Einfaches (aber falsches) Argument für die Allgemeingültigkeit positiver Beta-Funktionen

In der Einleitung (Seite 5) von Supersymmetry and String Theory: Beyond the Standard Model von Michael Dine ( Amazon , Google ), sagt er

(Traditionell war bekannt, dass) die Wechselwirkungen von Teilchen typischerweise stärker wurden, wenn die Energie- und Impulsübertragungen zunahmen. Dies ist zum Beispiel in der Quantenelektrodynamik der Fall, und ein einfaches quantenmechanisches Argument, das auf Unitarität und Relativitätstheorie basiert, scheint darauf hinzudeuten, dass es allgemein ist.

Natürlich spricht er dann über Yang-Mills Theorie und die Entdeckung negativer Beta-Funktionen und asymptotischer Freiheit . Aber es ist die Erwähnung des einfachen, aber falschen Arguments , das meine Aufmerksamkeit erregt hat.

Weiß jemand, was dieses einfache Argument ist? Und wie ist es falsch?

Wäre diese Frage besser bei theoretischen Physik.SE gepostet ?
Ich denke, das ist hier sehr angemessen, und tatsächlich ist dies genau die Art von Frage, von der ich gerne mehr sehen würde (fortgeschrittene, aber keine Forschung; sollte eine klar definierte Antwort haben). Aber... ich weiß die Antwort nicht.
Diese Frage wäre meines Erachtens ein Thema auf unserer Website.
Das Folgende ist eine schwache Erinnerung an Hörensagen: Diese Idee, dass alle Beta-Funktionen positiv sind, ist unveröffentlichtes Zeug von Schwinger, denke ich. Jeder wusste davon, aber es kam nie in einer Zeitung heraus (glaube ich). Das Argument (glaube ich) basierte auf der Positivität des Spektralgewichts (Kallen-Darstellung). Eine Intuition ist einfach, dass die Wechselwirkungen stärker werden müssen, wenn man sich kürzere Entfernungen ansieht, da es Partikelpfaden schwerer fällt, einander zu finden. Dies wird durch einen komplizierten kubischen/quartischen Tanz in der Eichtheorie verletzt. Ich denke, die Theoretische Physik ist dafür am besten geeignet.
Ich war auch neugierig auf das allgemeine Argument, zu der Zeit hatte ich die Intuition, dass es das Spektralgewicht von Kallen war. Ich wusste, dass jemand so etwas gesagt hat, bevor Gross und Wilczek die Beta-Funktion in der Eichtheorie falsch berechnet haben, um positiv zu sein, also habe ich es in Wikipedia gestellt, in der Hoffnung, dass jemand anderes eine Referenz geben würde. Aber es hat nie einen Schiedsrichter bekommen. Es könnte sein, dass Kaku nur Wikipedia zitiert. Ich hoffe, ich habe kein falsches Gerücht verbreitet! Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass das richtig ist, und wenn nicht, ist es ein ehrlicher Fehler. Ich hoffe, jemand kann das Argument reproduzieren oder erinnert sich daran.
@Ron: Danke für die Kommentare Ron. Ich denke, ich könnte ein Kopfgeld auf diese Frage setzen, um zu versuchen, eine explizitere Antwort zu erhalten.
@Simon: Ich werde es tun.
Ich schrieb an Michael Dine. Es ist ein Streit über die spektrale Darstellung, aber bisher hat noch niemand etwas gesagt. Er sagt, er werde die Details in ein paar Tagen weiterleiten.
Mitchell Porter: Irgendwelche Neuigkeiten?
Ron: Danke, dass du deine Wiederholungspunkte auf die Linie gebracht hast (ich wollte bis zum Wochenende warten). Ich hoffe, dass @Mitchell bald eine Antwort bekommt.
@Simon: Was mache ich, wenn er es nicht tut?
@Ron: Wenn Sie nicht jemanden kennen, der eine Antwort hat, können Sie nicht viel tun ... die Punkte werden verschwinden, sorry. Wenn die Antwort von akhmeteli positiv bewertet wird, erhält sie standardmäßig die Hälfte des Kopfgeldes.
@Simon: Warum postest du nicht eine Antwort, und ich gebe dir das Kopfgeld, dann kannst du das Kopfgeld erneut posten, wenn Dine antwortet.
@Ron: Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was die Antwort ist, noch habe ich im Moment wirklich Zeit, darüber nachzudenken. Aber ich denke, ich könnte eine explizite Platzhalterantwort posten ... Vielleicht ist dies eine Frage für meta.physics.SE
@Simon: Ich wollte, dass du postest --- "Meine Güte, ich weiß es wirklich nicht!" und dann gebe ich Ihnen das Kopfgeld, und Sie buchen es für Dine um. Ich glaube nicht, dass sie solche Spielereien auf Meta gutheißen werden, also mach es besser schnell, bevor sie es verbieten!
@Simon: Vielleicht möchten Sie das Kopfgeld jetzt überweisen.

Antworten (3)

Antwort von Michael Dine, zitiert mit Genehmigung:

Ich muss jetzt zurückdenken, aber das Argument in QED basiert auf der spektralen Darstellung ("Kallen-Lehman-Darstellung"). Das Argument soll zeigen, dass die Renormierung der Wellenfunktion für das Photon kleiner als eins ist (dies findet man zum Beispiel im alten Lehrbuch von Björken und Drell, zweiter Band; es kann auch aus der Diskussion der Spektralfunktion gefolgert werden in Peskin und Schröder). Dies reicht in Eichtheorien aus, um zu zeigen, dass die Kopplung bei kurzen Entfernungen stärker wird. Das Problem besteht darin, dass das Spektralfunktionsargument Einheitlichkeit annimmt, was sich nicht in einer kovarianten Behandlung der Eichtheorie manifestiert (und für Off-Shell-Größen nicht sinnvoll ist). In nicht-kovarianten Messgeräten ist Unitarität offensichtlich, aber keine Lorentz-Invarianz, daher ist die Renormierung von Photonen (Gluonen) komplizierter. Im Speziellen, EIN 0 ) ist kein normales Ausbreitungsfeld.

Danke Mitchell, ich habe das vergessen, bis Manishearth mich in den Kommentaren oben daran erinnerte. Es wäre schön, wenn die Antwort detaillierter wäre, aber ich bin mit der Antwort von Michael Dine zufrieden. (Ihre Prämie wird in ~24 Stunden eintreffen)

Dies ist eine vorübergehende Antwort, um das großzügige Kopfgeld aufzubewahren, das Ron angeboten hat. Wenn eine richtige Antwort auf diese Frage gegeben wird, werde ich die 500 Wiederholungspunkte (ein gleiches Kopfgeld zuweisen) auf diese Antwort übertragen.

Da dieser Schritt nach dem totalitären Prinzip der Quantenmechanik/Quantenfeldtheorie nicht ausdrücklich verboten ist , muss er zwingend sein.

Was für eine Antwort! Volles Kopfgeld!
Es gibt jetzt eine akzeptierte Antwort (aus dem Jahr 2012), daher scheint es angebracht, das Kopfgeld auszurufen, falls dies jemals geschehen sollte. Diese Antwort steht zur Überprüfung in der Warteschlange für niedrige Qualität. Der Nachteil, denke ich, ist, dass Sie, da diese Antwort entfernt würde, den Repräsentanten dafür verlieren, aber immer noch den 500-Punkte-Treffer haben, wenn Sie ein neues Kopfgeld anbieten.
Ohhh, ich verstehe, Sie haben das Kopfgeld bereits angeboten und vergeben. Diese Antwort ist also geblieben, um den Gambit-Vertreter neutral zu halten.

Ich kann mich irren, aber die folgende Bemerkung in diesem PDF (PHYSICS REPORTS 167, Nr. 5 (1988) 241–320) könnte relevant sein:

Dann [2.1] folgt, dass wenn [ x , j ] = Δ + ( j − x ) besitzt Eigenschaften, die von den Garding-Wightman-Axiomen impliziert werden, dann eine Reihe von W n definiert von

(2.6) W n ( x , … , x n ) = [ x 1 , … , x n ]
gehorcht diesen Axiomen und die zugehörige Feldtheorie ist ein verallgemeinertes freies Feld, also eine triviale Theorie.

Referenz [2.1] gibt es B. Simon, The P ( φ ) 2 Euklidische (Quanten-) Feldtheorie (Princeton, 1974).

Fragen Sie übrigens einfach den Autor M. Dine. Manchmal ist es die einzige Möglichkeit, den Autor zu fragen, was er geschrieben hat:-). Ich erinnere mich, dass ich ein Buch fand, das ein Ergebnis enthielt, das ich kürzlich selbst erhalten hatte, aber ohne Beweise. Ich schickte einem der beiden Autoren des Buches eine E-Mail und bat um die entsprechende Referenz. Ich habe ein paar Monate gebraucht, aber schließlich hat er mir gesagt, dass sie etwas anderes bedeuten als das Ergebnis, das ich erhalten habe, also war mein Ergebnis neu:-)

Dies ist keine genaue Aussage der Bemerkung. Der Satz lautet: Wenn der Kommutator gleich dem freien Kommutator ist, ist die Theorie frei. Dies ist sowohl ein triviales Ergebnis (das nicht trivial klingt) als auch nichts mit den Eigenschaften der Beta-Funktion zu tun. Die strenge Literatur ist auf diesem Gebiet oberflächlich beeindruckend, aber alles davon ist im Wesentlichen weniger als wertlos. Aber keine Ablehnung --- Ich schätze die aufrichtige Anstrengung.
@Ron Maimon: Könntest du das bitte erklären? Halten Sie die Aussage im Artikel von Callaway für falsch? Weil ich nicht sehe, wie die Annahme in der Aussage lautet "wenn der Kommutator gleich dem freien Kommutator ist". Was die Relevanz für die Eigenschaften der Beta-Funktion betrifft, denke ich, wenn die Beta-Funktion positiv ist, wird die Ladung abgeschirmt und die Theorie ist nicht wechselwirkend.
Entschuldigung, ich habe den ersten Kommentar geschrieben, ohne das von Ihnen verlinkte Papier gelesen zu haben. Das Papier ist kein rigoroser Unsinn, es ist ein guter Überblick über Trivialität in der Skalarfeldtheorie, mit einem rigorosen Unterabschnitt. Aber das Ergebnis, das Sie zitieren, besagt nur, dass eine Theorie, die dem Wicks-Theorem gehorcht, eine Freifeldtheorie ist. Das Ergebnis, von dem ich dachte, Sie sprachen davon, ist etwas tiefergehend: Wenn die Zweipunktfunktion genau frei ist, dann ist die Theorie frei. Beide haben nichts Offensichtliches mit der Beta-Funktion zu tun, aber sie sind positive spektrale Gewichtsergebnisse und somit Kallanismen.
Nur weil die Beta-Funktion positiv ist, heißt das nicht, dass die Theorie trivial ist. Die Beta-Funktion könnte bei starkem Kopplungs-Fixpunkt positiv sein, oder sogar ein Fixpunkt bei relativ schwacher Kopplung. Nicht jede wachsende Kupplung muss bis ins Unendliche explodieren. Es ist eine andere Frage. Aber zumindest weiß ich jetzt, was Sie dachten, es macht Sinn, warum Sie diese Antwort geben würden.
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