Jech bemerkt in Kapitel 5 von Set Theory, 2003, dass, wenn eine Familie von nicht leeren Mengen gegeben ist , in einigen Fällen kann die Existenz der Wahlfunktion in ZF nachgewiesen werden:
(iii) wenn jedes X ∈ S eine endliche Menge reeller Zahlen ist; sei f (X) = das kleinste Element von X.
Gleich im nächsten Satz heißt es jedoch:
... man kann die Existenz einer Auswahlfunktion (in ZF) nicht einfach durch die Annahme beweisen, dass die einsetzt sind endlich; auch wenn alle nur zwei Elemente hat (z. B. Mengen von Realzahlen) , können wir das nicht unbedingt beweisen hat eine Auswahlfunktion.
(Hervorhebung von mir)
Wieso ist das kein Widerspruch zu (iii)?
Die reellen Zahlen sind linear geordnet. Wenn also eine [nicht leere] endliche Menge gegeben ist, hat sie ein wohldefiniertes Minimum und Maximum.
Dies ermöglicht es uns, eine einheitliche Auswahl aus allen [nicht leeren] endlichen Teilmengen der reellen Linie zu definieren : Wählen Sie einfach das Minimum jeder Menge.
Allerdings ist nicht jede Menge eine Menge reeller Zahlen. Und nicht jede endliche Menge ist eine endliche Menge reeller Zahlen. Und tatsächlich ist es konsequent, dass es eine abzählbare Familie von Größenmengen gibt ohne Wahlfunktion. Als Konsequenz bedeutet es, dass wenn ist eine Menge, von der alle diese Paare Teilmengen sind , Dann kann nicht linear geordnet werden.
Der fettgedruckte Teil erwähnt, dass die Elemente der endlichen Mengen selbst Mengen von reellen Zahlen sind. Keine reellen Zahlen und keine endliche Menge reeller Zahlen. Daher gibt es keinen kanonischen Weg mehr, aus jeder endlichen Menge ein Element auszuwählen.
Daraus folgt auch, dass mit nur , nicht jede Menge kann linear geordnet werden.
René Schipperus
Asaf Karagila
Ältester