Warum ist die Kontinuumsströmungsmechanik genau, wenn Bestandteile diskrete Objekte endlicher Größe sind?

Es gibt viele physikalische Intuitionen, die oft in verschiedenen Texten zur Fluiddynamik dargestellt werden. Die werde ich hier nicht erwähnen. Ich möchte jedoch erwähnen, dass der Übergang von einer Teilchen- zu einer Kontinuumsperspektive mathematisch immer noch ein weitgehend ungelöstes Problem ist. (Bei geeigneter Interpretation wurde diese Aufgabe bereits von Hilbert als seine 6. von 23 Aufgaben gestellt.)

Wir können das Problem so interpretieren, dass wir von „einer Newtonschen Beschreibung von Teilchen, die durch Kollisionen interagieren“ ausgehen und versuchen, zu „einer Annäherung des physikalischen Systems durch ein Kontinuum zu gelangen, das bestimmten Gesetzen der Fluiddynamik (Euler, Navier-Stokes usw .)"

Die meisten Arbeiten bis jetzt machen einen Zwischenschritt durch die Boltzmann-Gleichung : In diesem kinetischen Theoriemodell betrachten wir anstelle von einzelnen Partikeln Verteilungen von Partikeln, wobei die "Dichte" von Partikeln basierend auf Position und Geschwindigkeit gegeben ist. Es macht also eine Ebene der Kontinuumsannäherung. Aber es behält immer noch die Facette der Newtonschen Theorie bei, wo Teilchen durch direkte Kollisionen interagieren. Unter einer Annahme, die als molekulares Chaos bekannt ist(dazu später mehr), dass Boltzmanns Gleichung aus den Newtonschen Bewegungsgesetzen folgt, wurde von Boltzmann selbst sowie von Grad, Cercignani und Lanford mit unterschiedlicher Strenge demonstriert, aufbauend auf der Arbeit von Bogoliubov, Born, Green , Kirkwood und Yvon. Für eine mathematisch ausgefeilte, aber mehr oder weniger in sich geschlossene Beschreibung sei auf Uchiyamas Aufsatz verwiesen . Es gibt ein paar Probleme mit dieser Ableitung.

1. Das Potentialproblem. Die oben aufgeführten Ableitungen gingen davon aus, dass die Partikel harte Kugeln sind: dass die einzige Wechselwirkung zwischen zwei Partikeln besteht, wenn sie tatsächlich kollidieren (also keine intermolekularen Kräfte, die durch Elektromagnetismus vermittelt werden, wie Wasserstoffbrückenbindungen und dergleichen), und dass die Partikel kugelförmig sind . Dies ist für einatomige Gase zufriedenstellend, jedoch weniger für zweiatomige Moleküle oder solche mit noch seltsameren Formen. Die meisten Leute halten dies jedoch nicht für ein großes Problem.
2. Die Herleitung gilt nur unter der sogenannten Grad-Grenzannahme . Um die Kontinuumsgrenze zu nehmen, wird im Allgemeinen angenommen, dass der Partikeldurchmesser auf Null abnimmt, während die Anzahl der Partikel (pro Volumeneinheit) auf unendlich zunimmt. Wie sich diese beiden Grenzen genau ausgleichen, beeinflusst, wie die physikalischen Gesetze in der Kontinuumsgrenze aussehen. Die Grad-Grenze geht davon aus, dass das Quadrat des Partikeldurchmessers wie der Kehrwert der Anzahldichte skaliert. Das bedeutet, dass das tatsächlich von den Partikeln selbst eingenommene Volumen (im Gegensatz zum freien Raum zwischen den Partikeln) in dieser Grenze auf Null abnimmt. In der Grad-Grenze erhält man also tatsächlich ein unendlich verdünntes Gas. Das ist etwas problematisch.
3. Die Ableitung macht sich auch das sogenannte molekulare Chaos zunutze: Es geht davon aus, dass im Grunde genommen nur die Kollision zwischen zwei Teilchen von Bedeutung ist und dass das Teilchen nach seiner Kollision seine vorherige Zickzackbewegung zwischen seinen Cousins ​​im verdünnten Gas "vergisst". Insbesondere ignorieren wir vollständig den Fall, dass drei oder mehr Partikel gleichzeitig kollidieren, und ignorieren den Billard-Trick-Shot wie mehrere Bounces. Während beides auf der Grundlage physikalischer Intuition einigermaßen gerechtfertigt sein kann (das erste durch die Tatsache, dass, wenn Sie viele kleine Partikel weit voneinander entfernt haben, die Wahrscheinlichkeit, dass drei von ihnen gleichzeitig treffen, viel viel geringer ist als zwei von ihnen sie kollidieren; der zweite durch die Tatsache, dass Sie eine Art lokales thermodynamisches Gleichgewicht annehmen [daher der Name molekulares Chaos]),

Ausgehend von der Boltzmann-Gleichung gelangt man mit ziemlich viel Arbeit zu den Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen. Es gibt viel neuere mathematische Literatur, die sich diesem Problem widmet, und unter verschiedenen Annahmen (im Grunde wie sich die Reynolds- und Knudsen-Zahlen im Grenzfall verhalten) erhält man verschiedene Versionen der Flüssigkeitsgleichungen. Eine anständige Übersicht über die Literatur wurde von F. Golse verfasst , während eine stark mathematische Diskussion des Standes der Technik in Laure Saint-Raymonds Hydrodynamic limits of the Boltzmann-Gleichung zu finden ist .

Es ist vielleicht wichtig anzumerken, dass es immer noch Bereiche gibt, in denen der Zusammenhang zwischen der Boltzmann-Gleichung und den Flüssigkeitsgrenzen nicht vollständig verstanden wird. Und noch wichtiger ist zu beachten, dass selbst bei den Verbindungen zwischen dem kinetischen (Boltzmann-)Bild und den Flüssigkeitsgrenzen immer noch die verschiedenen Annahmen bestehen, die während der Ableitung der Boltzmann-Gleichung getroffen wurden. Wir sind also noch weit davon entfernt , das Kontinuumsbild der Fluide aus dem Teilchenbild der Newtonschen Dynamik rigoros begründen zu können .

Die Flüssigkeitstheorie führt Materialparameter in den Spannungstensor ein , die helfen, die Substanz zu modellieren. „Der Viskositätskoeffizient ist die Proportionalitätskonstante, die einen Geschwindigkeitsgradienten in einer Flüssigkeit mit der Kraft in Beziehung setzt, die erforderlich ist, um diesen Gradienten aufrechtzuerhalten. Die Wärmeleitfähigkeit ist die Proportionalitätskonstante, die den Temperaturgradienten über eine Flüssigkeit in Beziehung zum Energiefluss setzt, d Wärmeleitung. Schließlich ist der Diffusionskoeffizient die Proportionalitätskonstante, die den Gradienten in der Spezieskonzentration des Massenflusses in Beziehung setzt.“ Natürlich funktioniert es nur, wenn es funktioniert.

Es gibt die selbstkonsistente Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen bzgl. mehrerer Erhaltungssätze. Aber relevant für Sie sind die Überlegungen zur Boltzmann-Gleichung , einem Formalismus für Gase im mikroskopischen Bereich. Hier findet man für viele Systeme makroskopische Erwartungswerte, die die Fluiddynamik validieren und mikroskopische Erklärungen für die Viskositäten etc. geben. Die Ergebnisse sollen dann meist „auch für flüssige Systeme gelten“.

Für den Grenzwert könnte man eine Störung der Maxwell-Boltzmann-Verteilung annehmen $f(t,\vec x)$, die schwach von Raum und Zeit abhängt. Dies ist die Näherung der Relaxationszeit oder die$0.5^{th}$Ordnung in der Chapman-Enskog-Theorie . Daraus lassen sich mittlere (Teilchen-)Dichten, mittlere Geschwindigkeiten und mittlere kinetische Energien (Temperaturen) berechnen. Zum Beispiel

$$\vec V:=\langle \vec v\rangle$$ $$T(t,\vec x):=\frac{1}{3}\left\langle m\left(\vec v-\vec V\right)^2 \right\rangle,$$ Wo $\langle\dots\rangle$ist der Mittelwert bzgl. der durch gegebenen Teilchenverteilung $f(t,\vec x)$. Dieses Verfahren ergibt eine makroskopische/Nettogeschwindigkeit und eine lokale Temperaturverteilung. Es erfüllt schließlich eine Zustandsgleichung, wie z $P=\frac{N}{V}k_B T$, oder eher $$P(t,\vec x)=n(t,\vec x)\ T(t,\vec x),$$ die makroskopische Größen wie Temperatur mit Druck in Beziehung setzen, der ebenfalls als Mittelwert angegeben wird und Teil des oben erwähnten Spannungstensors ist. Die Differentialgleichungen, die die Dynamik der Fluide bestimmen, stammen letztlich in beiden Fällen aus der Impulserhaltung. Siehe Kerson Huang: Statistical Mechanics, 2nd Edition für eine Herleitung.