Eine geometrische Berechnung in Fresnels Aufsatz „Memoir on the diffraction of light“ 1819

Question

Eine geometrische Berechnung in Fresnels Aufsatz „Memoir on the diffraction of light“ 1819

Optik
Physik
Geometrie
Beugung
geometrische Optik
Hausaufgaben-und-Übungen

Vaggelis Kyrilas

Es ist ein geometrisches Problem, das ich schwer zu lösen finde, wenn ich die Arbeit von Fresnel "Memoir on the diffraction of Light" lese. Gemäß der Abbildung Fresnel-Sets $z$ als Abstand des Elements $nn'$ von diesem Punkt $M$ ---- (Ich nehme an $z=nM$ )-----, $a=CA$ , $b=AB$ , $IMA$ ist ein Bogen mit Mittelpunkt $C$ , $EMF$ ist ein Bogen mit Mittelpunkt $P$ tangential zum Punkt $M$ mit dem ersten Bogen. Schließlich berechnet Fresnel daraus die Entfernung

N S = \frac{z^{2} (A + B)}{2 A B} .

$nS=\frac{z^2(a+b)}{2ab}.$ (Ich glaube, dass es sich um eine Annäherungsaussage handelt

n S \approx \frac{z^{2} (a + b)}{2 a b}

$nS≈\frac{z^2(a+b)}{2ab}$ )

(1) Wie findet er dieses Ergebnis?

(2) Bei meinem Versuch finde ich das $nS≈\frac{z^2}{2PM}$ , ziemlich nah, aber ich kann das nicht finden $PM$ Wert. Gibt es Ideen?

(3) Das Originalpapier finden Sie hier (Seite 119): https://archive.org/stream/wavetheoryoflight00crewrich#page/118

Antworten (1)

Eine geometrische Berechnung in Fresnels Aufsatz „Memoir on the diffraction of light“ 1819

Vaggelis Kyrilas · Answer 1

Zuerst haben wir die Dreiecke $RAB$ Und $RTC$ ähnlich sind, so dass

T C = R C (\frac{A B}{R B}) = (A + B) (\frac{C / 2}{A}) = \frac{(A + B) C}{2 A} .

$TC=RC\,\left(\frac{AB}{RB}\right)=(a+b)\,\left(\frac{c/2}{a}\right)=\frac{(a+b)c}{2a}\,.$ Das heisst

\begin{aligned} R F & = \sqrt{F C^{2} + R C^{2}} = \sqrt{(F T + T C)^{2} + R C^{2}} = \sqrt{{(X + \frac{(A + B) C}{2 A})}^{2} + (A + B)^{2}} \\ = (A + B) \sqrt{1 + {(\frac{X}{A + B} + \frac{C}{2 A})}^{2}} \approx (A + B) (1 + \frac{1}{2} {(\frac{X}{A + B} + \frac{C}{2 A})}^{2}) \\ = A + B + \frac{X^{2}}{2 (A + B)} + \frac{C X}{2 A} + \frac{(A + B) C^{2}}{8 A^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} RF&=\sqrt{FC^2+RC^2}=\sqrt{(FT+TC)^2+RC^2}=\sqrt{\left(x+\frac{(a+b)c}{2a}\right)^2+(a+b)^2} \\ &=(a+b)\,\sqrt{1+\left(\frac{x}{a+b}+\frac{c}{2a}\right)^2}\approx(a+b)\left(1+\frac{1}{2}\,\left(\frac{x}{a+b}+\frac{c}{2a}\right)^2\right) \\ &=a+b+\frac{x^2}{2(a+b)}+\frac{cx}{2a}+\frac{(a+b)c^2}{8a^2}\,. \end{align}$ (Wir erweitern das Quadrat mit Binomialreihen und erhalten die Annäherung)

Nächste,

\begin{aligned} R A & = \sqrt{R B^{2} + A B^{2}} = \sqrt{A^{2} + {(\frac{C}{2})}^{2}} = A \sqrt{1 + {(\frac{C}{2 A})}^{2}} \\ \approx A (1 + \frac{1}{2} {(\frac{C}{2 A})}^{2}) = A + \frac{C^{2}}{8 A} \end{aligned}

$\begin{align} RA&=\sqrt{RB^2+AB^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2}=a\,\sqrt{1+\left(\frac{c}{2a}\right)^2} \\&\approx a\,\left(1+\frac{1}{2}\,\left(\frac{c}{2a}\right)^2\right)=a+\frac{c^2}{8a} \end{align}$ Und

\begin{aligned} A F & = \sqrt{A M^{2} + M F^{2}} = \sqrt{B C^{2} + (F C - M C)^{2}} = \sqrt{B C^{2} + (F C - A B)^{2}} \\ = \sqrt{B^{2} + {(X + \frac{(A + B) C}{2 A} - \frac{C}{2})}^{2}} = B \sqrt{1 + {(\frac{X}{B} + \frac{C}{2 A})}^{2}} \\ \approx B (1 + \frac{1}{2} {(\frac{X}{B} + \frac{C}{2 A})}^{2}) = B + \frac{X^{2}}{2 B} + \frac{C X}{2 A} + \frac{B C^{2}}{8 A^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} AF&=\sqrt{AM^2+MF^2}=\sqrt{BC^2+(FC-MC)^2}=\sqrt{BC^2+(FC-AB)^2} \\ &=\sqrt{b^2+\left(x+\frac{(a+b)c}{2a}-\frac{c}{2}\right)^2}=b\,\sqrt{1+\left(\frac{x}{b}+\frac{c}{2a}\right)^2} \\ &\approx b\,\left(1+\frac{1}{2}\,\left(\frac{x}{b}+\frac{c}{2a}\right)^2\right) =b+\frac{x^2}{2b}+\frac{cx}{2a}+\frac{bc^2}{8a^2}\,. \end{align}$

Endlich bekommen wir

\begin{aligned} D & = R A + A F - R F \\ \approx (A + \frac{C^{2}}{8 A}) + (B + \frac{X^{2}}{2 B} + \frac{C X}{2 A} + \frac{B C^{2}}{8 A^{2}}) - (A + B + \frac{X^{2}}{2 (A + B)} + \frac{C X}{2 A} + \frac{(A + B) C^{2}}{8 A^{2}}) \\ = \frac{X^{2}}{2 B} - \frac{X^{2}}{2 (A + B)} = \frac{A X^{2}}{2 B (A + B)} . \end{aligned}

$\begin{align}d&=RA+AF-RF \\ &\approx\small\left(a+\frac{c^2}{8a}\right)+\left(b+\frac{x^2}{2b}+\frac{cx}{2a}+\frac{bc^2}{8a^2}\right)-\left(a+b+\frac{x^2}{2(a+b)}+\frac{cx}{2a}+\frac{(a+b)c^2}{8a^2}\right) \\ &=\frac{x^2}{2b}-\frac{x^2}{2(a+b)}=\frac{ax^2}{2b(a+b)}\,. \end{align}$

Wir verwandeln die Figur in ihren Spiegel und nehmen ungefähr das $z=m'A$ :

Dreiecke $RTC$ , $ARB$ sind ähnlich (Abb. 1). So:

\frac{T C}{A B} = \frac{A + B}{A}

$\frac{TC}{AB}=\frac{a+b}{a}$

Auch Dreiecke $FRC$ , $m'RB$ sind ähnlich. So:

\frac{F C}{M^{'} B} = \frac{A + B}{A}

$\frac{FC}{m'B}=\frac{a+b}{a}$

Das bedeutet, dass: $(x= FT)$

\frac{X}{M^{'} A} = \frac{T C}{A B} = \frac{A + B}{A}

$\frac{x}{m'A}=\frac{TC}{AB}=\frac{a+b}{a}$

Mit $z≈m'A$ wir haben:

\begin{matrix} (1) & \frac{X}{z} = \frac{A + B}{A} \end{matrix}

$\frac{x}{z}=\frac{a+b}{a}\tag{1}$

Wir haben oben die Differenz d berechnet, als:

\begin{matrix} (2) & D = \frac{A}{2 B (A + B)} X^{2} \end{matrix}

$d=\frac{a}{2b(a+b)}x^2\tag{2}$

Kombiniert (1) und (2):

\begin{matrix} (3) & D = N S = \frac{A + B}{2 A B} z^{2} \end{matrix}

$d= nS =\frac{a+b}{2ab}z^2\tag{3}$

Eine geometrische Berechnung in Fresnels Aufsatz „Memoir on the diffraction of light“ 1819

Vaggelis Kyrilas

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Vaggelis Kyrilas

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