Eine größere Amplitude des physikalischen Pendels zu zeigen bedeutet eine größere Periode

Zeichnen wir unser Pendel:

Die Bewegungsgleichung lautet:

$$F\ell = -I\frac{d^2\theta}{dt^2}$$

Das mag etwas ungewohnt erscheinen, aber es ist nur das Äquivalent zu einer kreisförmigen Bewegung$F = ma$. Wir ersetzen die Kraft durch das Drehmoment,$F\ell$, die Masse durch das Trägheitsmoment$I$und die Beschleunigung durch die Winkelbeschleunigung$\ddot{\theta}$. Ein bisschen schnelle Geometrie gibt uns$F = mg\sin\theta$, also lautet unsere Gleichung:

$$mg\sin\theta\ell = -I\frac{d^2\theta}{dt^2}$$

Unter der Annahme, dass unsere Masse ein Punkt ist, ist das Trägheitsmoment gerecht$I = m\ell^2$, und mit einer schnellen Umordnung erhalten wir:

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\sin\theta$$

Als Nächstes wird Ihr Physiklehrer darauf hinweisen$\sin\theta$kann als Potenzreihe entwickelt werden:

$$\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - ...$$

und wenn$\theta$ist dann die höheren Potenzen von klein$\theta$sind sehr klein und wir bekommen$\sin\theta \approx \theta$. Ersetzen Sie dies durch$\sin\theta$in unsere obige Gleichung und wir erhalten:

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\theta \tag{1}$$

das ist unsere gute alte einfache harmonische Bewegungsgleichung.

Jetzt können wir Ihre Frage beantworten, denn wenn wir den Schwenkwinkel weiter erhöhen, kommen wir an einen Punkt, an dem die$\theta^3$Begriff ist zu groß, um ignoriert zu werden. In diesem Fall wird unsere Gleichung (1):

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!}\right) \tag{2}$$

Nehmen Sie nun zwei Pendel (Pendel?), eines, das durch die einfache harmonische Gleichung (1) beschrieben wird, und eines, das durch unsere genauere Gleichung (2) beschrieben wird, und starten Sie sie in einem bestimmten Anfangswinkel$\theta_0$. Die durch Gleichung (2) berechnete Winkelbeschleunigung ist für alle Werte kleiner als die durch Gleichung (1) berechnete Winkelbeschleunigung$\theta$(außer bei$\theta = 0$). Wenn also beide Pendel an der gleichen Stelle beginnen,$\theta_0$, Pendel 2 muss länger brauchen, um dorthin zu gelangen$\theta = 0$als Pendel 1 wird. Aber diese Zeit ist nur ein Viertel der Periode, und das bedeutet, dass die Periode von Pendel 2 größer sein muss als die Periode von Pendel 1. Für ein echtes Pendel muss also die Periode mit zunehmender Amplitude der Schwingung zunehmen.

Hier ist eine Lösung, die der von John Rennie ähnelt, aber hoffentlich weniger aufwendig ist. Ich werde auch sein Bild stehlen:

Das Pendel hat kinetische Energie$T$, potenzielle Energie$U$, und Gesamtenergie$E=T+U$, Wo

$$T = \frac12 m\ell^2 \dot\theta^2, \quad\quad U = mg\ell(1-\cos\theta).$$

Die einfache harmonische Näherung nimmt die Grenze$\theta\ll1$, Wo

$$U = mg\ell \left( \frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^2}{4!} + \cdots \right) \approx mg\ell \frac{\theta^2}2 \equiv U_\text{quadratic}$$ Jetzt ist es im Kleinen klar $\theta$, und das trifft auf alle zu $\theta$, Das $U_\text{quadratic}$ist eine Überschätzung von $U$:

Daher unabhängig von unserem Start$\theta$geschieht unter Verwendung der einfachen harmonischen Näherung$U_\text{quadratic}$sagt zu viel Gesamtenergie voraus$E$, und entsprechend zu viel kinetische Energie$T$--- unser physikalisches Pendel geht langsamer als in der Annäherung. Die Vorhersage einer konstanten Periode$\tau_\text{quadratic} = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ist daher eine Unterschätzung, und die Unterschätzung wird für große Amplituden schlimmer, so dass die Periode mit der Amplitude zunehmen muss.

Die Frequenz eines einfachen Pendels ist selbst für große Winkelamplituden leicht zu berechnen. Betrachten Sie das Pendel in der Abbildung unten.

Für kleine Amplituden ($2l-d << l$) schwingt dieses Pendel mit Kreisfrequenz$\omega_+=\sqrt{g/l}$.

Jetzt definieren wir ein Pendel mit einer 'reziproken' Länge$l'=2l^2/d$. Dieses reziproke Pendel hat eine kleine Amplitudenfrequenz$\omega_-=\sqrt{gd/2l^2}$. Erstaunlicherweise ist die Frequenz des ursprünglichen Pendels (der Länge$l$) kann geschrieben werden als

$$\omega=agm(\omega_+,\omega_-)$$ Hier,$agm$bezeichnet den arithmetisch-geometrischen Mittelwert , der erstmals von Gauß untersucht wurde.

Nun, es ist leicht, das basierend auf zu sehen$d<2l$der Arm des reziproken Pendels ist immer länger als der Arm des ursprünglichen Pendels und daher$\omega_-<\omega_+$hält immer, und$\omega_-$nimmt immer ab$d$nimmt ab. Der$agm$ist wirklich einfach zu berechnen (Google ist hier Ihr Freund), aber alles, was wir brauchen, um das sicherzustellen$\omega$sinkt wann$d$abnimmt (und damit die Amplitude zunimmt), ist die einfache Tatsache, dass$agm$wirkt wirklich wie ein Mittelwert. Mit anderen Worten,$agm(\omega_+,\omega_-)$nimmt ab, wenn$\omega_-$nimmt dabei ab$\omega_+$bleibt fest. Presto.

Das Risiko einer „intuitiven“ Antwort besteht darin, dass die Intuition der Menschen oft schief geht.

Hier ist eine intuitive Antwort: Nehmen Sie zwei identische Pendel. Geben Sie einen bei frei$\theta$und die andere bei$2*\theta$von der Vertikalen. Egal was sonst, das weiter entfernt startende Pendel kann das andere niemals „einholen“. Da es offensichtlich ist, dass es in der Vertikalen einen größeren KE haben wird, wird es sich auf der anderen Seite weiter "nach oben" bewegen. Denn wenn Sie zwei Bälle aus unterschiedlichen Höhen fallen lassen, braucht der höhere immer länger, um den Boden zu erreichen. (außer jetzt musst du das auch noch beweisen :-( )

Das ist großartig, aber jemand anderes wird sagen: "Aber was wäre, wenn die$2*\theta$Pendel so schnell beschleunigt, dass es aufholt?“ [ähnlich wie das berüchtigte Argument „heißes Wasser gefriert schneller als kaltes“] und so weiter. Irgendwann müssen Sie ein wenig Mathematik anwenden, um Ihren Fall zu beweisen.