Gleichgewicht und Bewegung eines Zylinders mit asymmetrischem Massenschwerpunkt auf einer schiefen Ebene

Die Wirkung der Reibung besteht darin, dass der Zylinder die Rampe herunterrollt, anstatt zu rutschen.

Verwenden Sie virtuelle Arbeit, um einen Gleichgewichtswinkel zu finden.

Wenn$\phi$ändert sich um einen kleinen Betrag$d\phi$, wenn der Zylinder rollt, geht alles ein wenig nach unten (wobei zunächst die Aufwärtsbewegung des kleinen inneren Zylinders vernachlässigt wird), weil Sie sich die Rampe hinunter bewegen. Du bewegst dich$R d\phi$die Rampe hinunter und an Höhe verlieren$\sin \Phi R d\phi$. Die gesamte von der Schwerkraft verrichtete Arbeit ist$(m_1 + m_2) g \sin\Phi R d\phi$

Andererseits steigt der innere Zylinder gegenüber der Mitte des großen Zylinders um einen Betrag an$(R - R_2) d\phi$. Die Arbeit, die durch die Schwerkraft an dem kleinen Zylinder verrichtet wird, ist$g m_2 (R-R_2) d\phi$.

Gleichgewicht ist erreicht, wenn diese gleich sind, also

$m_2 (R - R_2) = (m_1 + m_2) R \sin\Phi$

oder

$\sin\Phi = \frac{m_2(R-R_2)}{(m_1+m_2)R} = \frac{r}{R}$

Der Schwerpunkt (CM) liegt in der Ferne$r=\frac{m_2 d}{m_1+m_2}$vom geometrischen Mittelpunkt des Zylinders.

Wenn der Massenmittelpunkt in Diagramm (a) innerhalb des roten Kreises liegt, befindet er sich immer auf der abschüssigen Seite des Kontaktpunkts P. Er übt immer ein Drehmoment im Uhrzeigersinn um P aus, wodurch der Zylinder kontinuierlich abwärts rollt Neigung. Der asymmetrische Zylinder kann also nicht in eine stabile Position gebracht werden, es sei denn
$r \ge R\sin A$.

In Diagramm (b) schaukelt der Zylinder auf der Neigung zwischen P und Q. Der Zylinder ist an diesen beiden Positionen stationär, und mechanische Energie ist erhalten, also muss PE gleich sein – dh CM muss auf derselben horizontalen Linie liegen.

Der Abstand PQ ist$R(B+C)$Der Schwerpunkt ist also um eine vertikale Entfernung von gestiegen
$R(B+C)\sin A=r\cos C-r\cos B$.

Bei einem anfänglichen Orientierungswinkel B ergibt diese transzendente Gleichung den endgültigen Orientierungswinkel C. Der Abstand PQ kann dann gefunden werden.

Die folgenden Ressourcen befassen sich mit der Dynamik der Schaukel-/Rollbewegung:

Rollbewegung nicht achsensymmetrischer Zylinder von Carnevali & May 2004
A jumping cylinder on an geneigt plane von Gomez, Hernandez-Gomez & Marquina 2012
Librational motion of asymmetric rolling bodies and the role of Friction force , Pavia University, undated
Rolling of asymmetric disks on eine schiefe Ebene von BYK Hu 2011