Eine Kugel zu einem Kegel rollen; Wie groß sollten die Kräfte insgesamt sein?

Dies ist meine bisherige Lösung, um die Winkelverschiebung / -geschwindigkeit / -beschleunigung auf dem Kegel zu finden.

Stellen Sie sich einen Kegel vor, dessen Spitze einen halben Winkel hat ψ zeigt nach unten, und eine Höhe von H . Wenn ich einen Ball mit Geschwindigkeit in die Tangente der Spitze des Kegels rolle (die Spitze des Kegels ist parallel zum Boden, ebenso wie die anfängliche Bahn des Balls). u . Wir werden dies „Anfangsgeschwindigkeit“ nennen.

Ich benutze die Beziehung

a = A T R = F M R
starten. Wobei Alpha die Winkelbeschleunigung ist.

Der Radius wird durch Trigonometrie wie folgt angegeben:

R = ( H − Z ) bräunen ⁡ ( ψ )
Wo Z ist die Verschiebung von der Spitze des Kegels.

die Ausdrücke:

Unter der Annahme, dass die einzige Tangentialkraft durch Reibung verursacht werden sollte (und negativ ist, weil sie gegen die Bewegung wirkt), und Integration über die Zeit erhalten wir die drei Gleichungen:

a = − μ N M ( H − Z ) bräunen ⁡ ( ψ )
ω = − μ N T M ( H − Z ) bräunen ⁡ ( ψ ) + u H bräunen ⁡ ( ψ )
θ = − μ N T 2 2 M ( H − Z ) bräunen ⁡ ( ψ ) + u T H bräunen ⁡ ( ψ )

Z:

Z ist die Verschiebung von der Spitze des Kegels zur Zeit T . Ich stelle mir zuerst die Gesamtbeschleunigung den Kegel hinunter vor, A , als Hypotenuse eines Dreiecks, und die vertikale Beschleunigung A v wie nebenstehend bei der Verwendung ψ . Deshalb

A v = A cos ⁡ ( ψ )
und durch Integration die vertikale Verschiebung Z Ist ...
Z = 1 2 A T 2 cos ⁡ ( ψ )
wir können diese dann in for platzieren Z in den obigen Ausdrücken!

Zusammenfassung was ich nicht verstehe:

Die Teile, die ich nicht verstehe, sind die Teile, die ich übrig habe! ein Ausdruck für N , die Normalkraft und für A die Beschleunigung zur Spitze des Kegels hin. Zuerst dachte ich, das wäre einfach, wie wenn man eine Frage zu einer Masse auf einer schiefen Ebene oder einer Steilkurve bekommt. Wie sich herausstellt, ist es viel schwieriger, weil es eine Kraft geben sollte, die den Hang hinaufgeht ( zusätzlich zur Reibung), induziert durch u ! (richtig?) Wenn man diesen Teil nicht berücksichtigt, waren die Gleichungen fast richtig, außer dass die Bahn des Balls (von oben gesehen) eine Art halbe Drehung um die Spitze machte, bevor er ihn traf. Während ich in einer Simulation, die ich in Einheit gemacht habe (und wie Sie es im wirklichen Leben erwarten würden), den Scheitelpunkt mehr und mehr umrundete, je näher er kam, bis er endete. (Ich werde ein paar Bilder bekommen, um es Ihnen zu zeigen). Wenn ich also diesen Teil zur Gesamtkraft/Beschleunigung hinzufüge, sollte er länger rollen. Ich bin mir auch nicht sicher, ob die Tangentialgeschwindigkeit stimmt v T jemals ändern von u ? Dies kann nützlich sein, um zu wissen, ob die nach oben gerichtete Kraft proportional ist v T .

Vielen Dank im Voraus!

Die Antwort, die @ ja72 mir gegeben hat (was fantastisch war, aber nicht sicher ist, wo genau ich sie nehmen soll, kann am Ende dazu führen, dass ein Teil davon verwendet wird, um dies zu lösen: D), war für eine ältere Version dieser Frage. (Ich weiß nicht, ob Sie meine Änderungen dafür sehen können, wenn Sie können, sollten Sie in der Lage sein, die alte Version zu sehen).

Beachten Sie, dass das Problem zweidimensional ist, da die Anfangsgeschwindigkeit in radialer Richtung liegt. Es sollte im Wesentlichen ein Ball sein, der eine Rampe hinunterrollt.
Es wird nicht dasselbe sein, die Tangentialgeschwindigkeit wird durch Erhaltung des Drehimpulses auf eine Weise zunehmen, die nicht durch eine Masse beschrieben wird, die nur eine Rampe hinunterfährt
@julianfernandez Ich weiß das, aber betrachte eine Masse, die einen Hang hinuntergeht. Es gibt keine Kraftkomponente außer Reibung, die den Hang hinauf wirkt . Bei meinem Problem gibt es , und ich weiß nicht, wie ich herausfinden soll, was das ist. Wenn ich vielleicht ein Diagramm zeichnen würde, das zeigt, was ich wollte, würde es das einfacher machen?
@NowIGetToLearnWhatAHeadIs Nicht unbedingt? Sollte die Kraft, die den Kreis tangiert, und die Kraft, die den Hang hinauf wirkt, nicht irgendwie proportional sein? Das ist wirklich ärgerlich, für jede Richtung, die ich in Betracht ziehe, gibt es eine Gesamtkraft, eine Normalkraft und eine Reibungskraft, es verwirrt mich sowieso. :)
Sam, ich habe auf den Kommentar von Now geantwortet ... Um Ihre Frage zu beantworten, muss ich es zuerst zeichnen, ich werde es tun, nachdem ich meine Kinder von der Schule abgeholt habe, wenn es sonst niemand getan hat.
@julianfernandez ah, :) oops, verwende @[name], um jemandem zu antworten und seine Aufmerksamkeit zu erregen.
@SamWalls das Problem ist schwieriger als es aussieht, ich habe ein System gekoppelter Differentialgleichungen (weil der Reibungskraftwinkel eine Funktion der Zeit ist. Sicherlich kein Problem auf Highschool-Niveau (na ja, es sei denn, Sie sind begabt). Lassen Sie es mich wissen falls dich die Gleichungen noch interessieren.
@julianfernandez Wenn Sie immer von einem reinen Rollen ausgehen, sollte sich der Reibungskoeffizient aufheben und die Gleichungen vereinfachen. Bitte zeigen Sie Ihre Arbeit für die Community.
@ ja72 nein, aus irgendeinem Grund (wurde die ursprüngliche Frage bearbeitet?) habe ich interpretiert, dass es sich um eine nicht rollende Masse (wie einen Würfel) handelt. Ich bin ziemlich langsam beim Eintippen von Latex, also macht es keinen Sinn, wenn Sie bereits die Lösung für die eigentliche Frage haben.
@julianfernandez Ich bin definitiv interessiert. Meine Untersuchung verlangt nicht, dass ich genau verstehe, was hier vor sich geht. Ich könnte einfach ein Experiment für verschiedene Spitzenwinkel und verschiedene Anfangsgeschwindigkeiten durchführen und dann mithilfe von Diagrammen eine einfache proportionale Beziehung herstellen. Aber ich denke, ich bin immer noch interessiert, es würde mir den Tag versüßen, wenn ich die Position des Balls berechnen könnte, dann lege ich meinen Finger auf den Bildschirm, stelle das Video auf diesen Zeitrahmen und der Ball ist genau richtig auf meinem Finger : )

Antworten (1)

Ich habe ein Koordinatensystem auf der Kegelspitze festgelegt, mit + j ^ zeigt nach oben und + X ^ zeigt radial nach außen in einem Azimouth-Winkel (Standort). θ = 0 . Die Position des Balls wird durch den Abstand vom Scheitelpunkt den Hang hinauf zum Ball definiert R und die Länge um den Kegel herum θ

P → = R Ö T ( j ^ , θ ) ( R Sünde ⁡ ψ 0 R cos ⁡ ψ ) = ( R Sünde ⁡ ψ cos ⁡ θ R cos ⁡ ψ − R Sünde ⁡ ψ Sünde ⁡ θ )

Oben der Winkel ψ ist fest und R , θ sind variabel. Somit

v → = P → ˙ = ∂ P → ∂ R R ˙ + ∂ P → ∂ θ θ ˙ v → = R Ö T ( j ^ , θ ) ( R ˙ Sünde ⁡ ψ R ˙ cos ⁡ ψ − R θ ˙ Sünde ⁡ ψ ) = ( Sünde ⁡ ψ ( R ˙ cos ⁡ θ − R θ ˙ Sünde ⁡ θ ) R ˙ cos ⁡ ψ − Sünde ⁡ ψ ( R ˙ Sünde ⁡ θ + R θ ˙ cos ⁡ θ ) )

Ähnlich

A → = R Ö T ( j ^ , θ ) ( Sünde ⁡ ψ ( R ¨ − R θ ˙ 2 ) R ¨ cos ⁡ ψ − Sünde ⁡ ψ ( R θ ¨ + 2 R ˙ θ ˙ ) )

Wenn Sie die Rotationsträgheit und die Drehbewegung ignorieren und sich dann auf die Bahn des Balls konzentrieren ∑ F → = M A → mit den aus der Schwerkraft wirkenden Nettokräften W → = ( 0 − M G 0 ) und Kontaktnormalkraft N → = R Ö T ( j ^ , θ ) ( − N cos ⁡ ψ N Sünde ⁡ ψ 0 ) = ( − N cos ⁡ ψ cos ⁡ θ N Sünde ⁡ ψ N cos ⁡ ψ Sünde ⁡ θ )

W → + N → = M A →

N = M G Sünde ⁡ ψ + M R θ ˙ 2 Sünde ⁡ ψ cos ⁡ ψ R ¨ = R θ ˙ 2 Sünde 2 ⁡ ψ − G cos ⁡ ψ θ ¨ = − 2 R ˙ θ ˙ R

Ihre Anfangsbedingungen sind bei T = 0 , θ = 0 , R = H cos ⁡ ψ , θ ˙ = u H bräunen ⁡ ψ Und R ˙ = 0 . Ich kenne keine analytische Lösung, also würde ich eine numerische Simulation verwenden, um Ergebnisse zu erhalten.

Anmerkungen

Der ˙ Notation ist die Zeitableitung, und R Ö T ( j ^ , θ ) ist die standardmäßige 3×3-Rotationsmatrix um die y- Achse.

WOW, das ist ausgezeichnet! Allerdings ist mir einiges davon ein wenig schleierhaft. Erklären Sie mir einfach: Was bedeutet X ˙ oder θ ˙ bedeuten? (oder wofür verwenden Sie es?) Ich nehme an, es ist die Ableitung, aber in Bezug auf was?; R Ö T ( j , θ ) , bedeutet dies eine Rotation von θ um j ? Wenn ja, wie multiplizieren Sie eine Drehung mit dem Vektor, wie Sie es getan haben?; was ist z in diesem Fall?; Schließlich könnte dies eine große Frage sein, aber was muss ich für eine numerische Lösung tun? Führen Sie einfach Simulationen durch oder führen Sie Experimente durch und verwenden Sie dann die Daten, um Ausdrücke zu finden?
@ ja72 Ich verstehe nicht, warum sich die Reibung aufhebt und wie schätzen Sie ein, dass die Auswirkungen von Trägheit und Rotation vernachlässigbar sind und ignoriert werden können. Ist Ihr Hintergrund Physik?
Die Berücksichtigung der Rotationsträgheit verkompliziert die Gleichungen, da das einzige, was ein Drehmoment liefert, Reibung ist. Mein Hintergrund liegt in Robotik und Dynamik.
Ok, nachdem ich eine Weile darüber nachgedacht habe, denke ich, dass es einfacher geht. Meine Gleichungen sind fast richtig und sehen fast so aus wie die Simulationen, die ich in Unity gemacht habe. Stellen Sie sich vor, Sie befinden sich auf der Ebene eines Velladroms, wenn Sie sich in die Kurve hineinbewegen und sich nicht anstrengen, mit der Kurve zu drehen, bewirken Reaktionskräfte, dass Sie in die Kurve und den Hang hinauffahren . Was ich (glaube ich) brauche, um meine Gleichung zu vervollständigen, ist die Kraft, die den Kegel hinaufgeht. Ich habe das Gefühl, dass es eine Lösung geben sollte, ähnlich der Art und Weise, wie Sie Kräfte in einer Steilkurve auflösen, um diese Kraft zu finden. Ich mag aber wohin du gehst.
Eine Kugel zu einem Kegel rollen; Wie groß sollten die Kräfte insgesamt sein?
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