Entkoppelte Physik des komplexen Skalarfeldes

I) Das komplexe Skalarfeld stammt aus zwei reellen/hermiteschen Skalarfeldern mit zeitgleichen CCR s

$$[\hat{\phi}^j(t,\vec{x}),\hat{\phi}^k(t,\vec{y})]~=~0,$$ $$[\hat{\phi}^j(t,\vec{x}),\hat{\pi}_k(t,\vec{y})]~=~i\hbar{\bf 1}~\delta^j_k~ \delta^{3}(\vec{x}-\vec{y}),$$ $$[\hat{\pi}_j(t,\vec{x}),\hat{\pi}_k(t,\vec{y})]~=~0, \qquad j,k~\in~\{1,2\}, \tag{A}$$

und die Definitionen

$$\hat{\phi}~=~\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\phi}^1+i\hat{\phi}^2),\tag{B}$$ $$\hat{\pi}~=~\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\pi}_1\color{red}{-}i\hat{\pi}_2),\tag{C}$$

vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Dies führt zu den erwähnten CCRs von OP.

II) Wenn die$\color{red}{\text{minus sign}}$in Gl. (C) seltsam erscheint, betrachten Sie das folgende klassische Argument. Die Lagrange-Dichte ist

$${\cal L}~=~|\dot{\phi}|^2 - |\nabla \phi |^2 - {\cal V} ~=~\frac{1}{2}(\dot{\phi}^1)^2+\frac{1}{2}(\dot{\phi}^2)^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi^1)^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi^2)^2 - {\cal V} .\tag{D}$$ Daher die Momenta lesen

$$\pi_j~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^j}~=~\dot{\phi}^j, \qquad j~\in~\{1,2\}, \tag{E}$$

$$\pi~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\phi}} ~=~\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^1}\color{red}{-}i \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^2} \right) ~=~\dot{\phi}^{\ast} ~=~\frac{1}{\sqrt{2}}(\pi_1\color{red}{-}i\pi_2).\tag{F}$$

III) Lassen Sie uns als Referenz erwähnen, dass die Hamilton-Lagrange-Dichte lautet

$${\cal L}_H~=~\pi \dot{\phi}+\pi^{\ast} \dot{\phi}^{\ast} -{\cal H} ~=~\pi_1 \dot{\phi}^1+\pi_2 \dot{\phi}^2 -{\cal H}, \tag{G}$$

wo die Hamiltonsche Dichte ist

$${\cal H}~=~|\pi|^2 + |\nabla \phi |^2 + {\cal V}~=~\frac{1}{2}(\pi_1)^2+\frac{1}{2}(\pi_2)^2+\frac{1}{2}(\nabla \phi^1)^2+\frac{1}{2}(\nabla \phi^2)^2 + {\cal V} .\tag{H}$$