Elektrisches Feld aufgrund einer zeitlich und räumlich variierenden Stromdichte?

Zu lang für einen Kommentar: Betrachten Sie die Maxwell-Gleichungen:

Laut Heras (als Kommentar zu einem Artikel von Griffiths und Heald ) ist die Verschiebung der aktuelle Begriff$\epsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}$kann in Bezug auf die Stromdichte geschrieben werden${\bf J}$als

Wo${\bf F}({\bf J})$hängt ab von${\bf J}, \frac{\partial {\bf J}}{\partial t}, \frac{\partial^2 {\bf J}}{\partial t^2}$und bezeichnet Mengen zum verzögerten Zeitpunkt [ Ich gehe davon aus, dass es in Ordnung ist, Helmholtz zu verwenden, da obwohl die rechte Seite des Ausdrucks für$\nabla \times {\bf B}$beinhaltet Zeit, es beinhaltet keine zeitlichen Ableitungen von ${\bf B}$ in diesem Fall müssten Sie die folgende Verallgemeinerung des Satzes von Helmholtz verwenden ]. Aus diesem Grund bedeutet dies, dass wir es wissen$\nabla \cdot {\bf B}$Und$\nabla \times {\bf B}$. Nach dem Satz von Helmhotlz bedeutet dies, dass wir schreiben können${\bf B}$in der Form${\bf B} = \nabla \Phi + \nabla \times {\bf A}$Und$\Phi, {\bf A}$werden einmalig bestimmt. Das gibt${\bf B}$durch die Stromdichte bestimmt${\bf J} (and it's time derivatives)$.

Das bedeutet jetzt, dass wir haben$\nabla \cdot {\bf E}$in Bezug auf die Ladungsdichte und angegeben$\nabla \times {\bf E}$angegeben in Bezug auf die zeitliche Ableitung von${\bf B}$(die als zeitliche Ableitung der Stromdichte angegeben ist${\bf J}$). Daraus folgt, da wir die Divergenz von kennen${\bf E}$und die Locke von${\bf E}$wir können schreiben${\bf E}$in Bezug auf den Gradienten einer Skalarfunktion$\Phi'$und die Locke einer Vektorfunktion${\bf A'}$als${\bf E} = \nabla \Phi'+ \nabla \times {\bf A'}$, und das sieht man$\Phi'$hängt mit der Ladungsdichte zusammen${\bf A'}$hängt mit der (zeitlichen Ableitung) des Magnetfelds zusammen.