, Dritte Auflage, überarbeitet und erweitert .

In Kapitel IV, Abschnitt 37 besteht das Ziel darin, die Boltzmann-Verteilung ¹ abzuleiten ; wir wollen also einen Ausdruck für die mittlere Besetzungszahl eines Staates ableiten$k$, für ein perfektes Gas mit sehr niedriger mittlerer Besetzungszahl:

Die über das Buch berichtete Resonanz beginnt wie folgt:

Denn die Gibbs-Verteilung wurde für Körper abgeleitet, die relativ kleine, aber gleichzeitig makroskopische Teile großer geschlossener Systeme sind. Die makroskopische Natur dieser Körper ermöglichte es, sie als quasi geschlossen zu betrachten, dh ihre Wechselwirkung mit anderen Teilen des Systems teilweise zu vernachlässigen. Im betrachteten Fall sind die einzelnen Moleküle des Gases quasi geschlossen, obwohl sie sicherlich keine makroskopischen Körper sind. Wenn wir die Gibbs-Verteilungsformel auf die Gasmoleküle anwenden, können wir sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Molekül im k-ten Zustand befindet, proportional zu ist$e^{\mathcal{E}_k/k_BT}$, und damit auch der Mittelwert$\langle n_k \rangle$von Molekülen in diesem Zustand, dh

$$\langle n_k \rangle = a \exp{\left[\frac{\mathcal{E}_k}{k_BT}\right]}\tag{37.2}$$

Hier stoßen wir auf das erste Problem: Die Gibbs-Verteilung gibt uns eine Wahrscheinlichkeit, aber eine Wahrscheinlichkeit wofür? In Kapitel III, Abschnitt 28 , wo Landau die Form der Gibbs-Verteilung herleitet, heißt es:

Unser Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeit zu finden$p_i$eines Zustands des gesamten Systems, in dem sich der betreffende Körper in einem bestimmten Quantenzustand befindet (mit Energie$E_n$), dh ein mikroskopisch definierter Zustand.

Wir können also sagen, dass die Wahrscheinlichkeit$p_i$gegeben durch die Gibbs-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein System in einem bestimmten Mikrozustand befinden muss. Ich meine: Angenommen, wir haben es mit einem makroskopischen System zu tun, dieses makroskopische System besteht aus vielen kleinen Subsystemen (zum Beispiel: ein Gas kann das makroskopische System sein und die Teilchen des Gases sind all die kleinen Subsysteme, die komponieren), natürlich hat unser makroskopisches System einen makroskopischen Zustand (es hat ein Volumen, eine Temperatur usw.), aber es hat auch einen mikroskopischen Zustand (alle Positionen und Impulse aller kleinen Teilchen, aus denen es besteht); nun: in diesem Zusammenhang gibt uns die Gibbs-Verteilung die Wahrscheinlichkeit, dass sich das makroskopische System in einem bestimmten mikroskopischen Energiezustand befindet$\mathcal{E}_i$. ²

Wir können jetzt sehen, dass die Argumentation im ersten Zitat nicht stichhaltig ist! Die Gibbs-Verteilung benötigt ein makroskopisches System, das einen makroskopischen und einen mikroskopischen Zustand haben kann, um Sinn zu haben. Was nimmt Landau im ersten Zitat als sein makroskopisches System? Das perfekte Gas? Kann nicht sein! Tatsächlich die Energie$\mathcal{E}_i$ist nicht die Energie des gesamten Mikrozustands des Gases, die Energie aller Teilchen in einem bestimmten Zustand, sondern die Energie eines bestimmten Zustands, den ein einzelnes Teilchen einnehmen kann! Was macht er also? Nimmt er ein einzelnes Teilchen als das System an, für das die Gibbs-Verteilung gilt? Aber wenn ja, macht das überhaupt keinen Sinn! Ein einzelnes Teilchen ist kein System, es kann keinen Makrozustand und keinen Mikrozustand haben, die Gibbs-Verteilung ist einfach nicht für ein einzelnes Teilchen definiert. Oder zumindest ist die Gibbs-Verteilung in diesem Fall mit der von Landau selbst bereitgestellten Definition nicht gut definiert! Was geht hier vor sich? Warum sagt Landau das?$\langle n_k \rangle$muss proportional sein$\exp{\left[\frac{\mathcal{E}_k}{k_BT}\right]}$?

Aber das ist nicht das einzige Problem. Im selben Kapitel IV, Abschnitt 37 heißt es dann:

Der konstante Koeffizient in (37.2) kann durch die thermodynamischen Größen für das Gas ausgedrückt werden. Dazu geben wir eine andere Herleitung der Formel an, basierend auf der Anwendung der Gibbs-Verteilung auf die Anordnung aller Teilchen im Gas, die sich in einem bestimmten Quantenzustand befinden. Wir sind dazu in der Lage (auch wenn die Zahlen$n_k$sind nicht klein), da zwischen diesen Teilchen und dem Rest (oder zwischen irgendwelchen Teilchen in einem idealen Gas) keine direkte Wechselwirkungskraft besteht und die Quantenaustauscheffekte nur für Teilchen im gleichen Zustand auftreten. Putten$E = n_k\mathcal{E}_k$,$N = n_k$und das Suffix hinzufügen$k$Zu$\Omega$in der allgemeinen Formel für die Gibbs-Verteilung für eine variable Teilchenzahl (35.2) finden wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung für verschiedene Werte von$n_k$als

$$p_{n_k}=\exp{\left[\frac{\Omega _k+n_k\mu-n_k\mathcal{E}_k}{k_BT}\right]}\tag{37.4}$$

Ich habe hier auch ein paar Probleme, und ich vermute stark, dass all diese Inkongruenzen irgendwie miteinander verbunden sind, deshalb habe ich sie in derselben Frage gemeldet: Das erste Problem hier ist, dass (37.4) einfach die großkanonische Verteilung ist, oder ? Per Definition sollte diese Formel für ein makroskopisches System gelten, das sowohl einen makroskopischen Zustand als auch einen mikroskopischen Zustand haben kann, genau wie die kanonische Verteilung, auch bekannt als Gibbs-Verteilung. Aber noch einmal: Welches System wird von der Grand Canonical Distribution berücksichtigt? Das ganze System des perfekten Gases? Nur die Teilchen in einem Zustand? Landaus Buch ist nicht eindeutig.. Und außerdem: $\Omega$si natürlich das große Potential , und per Definition ist das große Potential ein Potential eines makroskopischen Zustands eines makroskopischen Objekts! Wir können über das großartige Potenzial des gesamten Gases sprechen, also warum hat es im Namen von Gauß einen Index?$k$das rechnet mit den mikroskopischen zuständen?? Die Formel des großen Potentials enthält Entropie! Zum Aufschrei: Von der Entropie eines Mikrozustands zu sprechen, macht keinen Sinn! Entropie ist eine Eigenschaft eines makroskopischen Systems und wird durch die Anzahl der mikroskopischen Zustände definiert, mit denen das makroskopische System kompatibel ist! All diese Argumente, die in Landaus Buch wiedergegeben werden, ergeben für mich aus den Gründen, die ich dargelegt habe, keinen Sinn. Was ist los?

[1]: Für Landau ist die Boltzmann-Distribution kein Synonym für die Gibbs-Distribution, im Gegensatz zu dem, was der Wikipedia-Hauptartikel zu diesem Thema aussagt.
[2]: Ein wichtiges Detail: Damit die Gibbs-Verteilung angewendet werden kann, muss das makroskopische System ein kanonisches System sein ; alias Kanonisches Ensemble .