Ein Problem bei der Projektilbewegung

Question

Ein Problem bei der Projektilbewegung

Ambica Govind

Die Problemstellung lautet wie folgt:

Zwei Massenkugeln $M$ Und $2M$ horizontal mit der gleichen Anfangsgeschwindigkeit geschleudert werden $u$ von der Spitze eines hohen Turms und erleben Sie einen zähflüssigen Sog $-kv$ ( $k>0$ ) Wo $v$ ist die Momentangeschwindigkeit. Vergleichen Sie die Reichweiten der beiden Projektile.

Nun habe ich die Bewegung einer Kugel horizontal und vertikal getrennt betrachtet. Die einzige Beschleunigungskomponente entlang der horizontalen Richtung wurde durch Luftwiderstand bereitgestellt. Die Gleichung wäre also a = -kp/m ( a ist die horizontale Beschleunigung und p ist die momentane horizontale Geschwindigkeit. ) Die Beschleunigung ist umgekehrt proportional zur Masse und daher würde der schwerere Ball eine geringere Beschleunigung haben und dann der schwerere Der Ball würde weiter entfernt auf dem Boden aufschlagen. Mein Instinkt veranlasste mich, zweimal wie folgt zu integrieren: p dp/dx = -kp/m ( x ist die horizontale Verschiebung) und dann bzgl. Zeit (t) zu integrieren, dies ist die Gleichung, die ich erhielt: ln (x) = -kt / M. Jetzt frage ich mich selbst, weil ich das Gefühl habe, dass die Flugzeit für beide Massen nicht gleich sein würde. Ich versuchte, die Flugzeit zu berechnen, indem ich die vertikale Bewegung analysierte, und erhielt eine Differentialgleichung, die ich schwer zu lösen finde (ich bin nur ein Gymnasiast, der noch nicht mit der Hälfte des Kalkülteils des Kurses fertig ist: P) War mein erste Lösung richtig? Oder wird mir die sukzessive Integration eine ganz andere Antwort geben?

Petrus1904

Beachten Sie das

a_{x} (t) = - \frac{k}{m} v_{x} (t)

$a_x(t) = -\frac{k}{m}v_x(t)$ , und ist daher keine von der momentanen Horizontalgeschwindigkeit abhängige Konstante

p

$p$ . Um dies zu lösen, müssen Sie ein DE lösen, aber zum Glück die trivialste Form:

\ddot{x} (t) = - \frac{k}{m} \dot{x} (t)

$\ddot{x}(t) = -\frac{k}{m}\dot{x}(t)$ , mit

\dot{x} (0) = p

$\dot{x}(0) = p$ Und

x (0) = 0

$x(0) = 0$ . Die resultierende Lösung ist wahrscheinlich eine Exponentialfunktion wie

x (t) = - \frac{p m}{k} e^{- \frac{k}{m} t} + p

$x(t) = -\frac{pm}{k}e^{-\frac{k}{m}t}+p$ . Jetzt liegt es an Ihnen, dasselbe für die vertikale Richtung zu tun, die wichtig ist, um festzustellen, wann der Ball den Boden berührt hat!

Chet Miller

Gibt es den Widerstand nicht auch in vertikaler Richtung?

Chet Miller

Beim Integrieren hast du das weggelassen. Integrationskonstante. Die Differentialgleichung für x sollte lauten:

\frac{D X}{D T} = u - \frac{k}{M} X

$\frac{dx}{dt}=u-\frac{k}{m}x$

Ambica Govind

@ Petrus1904 In der Tat kann ich es nicht genau beantworten, bis ich das DE gelöst habe, das auch im Fall einer vertikalen Bewegung erhalten wurde. Danke schön:)

Ambica Govind

@Chet Miller Oh ja, das ist mir aufgefallen. Aber wird das etwas ändern?

Chet Miller

@ Petrus1904 Ihre Lösung für x (t) muss korrigiert werden. Die beiden Terme haben nicht die gleichen Einheiten.

Petrus1904

@ChetMiller Ich sehe, Sie haben in der Antwort unten die richtige Antwort gegeben. meine "Lösung" passt tatsächlich nicht zur Anfangsbedingung von x. Ich war mir nicht sicher, ob meine Antwort richtig war, da ich sie nur schnell abgeleitet habe, daher der Grund, warum ich "so etwas wie" davor gesetzt habe: P

Antworten (2)

Ein Problem bei der Projektilbewegung

Beachten Sie das $a_x(t) = -\frac{k}{m}v_x(t)$ , und ist daher keine von der momentanen Horizontalgeschwindigkeit abhängige Konstante $p$ . Um dies zu lösen, müssen Sie ein DE lösen, aber zum Glück die trivialste Form: $\ddot{x}(t) = -\frac{k}{m}\dot{x}(t)$ , mit $\dot{x}(0) = p$ Und $x(0) = 0$ . Die resultierende Lösung ist wahrscheinlich eine Exponentialfunktion wie $x(t) = -\frac{pm}{k}e^{-\frac{k}{m}t}+p$ . Jetzt liegt es an Ihnen, dasselbe für die vertikale Richtung zu tun, die wichtig ist, um festzustellen, wann der Ball den Boden berührt hat!
Beim Integrieren hast du das weggelassen. Integrationskonstante. Die Differentialgleichung für x sollte lauten: $\frac{D X}{D T} = u - \frac{k}{M} X$ $\frac{dx}{dt}=u-\frac{k}{m}x$
@ Petrus1904 In der Tat kann ich es nicht genau beantworten, bis ich das DE gelöst habe, das auch im Fall einer vertikalen Bewegung erhalten wurde. Danke schön:)
@Chet Miller Oh ja, das ist mir aufgefallen. Aber wird das etwas ändern?
@ Petrus1904 Ihre Lösung für x (t) muss korrigiert werden. Die beiden Terme haben nicht die gleichen Einheiten.
@ChetMiller Ich sehe, Sie haben in der Antwort unten die richtige Antwort gegeben. meine "Lösung" passt tatsächlich nicht zur Anfangsbedingung von x. Ich war mir nicht sicher, ob meine Antwort richtig war, da ich sie nur schnell abgeleitet habe, daher der Grund, warum ich "so etwas wie" davor gesetzt habe: P

Chet Miller · Answer 1

Ich habe Ihre endgültige Lösung für die horizontale Richtung nicht gesehen. Ich bekomme

X = \frac{M u}{k} (1 - e^{- \frac{k}{M} T})

$x=\frac{mu}{k}\left(1-e^{-\frac{k}{m}t}\right)$ Ich hätte mit der Analyse der horizontalen Richtung anders begonnen, indem ich zuerst nach der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit aufgelöst hätte:

\frac{D v_{X}}{D T} = - - \frac{k}{M} v_{X}

$\frac{dv_x}{dt}=--\frac{k}{m}v_x$ Vorbehaltlich der Anfangsbedingung

v_{x} = u

$v_x=u$ bei t = 0 integriert sich dies zu

v_{X} = u e^{- \frac{k}{M} T}

$v_x=ue^{-\frac{k}{m}t}$ Dann hast du

\frac{D X}{D T} = u e^{- \frac{k}{M} T}

$\frac{dx}{dt}=ue^{-\frac{k}{m}t}$ Dies integriert sich in das (korrekte) Ergebnis, das ich oben für x angegeben habe.

Danke für diese Korrektur, obwohl es eine echte Hilfe wäre, wenn Sie die Gleichung für die Bewegung auch in vertikaler Richtung lösen könnten.
Wie würde Ihnen das helfen, dieses Problem zu lösen? (Alle Informationen, die Sie zur Lösung dieses Problems benötigen, sind in der Lösung für die horizontale Richtung enthalten.)
Ich bin mir über die Zeit ihres Fluges nicht ganz sicher. Sie sind möglicherweise nicht gleich. Das muss auch berechnet werden. (Zumindest denke ich das)
Gibt es bei vorhandenem Widerstand eine Grenze dafür, wie weit sich die Masse horizontal bewegen kann, wenn die Masse horizontal aus einer sehr großen Höhe gestartet wird? (Überprüfen Sie die Lösung für die horizontale Entfernung als Funktion der Zeit)

Sammy Rennmaus · Answer 2

Aus dem Kommentar von Petrus:

A_{X} = \frac{D v_{X}}{D T} = \frac{D v_{X}}{D X} \frac{D X}{D T} = \frac{D v_{X}}{D X} v_{X} = - \frac{k}{M} v_{X}

$a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{dv_x}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dv_x}{dx}v_x=-\frac{k}{m}v_x$ Integrieren gibt Ihnen

x

$x$ als Funktion von

v_{x}

$v_x$ . Einstellung

v_{x} \to 0

$v_x \to 0$ gibt Ihnen die Reichweite.

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Chet Miller

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