Warum sind die meisten Ferromagnete Metalle, während Antiferromagnete Isolatoren sind?

Lassen Sie mich zunächst zwei Bemerkungen machen, bevor ich die Frage beantworte.

1. Der Unterschied zwischen Metall und Isolator liegt in der Existenz der wandernden Elektron-Fermi-Oberfläche oder nicht. Das Ising- (oder Heisenberg-) Modell ist nur eine effektive Theorie lokaler Momente (lokalisierte Elektronen in den Atomen), die keine Informationen über das wandernde Elektron enthält, sodass es keine Hoffnung gibt, von einem Ising-Modell auszugehen und den Unterschied zwischen Metall und Isolator zu erklären .

2. Die Beobachtung, dass "Ferromagnete hauptsächlich Metalle sind, während Antiferromagnete hauptsächlich Isolatoren sind", ist nicht ganz richtig. Es gibt ferromagnetische Isolatoren wie z$\text{Fe}_3\text{O}_4$, einer der frühesten in der Menschheitsgeschichte entdeckten Ferromagnete. Es gibt auch Beispiele für antiferromagnetische Metalle, von den historischen wie$\text{Cr}$bis hin zu den neuesten wie den Ausgangsverbindungen von Supraleitern auf Eisenbasis (z$\text{Ba}\text{Fe}_2\text{As}_2$).

Die unterschiedlichen Magnete entstehen durch die unterschiedlichen magnetischen Austauschmechanismen im Material. Im Folgenden werden einige der bekanntesten Austauschmechanismen im Festkörper aufgelistet, aber da das Material kompliziert sein kann, ist die Liste bei weitem nicht vollständig.

• Ferromagnetisches Metall: Wandernder Austausch (RKKY-Wechselwirkung),
• Ferromagnetischer Isolator: doppelter Austausch,
• Antiferromagnetisches Metall: Fermi-Oberflächenverschachtelung und SDW-Instabilität,
• Antiferromagnetischer Isolator: Superaustausch.

Bei vielen Übergangsmetallen (z$\text{Fe}$) wird die Austauschwechselwirkung zwischen magnetischen Ionen durch die wandernden (Leitungs-)Elektronen vermittelt. Das Übergangsmetallsystem enthält sowohl die Wanderelektronen als auch die lokalen Momente (typischerweise aus$d$Orbitale). Lokale Momente sitzen einfach auf jedem Atom, während sich das umherziehende Elektron zwischen den Atomen bewegt. Wenn das wandernde Elektron auf das lokale Moment trifft, polarisieren sie sich gegenseitig in Richtung der gleichen Orientierung. Während sich die umherziehenden Elektronen zwischen den Atomen bewegen, wird die Botschaft der magnetischen Ausrichtung von einem lokalen Moment zum anderen gebracht. So neigen schließlich alle lokalen Momente dazu, sich in der gleichen Richtung mit dem wandernden Elektron auszurichten, und wenn das lokale Moment ordnet, werden mehr wandernde Elektronen in die Ordnungsrichtung polarisiert, um die Ordnung zu verstärken. Daher wird durch dieses kollektive Verhalten der Ferromagnetismus im Metall entwickelt. Dieser Mechanismus ist als Wanderaustausch oder Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida (RKKY)-Wechselwirkung bekannt. Im realen Raum die RKKY-Interaktion zwischen zwei lokalen Momenten der Ferne$r$folgt dem Schwingungsverhalten

$$J_\text{RKKY}(r)\sim-\frac{\cos(k_F r)}{r^3}.$$ Wie in der Verdünnungsgrenze $k_F r\ll 1$bei vielen Metallen dominiert der Ferromagnetismus.

Antiferromagnetische Isolatoren sind normalerweise Mott-Isolatoren, bei denen die Fermi-Oberfläche durch Wechselwirkung eine Lücke aufweist und keine wandernden Elektronen vorhanden sind. In diesem Fall muss die magnetische Korrelation durch einen anderen Mechanismus vermittelt werden, der als Superaustausch bekannt ist. Im einfachsten Mott-Isolator (z$\text{Mn}\text{O}$), jedes magnetische Ion$\text{Mn}^{2+}$hätte ein einzelnes ungepaartes Elektron in a$d$Orbital, die zwischen springen können$\text{Mn}$Standorte als überbrückt durch die$\text{O}^{2-}$Ion dazwischen. Wenn das Elektron weiterdreht$\text{Mn}$entgegengesetzt ausgerichtet sind, kann es über die Mn-O-Mn-Einheit hybridisieren und kinetische Energie gewinnen.

Wenn sich das Elektron jedoch weiterdreht$\text{Mn}$ferromagnetisch ausgerichtet sind, wird eine solche Hybridisierung durch das Pauli-Ausschlussprinzip verboten. Daher begünstigt der Superaustausch den Antiferromagnetismus, und die effektive Austauschwechselwirkung ist gegeben durch$J\sim t^2/U$Wo$t$ist das effektive Hoffnungsintegral zwischen$\text{Mn}$Websites und$U$ist die lokale Coulomb-Abstoßung.

Der Hauptgrund für die Betrachtung des Ising-Modells ist, dass es in einer und zwei Dimensionen exakt lösbar ist (und dass es kritisches Verhalten zeigt, das in gewissem Sinne universell ist). Als Annäherung an ein reales physikalisches System ist es nicht besonders aussagekräftig.

Das Heisenberg-Modell macht einen viel besseren Job, aber es ist auch ein Gittermodell. Wenn Sie wirklich die elektronische Bandstruktur und den Magnetismus erfassen wollen, ist das Hubbard-Modell der richtige Weg . Es besteht aus einem (fest bindenden) Hopping-Term (mit Hopping-Parameter$t$) zur Beschreibung der Kinetik der Elektronen sowie einer Coulomb-Abstoßung vor Ort$U$. Eine solche Anordnung, bei der die Spins mit Elektronen assoziiert sind, die sich über das Gitter bewegen können, wird Wandermagnetismus genannt . Man kann das antiferromagnetische Heisenberg-Modell aus dem Hubbard-Modell bei halber Füllung der Grenze der starken Abstoßung vor Ort erhalten$U\gg t$. Dann ist jeder Platz mit genau einem Elektron besetzt. Benachbarte Elektronen können ihre Plätze tauschen, was zu einer effektiven Austauschwechselwirkung wie im Heisenberg-Modell führt.

Das antiferromagnetische Hubbard-Modell (dh Halbfüllung) führt zu einer Bandlücke. Das heißt, die lückenlose (metallische) Bandstruktur, die man aus der Bloch-Theorie erhält, wird durch die Vielteilchendynamik modifiziert. Dies kann in der Mean-Field-Theorie verstanden werden und ich werde es unten skizzieren, aber es erfordert Vertrautheit mit der zweiten Quantisierung. Ein Isolator, der aufgrund einer solchen "Nicht-Bloch"-Bandlücke isolierend ist, wird Mott-Isolator genannt .

Bei halber Füllung weist die dicht bindende Dispersion eine Eigenschaft auf, die als perfekte Verschachtelung bezeichnet wird :$\varepsilon_{k+Q}=-\varepsilon_k$Wo$Q=\frac{\pi}{a}(1,1,1)$, dh$Q$ist der reziproke Vektor aus der$\Gamma$-Zeigen Sie auf den Rand der Brillouin-Zone. Das kann man mit der Anfälligkeit für äußere Felder zeigen$q=Q$divergent ist, dh eine Instabilität gegenüber einer Spindichtewelle mit aufweist$q=Q$tritt ein. Die Tatsache, dass$Q$bis an den Rand der Brillouin-Zone reicht bedeutet, dass die Spindichtewelle einem antiferromagnetischen Grundzustand entspricht. Im Gegensatz dazu tritt für das Hubbard-Modell bei geringer Füllung eine Instabilität auf$q=0$, was zu einem ferromagnetischen Grundzustand führt.

Man kann die Effekte der Spindichtewelle in die Mean-Field-Theorie einbeziehen$\Delta\propto \langle S_Q^z\rangle$(die "Lücke") einen endlichen Erwartungswert erreicht. Nach einigen Rechenzeilen gelangt man zu folgendem Mittelfeld-Hamiltonoperator:

$$H = \sum_{\sigma}\sum_{k}'\psi_{k\sigma}^\dagger \boldsymbol{\varepsilon}_k^\sigma\psi_{k\sigma}+K_0,\qquad \psi_{k\sigma}=\begin{pmatrix} c_{k\sigma}\\ c_{k+Q,\sigma} \end{pmatrix},\quad\boldsymbol{\varepsilon}_k^\sigma=\begin{pmatrix} \varepsilon_k & -\sigma\Delta\\ -\sigma\Delta & -\varepsilon_k \end{pmatrix}.$$

Hier ist die Summe vorbei$k$erstreckt sich nur über die Hälfte der Brillouin-Zone, die sogenannte "magnetische Zone". Der$\psi$vector ist eigentlich ein Vektor von Vernichtungsoperatoren. Dies ist lediglich ein mathematischer Trick und nichts Tiefes. Aber es erlaubt uns, den Hamiltonoperator in dieser kompakten quadratischen Form zu schreiben.

Nun kann man die Matrix diagonalisieren$\boldsymbol{\varepsilon}_k^\sigma$:

$$\psi_{k\sigma}^\dagger \boldsymbol{\varepsilon}_k^\sigma\psi_{k\sigma} = \begin{pmatrix}\gamma_{k\sigma}^{c\dagger} & \gamma_{k\sigma}^{v\dagger}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} E_k & 0\\ 0 & -E_k \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\gamma_{k\sigma}^c\\\gamma_{k\sigma}^v\end{pmatrix},\qquad E_k=\sqrt{\varepsilon_k^2+\Delta^2}$$

Dies wird als Bogoliubov-Transformation bezeichnet und ist sehr ähnlich zu dem, was man in der BCS-Theorie der Supraleitung macht. Das hochgestellte$c$Und$v$bezeichnen "Leitung" bzw. "Volant". In der Tat,$\pm E_k$ist nun die Banddispersion der Leitung ($+$) und Volant ($-$) Elektronen, die selbst Überlagerungen von Elektronen mit Wellenvektoren sind$k$&$k+Q$. Sie können das für sehen$\Delta\to 0$, reduziert sich die Banddispersion auf die fest bindende ($E_k\to\varepsilon_k$). Für endlich$\Delta$, jedoch öffnet sich eine Lücke, zentriert an der Fermi-Fläche, wo die Dispersion einen Sprung von hat$2\Delta$. Dadurch wird das Metall zu einem (Mott-)Isolator.