Einfache Erklärung des Kondo-Effekts

Der Kondo-Effekt ist ein Phänomen, das auftritt, wenn sich eine magnetische Verunreinigung an einer Stelle eines nichtmagnetischen Metalls befindet. Die magnetische Verunreinigung hat aufgrund Ihrer elektronischen Konfiguration einen Restspin. Die Elektronen des Leitungsbandes würden mit diesem Elektron über eine Austauschwechselwirkung wechselwirken . Wir können in Gleichung 10 der Wiki-Seite sehen, dass die Interaktion in etwa so ist:

$$\Delta H = - J \vec{S}_{cb}\cdot \vec{S}_{imp}\,,$$

wenn das$\vec{S}_{cb}$ist die Spindichte von Elektronen an dem Punkt, an dem sich die Verunreinigung befindet, und$\vec{S}_{imp}$ist der Restspin der Verunreinigung. J ist der Austauschparameter oder der Kopplungsparameter. Wir sagen, dass die Kopplung ferromagnetisch ist, wenn$J>0$, und antiferromagnetisch, wenn$J<0$. All dies ist als Kondo-Modell oder SD-Interaktionsmodell bekannt.

Der Kondo-Effekt ist ein Quantenphänomen in dem Sinne, dass es unmöglich ist, das Phänomen zu würdigen, wenn man in dem Modell in Begriffen der klassischen Mechanik denkt. Klassischerweise ist die Wechselwirkung zwischen der Verunreinigung und den Elektronen des Metalls sehr einfach: eine einfache Streuung des Elektrons in der Verunreinigung durch einen Prozess wie:

$$|\vec{k},\,\uparrow ,\, \downarrow \rangle \rightarrow |\vec{k}',\,\uparrow ,\, \downarrow \rangle\,,$$

Energieerhaltung gehorchend. Dies ist der berühmte Born-Begriff der Störungstheorie. Wir vernachlässigen die Nicht-Kommutierung zwischen dem Hamilton-Operator des Leitungsbandes und dem Operator$\vec{S}_{cb}$. Die Gesamtenergie (Hamiltonian) des Systems kommutiert nicht mit dem Spindichteoperator$\vec{S}_{cb}$des Leitungsbandes, also müssen wir auch dies berücksichtigen (denken Sie daran, dass Nichtkommutierung ein Quantenmerkmal ist).

(Hier ist "harte" Mathematik)

Nehmen wir der Einfachheit halber den Hamiltonoperator der Elektronen des Leitungsbandes an als:

$$H_{cd} =\int_{-D}^{D} \frac{|\vec{k}|^2}{2m}\, \left( c_{\vec{k},\,\uparrow}^{\dagger}c_{\vec{k},\,\uparrow} + c_{\vec{k},\,\downarrow}^{\dagger}c_{\vec{k},\,\downarrow} \right) \,d^3\vec{k}$$

Nehmen wir an, dass sich die Verunreinigung an einer Stelle befindet$\vec{r}_0$im Weltraum haben wir für den Operator$\vec{S}_{cb}$:

$$\vec{S}_{cb} = \int_{-D}^{D} d^3\vec{k} \int_{-D}^{D} d^3\vec{k}'\sum_{\mu,\,\nu - \left(\uparrow,\,\downarrow \right)}\,c_{\vec{k},\,\mu}^{\dagger}\langle \vec{k},\,\mu|\sqrt {2\pi}^3\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_0) \frac{\hbar}{2}\vec{\sigma}|\vec{k}',\,\nu \rangle c_{\vec{k}',\,\nu}\,.$$

Der Begriff$\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_0)$bedeutet, dass$\vec{S}_{cb}$ist die Dichte nur an einem Punkt, dem Punkt, an dem sich die Verunreinigung befindet. Der$\vec{\sigma}$sind die Pauli-Matrizen . Alle Begriffe zwischen BH und Ket sind Operatoren. Die Dirac-Delta-Funktion fungiert also als Operator im Zustand$|\vec{k}\,\mu\rangle$:

$$\sqrt{2\pi}^3\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_0)|\vec{k}\,\mu\rangle \rightarrow\int_{-D}^{D}\frac {d^3\vec{k}}{\sqrt {2\pi}^3} e^{i\vec{k}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)}|\vec{k}\,\mu\rangle$$

Ich verwende die Fourier-Transformation .

(Hier endet die Mathematik)

OK. Nun haben wir als Interaktion einen Term wie diesen:

$$\Delta H = J \left( A_{\uparrow}^{\dagger}A_{\uparrow} - A_{\downarrow}^{\dagger}A_{\downarrow}\right)S_z + J A_{\uparrow}^{\dagger}A_{\downarrow} S_{-} + J A_{\downarrow}^{\dagger}A_{\uparrow} S_{+}\,$$

Wo$S_{\pm}$die Leiteroperatoren des Spins der Verunreinigung sind. Der Betreiber$A_{\uparrow \downarrow}$ist der Kern des Kondo-Effekts . Diese Operatoren werden durch die Gleichung von erhalten$\vec{S}_{cb}$, und werden geschrieben als:

$$A_{\uparrow \downarrow} = \int_{-D}^{D}\frac{d^3\vec{k}}{\sqrt{2\pi}^3} e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}_0}c_{\vec{k}\,\uparrow \downarrow}$$

Ist eine Überlagerung aller Energien, von der Hochenergie$D$bis Null. Natürlich das$A$pendeln nicht mit$H_{cb}$. Als wir die nächste Korrektur in der Störungstheorie (Korrekturen des Born-Terms) berechneten, fanden wir Integrale:

$$J^2\sum_{k\neq n} \frac{\langle n| \Delta H| k \rangle \langle k| \Delta H|n \rangle}{E_n-E_k}\sim J^2\,\int_{0}^{D}\,\frac{dk}{k}\,.$$

Dieser Begriff ist nichts anderes als ein Übergang$|\vec{k}\uparrow \downarrow \rangle \rightarrow |\vec{k}'' \downarrow \uparrow \rangle \rightarrow |\vec{k}'\uparrow \downarrow \rangle$und andere Arten von Übergängen, wie Sie vorschlagen, ergeben dasselbe, aber der Zwischenübergang gehorcht nicht der Energieerhaltung. Diese Integrale sind divergent. Jun Kondo entdeckte 1964 , dass man, wenn man an thermodynamischen Größen interessiert ist, der Integration eine untere Grenze setzen kann:

$$\sim J^2\,\int_{k_BT}^{D}\,\frac{dk}{k}\,.$$

Dieses Integral ist klein, was den Störungsansatz rechtfertigt, wenn:

$$T\gg D\,e^ \frac{1}{-J^2}$$

Diese Temperatur ist als Kondo-Temperatur bekannt. Wenn wir uns dieser kleinen Temperatur nähern, versagt die Störungstheorie und die Systeme treten in einen Crossover ein, um einen gebundenen Zustand zwischen einigen Elektronen im Metall und der magnetischen Verunreinigung zu bilden.

Im letzten Jahr arbeite ich mit der Numerical Renormalization Group , einer Methode, die entwickelt wurde, um die thermodynamischen Größen des Kondo-Modells für jede Temperatur zu berechnen, insbesondere für die kleinen.

Die Physik des Phänomens besteht darin, dass es bei Nulltemperatur einen gebundenen Zustand gibt, der von vielen Elektronen um die Verunreinigung herum durch Austauschwechselwirkung gebildet wird. All diese Elektronen teilen die Verunreinigung auf eine sehr nicht triviale Weise, schließlich sind sie Fermionen. Fermionen wollen nicht im selben Zustand sein. Es stellt sich heraus, dass sich diese Elektronen rund um die Verunreinigung mit wechselnden Spins so befinden, dass sie die magnetische Verunreinigung blenden. In diesem gebundenen Zustand ist der Gesamtspin des Systems Null. Wenn wir die Temperatur erhöhen, wird die Energie$k_B T$beginnen, diesen gebundenen Zustand zu stören, bis die Kondo-Temperatur erreicht ist. Zu größeren Temperaturen,$k_BT$zerstört den gebundenen Zustand vollständig und wir haben eine nackte Unreinheit. All diese Phänomene finden statt, weil der Bediener$A_{\uparrow\downarrow}$ist ein Integral über hinreichend kleine Energien (klein als$k_BT_K$, Wo$T_K$ist die Kondo-Temperatur).