Einstein-Körper: Ein- oder dreidimensionaler harmonischer Quantenoszillator?

Das Einstein-Modell für Festkörper geht davon aus, dass alle Atome mit der gleichen Frequenz schwingen$\omega$, wobei jedes Atom als harmonischer Quantenoszillator modelliert wird. Die Sache ist die: Festkörper sind dreidimensionale Objekte, daher schwingen die Atome in drei Dimensionen.

Dem wird wie folgt begegnet:

Der eindimensionale harmonische Quantenoszillator hat Energie:

$$E_n = \left(n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega$$

Aber da der harmonische Quantenoszillator dreidimensional ist, können wir annehmen, dass die Atome unabhängig voneinander in jeder der drei Dimensionen schwingen:

$$E_{nx} = \left(n_x + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega$$

$$E_{ny} = \left(n_y + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega$$

$$E_{nz} = \left(n_z + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega$$

Wir finden dann die Gesamtenergie des Festkörpers$E(\omega, T)$indem man die Boltzmann-Statistik unabhängig in jede Richtung verwendet und so etwas Energie findet$E_x$für eine gegebene Richtung und dann finden wir die Gesamtenergie$E = 3E_x$, also finden wir eine Wärmekapazität von$\frac{dE}{dT} = 3 \frac{dE_x}{dT}$.

Was ich bezweifle, ist, dass ich versucht habe, dasselbe Problem zu lösen, aber indem ich das Atom als den dreidimensionalen harmonischen Quantenoszillator der Energie betrachtete:

$$E_{n} = \left(n + \frac{3}{2} \right) \hbar \omega$$

Und dann nach der Gesamtenergie auflösen. Was wir hier für die Wärmekapazität unter Verwendung der Boltzmann-Statistik finden, ist dasselbe wie die Wärmekapazität, wenn der Oszillator nur eindimensional wäre . Das ist natürlich falsch, da der Faktor 3 fehlt.

Was ich verstehen möchte, ist, warum wir drei "eindimensionale harmonische Quantenoszillatoren" anstelle eines dreidimensionalen Oszillators verwenden. Ich meine, ich glaube, dass das, was ich falsch gemacht habe, darin besteht, die Entartung nicht zu berücksichtigen, aber ich bin mir nicht sicher, ob es das wirklich ist. Hat es etwas damit zu tun$n = n_x + n_y + n_z$? Wenn nicht, was ist dann los?