Erfüllt die Variation der Lagrangefunktion die Produktregel und die Kettenregel der Ableitung?

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Variationsrechnung
funktionale Ableitungen

linuxfreebird

Ich habe gesehen, wie Wikipedia die Produktregel und vielleicht die Kettenregel für die Variation des Langragin wie folgt verwendet:

\begin{aligned} \frac{δ [F (G (X, \dot{X})) H (X, \dot{X})]}{δ X} = (\frac{δ [F (G)]}{δ G} \frac{δ [G (X, \dot{X})]}{δ X}) H (X, \dot{X}) + F (G (X, \dot{X})) \frac{δ [H (X, \dot{X})]}{δ X} \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\delta [f(g(x,\dot{x}))h(x,\dot{x})] } {\delta x} = \left( \dfrac{\delta [f(g)] } {\delta g} \dfrac{\delta [g(x,\dot{x})] } {\delta x} \right) h(x,\dot{x}) + f(g(x,\dot{x})) \dfrac{\delta [h(x,\dot{x})] } {\delta x} \end{align}$ wo die Variation des Lagrange definiert ist

\begin{aligned} \frac{δ L}{δ X} = \frac{\partial L}{\partial X} - \frac{D}{D τ} \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\delta \mathcal{L} } {\delta x} = \dfrac{\partial \mathcal{L} } {\partial x} - \dfrac{d}{d \tau} \dfrac{\partial \mathcal{L} } {\partial \dot{x}} \end{align}$ Und

L = f (g (x, \dot{x})) h (x, \dot{x})

$\mathcal{L}=f(g(x,\dot{x}))h(x,\dot{x})$ .

Erfüllt die Variation der Lagrangefunktion die Produktregel und die Kettenregel der Ableitung?

Kyle Kanos

Typischerweise ist es die Aktion,

S = \int d t L

$S=\int\,dt\,\mathcal L$ , das ist vielfältig und Sie müssen die partielle Integration verwenden, um Ihre zweite Formel zu beweisen.

Antworten (3)

QMechaniker

OP berücksichtigt die zeitgleiche funktionale Ableitung (FD)
$\begin{matrix} (1) & \frac{δ F (T)}{δ X (T)} := \frac{\partial F (T)}{\partial X (T)} - \frac{D}{D T} \frac{\partial F (T)}{\partial \dot{X} (T)} + \dots . \end{matrix}$ $\tag{1} \frac{\delta f(t)}{\delta x(t)}~:=~\frac{\partial f(t)}{\partial x(t)} - \frac{d}{dt} \frac{\partial f(t)}{\partial \dot{x}(t)} +\ldots.$ Hier $f(t)$ ist eine Abkürzung für die Funktion $f(x(t), \dot{x}(t), \ldots;t)$ . Obwohl das 'gleichzeitige' FD (1) notationell nützlich sein kann, hat es verschiedene Trugschlüsse, vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .
Die Leibniz-Regel
$\begin{matrix} (2) & \frac{δ (F (T) G (T))}{δ X (T)} = \frac{δ F (T)}{δ X (T)} G (T) + F (T) \frac{δ G (T)}{δ X (T)} (\leftarrow Falsch!) \end{matrix}$ $\tag{2} \frac{\delta (f(t)g(t))}{\delta x(t)} ~=~\frac{\delta f(t)}{\delta x(t)} g(t) +f(t)\frac{\delta g(t)}{\delta x(t)}\qquad(\leftarrow \text{Wrong!})$ für die „gleichzeitige“ FD (1) gilt nicht . Gegenbeispiel: Nimm $f(t)=g(t)=\dot{x}(t)$ .
Die Kettenregel
$\begin{matrix} (3) & \frac{δ F (T)}{δ X (T)} = \frac{δ F (T)}{δ j (T)} \frac{δ j (T)}{δ X (T)} (\leftarrow Falsch!) \end{matrix}$ $\tag{3} \frac{\delta f(t)}{\delta x(t)} ~=~\frac{\delta f(t)}{\delta y(t)}\frac{\delta y(t)}{\delta x(t)}\qquad\qquad(\leftarrow \text{Wrong!})$ für die „gleichzeitige“ FD (1) gilt nicht . Gegenbeispiel: Nimm $f(t)=y(t)^2$ Und $y(t)=\dot{x}(t)$ .
Allerdings das übliche FD $\frac{\delta F}{\delta x(t)}$ (Wo $F[x]$ ein Funktional ist) erfüllt eine Leibniz-Regel
$\begin{matrix} (4) & \frac{δ (F G)}{δ X (T)} = \frac{δ F}{δ X (T)} G + F \frac{δ G}{δ X (T)}, \end{matrix}$ $\tag{4} \frac{\delta (FG)}{\delta x(t)} ~=~\frac{\delta F}{\delta x(t)} G +F\frac{\delta G}{\delta x(t)},$ und eine Kettenregel $\begin{matrix} (5) & \frac{δ F}{δ X (T)} = \int D T^{'} \frac{δ F}{δ j (T^{'})} \frac{δ j (T^{'})}{δ X (T)} . \end{matrix}$ $\tag{5} \frac{\delta F}{\delta x(t)}~=~ \int dt^{\prime} ~\frac{\delta F}{\delta y(t^{\prime})}\frac{\delta y(t^{\prime})}{\delta x(t)}.$

Danu

Gute Punkte, +1. Ich hätte erwähnen sollen, dass diese (unorthodoxe) Definition nicht funktioniert.

Steven Mathey

Im Allgemeinen gehorchen funktionale Derivate Ketten- und Produktregeln. Wenn Sie das Konzept stört, können Sie sich eine Funktion immer als Vektor mit unendlich vielen Koordinaten vorstellen. Dann ist eine funktionale Ableitung nur eine partielle Ableitung.

Wenn $F[h]$ ist ein Funktional der Funktion $h(x)$ . Sie können sich das vorstellen als

H \to \vec{H} = (H (X_{1}), H (X_{2}), . . ., H (X_{N})) \equiv (H_{1}, H_{2}, . . ., H_{N}),

$h \to \vec{h} = \left(h(x_1), h(x_2), ..., h(x_n)\right) \equiv \left(h_1, h_2, ..., h_n\right)\, ,$

Und

F [H] \to F (H_{1}, H_{2}, . . ., H_{N}) .

$F[h] \to F\left(h_1, h_2, ..., h_n\right) \, .$

Der Satz von $x_i$ ist unendlich groß und deckt alle Werte ab $x$ . Dann ist die Analogie für funktionelle Derivate

\frac{δ F}{δ H (X)} \to \frac{\partial F}{\partial H_{ich}} .

$\frac{\delta F}{\delta h(x)} \to \frac{\partial F}{\partial h_i} \, .$

$i$ ist so gewählt, dass $x_i = x$ .

Diese Analogie funktioniert gut, aber Vorsicht bei den Dimensionen! Die Definition eines funktionalen Derivats ist ( $\delta(x-x')$ ist die Deltaverteilung),

\frac{δ F}{δ H (X)} \equiv lim_{ϵ \to 0} \frac{F [H (X) + ϵ δ (X - X^{'})] - F [H]}{ϵ} .

$\frac{\delta F}{\delta h(x)} \equiv \lim_{\epsilon \to 0} \frac{F[h(x)+\epsilon \delta(x-x')]-F[h]}{\epsilon} \, .$

Dies hat nicht die gleiche Dimension wie das, was Sie von der Analogie erwarten würden,

\frac{\partial F}{\partial H_{ich}} \equiv lim_{δ H \to 0} \frac{F (H_{1}, . . ., H_{ich} + δ H, . . ., H_{N})}{δ H},

$\frac{\partial F}{\partial h_i} \equiv \lim_{\delta h \to 0}\frac{F(h_1,...,h_i+\delta h,...,h_n)}{\delta h} \, ,$

weil die Delta-Funktion sowie $\epsilon$ eine Dimension tragen.

Beachten Sie, was Sie Definition für die funktionale Ableitung nennen

\frac{δ F}{δ H (X)} = \frac{\partial F}{\partial H} - \frac{D}{D T} \frac{\partial F}{\partial \dot{H}},

$\frac{\delta F}{\delta h(x)} = \frac{\partial F}{\partial h} - \frac{\text{d}}{\text{d}t} \frac{\partial F}{\partial \dot{h}}\, ,$

gilt nur für die Lagrangedichte und ist eine Eigenschaft der klassischen Mechanik.

Danu

Ja. Wir haben es hier mit funktionalen Derivaten zu tun und diese erfüllen die Kettenregel und die Produktregel, was wirklich ein wichtiger Grund ist, warum es überhaupt als Derivat bezeichnet werden kann.

Wichtiger Hinweis: Die Definition, die Sie für die funktionale Ableitung geben, ist nicht die Standarddefinition und erfüllt nicht die üblichen Eigenschaften (wie von Qmechanic gezeigt).

linuxfreebird

Diesen Beweis würde ich gerne sehen. Ich bin sehr neugierig.

Danu

@linuxfreebird Ich denke nicht, dass es allzu schwer sein sollte, ausgehend von der Definition in dem von mir verlinkten Wiki-Artikel. Alternativ können Sie versuchen, eine Kopie des Buches von Parr & Young zu erhalten, das Wikipedia zitiert.

Erfüllt die Variation der Lagrangefunktion die Produktregel und die Kettenregel der Ableitung?

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