Erleichterung der Notation auf Vereinigungen und Schnittpunkten.

Ich denke, dass viele dieser Probleme zum Teil durch die Annahme einer Art Konvention bezüglich der Klammerung geklärt werden könnten. Beispielsweise könnte die linke Seite Ihrer ersten Gleichung genauso gut geschrieben werden wie

$$\bigcup_{\alpha \in A} \bigcup_{\beta \in B_{\alpha}} \bigcap_{i \in I_{n(\alpha,\beta)}} U_{\alpha,\beta,i}$$ Diese Konvention ist Standard und eliminiert alle bis auf zwei Klammerpaare in Ihrem Zitat, nämlich äußere Klammern in den Begriffen auf beiden Seiten des $\cap$Symbol auf der linken Seite Ihrer zweiten Gleichung.

Du könntest die Gleichungen auch in Form von Quantoren formulieren. In der Tat gegebene Sätze$X$Und$Y$,$X=Y$dann und nur dann, wenn$x \in X \Leftrightarrow x \in Y$für alle möglichen Werte von$x$; dann können Vereinigungen in Form von Existenzquantoren geschrieben werden ($\exists$) und Schnittmengen in Bezug auf universelle Quantoren ($\forall$).

Aber ehrlich gesagt, wenn es Ihr Ziel ist, Mathematik zu vermitteln , dann könnte es sich lohnen, in Ihren Notizen mehr ins Detail zu gehen, auf Kosten der Prägnanz.

Es könnte nützlich sein, dies in zwei Schritten zu tun, wobei der Begriff einer Basis für die Topologie verwendet wird. Zur Erinnerung, für einen topologischen Raum$(X,\mathcal{T})$, eine Basis für$X$ist eine Sammlung$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$so dass für jede offene Menge$O$, es gibt welche$\mathcal{B'} \subseteq \mathcal{B}$so dass$\cup \mathcal{B'} = O$. Jede offene Menge ist also eine Vereinigung von Mengen der Basis, und alle Basismengen sind selbst offen.

Nun ist bekannt, dass wenn wir einen Satz haben$X$, ohne Topologie, und wir haben eine Sammlung$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$, Dann$\mathcal{B}$ist eine Basis für eine (eindeutig bestimmte) Topologie$\mathcal{T}$An$X$wenn es zwei Bedingungen erfüllt:

1. $\cup \mathcal{B} = X$.
2. Für alle$B_1, B_2 \in \mathcal{B}$und für alle$x \in B_1 \cap B_2$, es gibt welche$B_3 \in \mathcal{B}$so dass$x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2$.

und diese Topologie ist definiert durch$\mathcal{T} = \{ \cup \mathcal{B'}: \mathcal{B'} \subseteq \mathcal{B}\}$, dh alle Vereinigungen von Unterfamilien der Basis. In der Tat,$\mathcal{T}$ist eindeutig die kleinste Topologie, die enthält$\mathcal{B}$als Teilmenge (da Topologien unter Vereinigungen abgeschlossen sind, müssen diese Vereinigungen also sowieso drin sein; die zweite der Bedingungen wird tatsächlich verwendet, um zu zeigen, dass endliche Schnittmengen solcher Vereinigungen tatsächlich auch darin enthalten sind). Dies ist in Munkres oder jedem Standard-Topologie-Lehrbuch gut abgedeckt.

Nun, wenn wir eine Sammlung haben$\mathcal{S}$von Teilmengen von$X$(wieder ein Satz), dann definieren$\mathcal{B} = \{ \cap \mathcal{S'}: \mathcal{S'} \subseteq \mathcal{S} , \mathcal{S'} \text{ finite } \}$, dh alle endlichen Schnittpunkte aus$\mathcal{S}$, Wo$\cap \emptyset = X$(nach Konvention / Logik).

Das prüft man$\mathcal{B}$erfüllt die oben genannten Bedingungen, um eine Basis zu sein: Der leere Schnittpunkt ergibt die erste und unsere neu definierte$\mathcal{B}$ist unter Schnittpunkten abgeschlossen, was trivialerweise die zweite Bedingung ergibt, wie wir sie immer annehmen können$B_3 = B_1 \cap B_2$.

Aber wenn wir uns den obigen Satz ansehen, sehen wir, dass alle Vereinigungen aus$\mathcal{B}$genau die von erzeugte Topologie erzeugen$\mathcal{B}$. Betrachten wir also irgendeine Topologie$\mathcal{T'}$das beinhaltet$\mathcal{S}$, Dann$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T'}$da Topologien unter endlichen Schnittpunkten geschlossen sind und so$\mathcal{T}$(Die Topologie der Vereinigungen von$\mathcal{B}$)$\subseteq \mathcal{T'}$sowie. Also in der Tat die Topologie generiert von$\mathcal{S}$ist genau die Menge aller Vereinigungen endlicher Schnittmengen aus$\mathcal{S}$, wie behauptet.

Auf diese Weise führen wir den nützlichen Begriff einer Basis ein (den Sie sowieso brauchen) und vermeiden den rechnerischen Ansatz in Ihrem Beweis.