Ein Problem der Annäherung [Duplikat]

Selbst eine physikalische Größe, die sich um diskrete Beträge ändert, kann oft gut durch eine kontinuierliche Funktion der Zeit angenähert werden.

Die Ableitung ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Jede differenzierbare Funktion muss notwendigerweise kontinuierlich sein, und eine kontinuierliche Funktion ändert sich um beliebig kleine Werte für eine beliebig kleine Änderung der Eingaben.

Die Tatsache, dass man die Ableitung einer Funktion berechnen kann, bedeutet nicht, dass die physikalische Größe, die durch diese Funktion angenähert wird, auch um beliebig kleine Beträge geändert werden kann.

In der Physik dreht sich alles darum, die richtigen Näherungen zu machen, in der Hoffnung, dass wir einen tatsächlichen physikalischen Einblick in unser Problem gewinnen und überprüfbare Vorhersagen treffen können.

Angenommen, Sie möchten die Flugbahn einer Kanonenkugel berechnen, die aus einer Kanone abgefeuert wurde. Es wäre eine Sisyphusaufgabe, alle möglichen Variablen zu berücksichtigen, die die Bewegung der Kanonenkugel beeinflussen könnten: Luftwiderstand, Wind, Rückstoß der Kanonenräder, Rotation der Kugel, Fehler auf der Kugeloberfläche, Auftrieb, Krümmung der Kugel die Erde ... Es ist ziemlich unmöglich, eine vollständige Liste der Dinge zu erstellen, die sie beeinflussen könnten, geschweige denn, diese in Ihre Berechnung einzubeziehen!

Aber glücklicherweise sind diese Effekte viel zu klein, um einen wirklichen Einfluss darauf zu haben, ob der Ball das Ziel trifft oder nicht. Sie können also sicher Annäherungen machen - nehmen Sie an, die Erde ist lokal flach, nehmen Sie an, Sie befinden sich in einem Vakuum, nehmen Sie an, der Ball ist eine Kugel und so weiter, in der Hoffnung, Ihr Problem handhabbar zu machen. Wir sind uns alle einig, dass sich die Kanonenkugel nicht in einer perfekten Parabel bewegt, wie Ihre Berechnungen vorhersagen, aber sie ist verdammt nah dran, und wir haben die interessanten Teile des Problems im Griff.

Beiseite : Wie entscheiden Sie, was ein Effekt ist, der klein genug ist, um ihn zu ignorieren? Nun, wir haben nichts darüber gesagt, dass Ihre Instrumente auch unzuverlässig sind: Vielleicht haben Sie die Stoppuhr etwas zu früh oder zu spät getroffen, oder Ihr Lineal hat sich in der Hitze der Sonne ein wenig verändert, oder Sie konnten das nicht genau orten Mitte des Lochs, das die Kanonenkugel in den Boden gemacht hat. Sie geben zu, dass Ihre Messung wie alle Messungen von Natur aus ungenau ist, und schätzen die Unsicherheit in Ihrer Antwort ab. Sie werden den Effekt des Luftwiderstands auf die Kanonenkugel verdammt noch mal nie sehen, wenn er kleiner ist als Ihre Unsicherheit. Aus diesem Grund investieren Wissenschaftler so viel Mühe in die Entwicklung immer präziserer Instrumente, damit wir die Physik in immer kleineren Maßstäben messen können.

Sie sehen also, die Annahme in der klassischen Elektrodynamik, dass die Ladung eine kontinuierliche Variable ist, ist nur eine Annäherung, genau wie die Annahme, dass die Kanonenkugel eine Kugel ist. Wir alle wissen, dass Ladungen in Quanten kommen$e$, aber wenn wir eine Ladung von 10 Coulomb messen - naja, wen interessieren die Elektronen?