Existenz von Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren

Wenn die Aktion gegeben ist, ist die Existenz offensichtlich (es sei denn, die Definition ist fehlerhaft). Aber normalerweise möchte man verifizieren, dass alle Erzeugungsoperatoren pendeln, alle Vernichtungsoperatoren pendeln und der Kommutator eines Erzeugungsoperators und eines Vernichtungsoperators eine c-Zahl ist.

Darüber hinaus möchte man für eine Feldtheorie normalerweise verifizieren, dass sich diese c-Zahl unter Poincaré-Transformationen kovariant transformiert und bei raumartiger Trennung verschwindet. Dies gilt für Freifeldtheorien. Für interaktive Feldtheorien gibt es keine intrinsischen c/a-Operatoren, da ihre Eigenschaften durch Renormierung zerstört werden. Aber man kann (gemäß der Haag--Ruelle-Theorie) jedem gebundenen Zustand eine Familie von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zuordnen, die durch den Impuls parametrisiert sind und die freie asymptotische Bewegung in einem Streuprozess beschreiben.

Die Aktion eines Operators auf den Vektoren einer Basis bereitzustellen, ist genau dasselbe wie "sie aufzuschreiben", da sie sich durch Linearität auf alle anderen Vektoren erstreckt. Dies ist dasselbe wie das Schreiben der Matrix eines linearen Operators zwischen Vektorräumen. Somit existieren Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren automatisch, wenn sie definiert werden.

Für eine Theorie mit einer Massenlücke reicht es aus, die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren durch ihre Wirkung zu definieren, aber diese Operatoren werden im Allgemeinen keine lokalen Eigenschaften haben, sie werden nicht die Fourier-Transformation von Feldern sein, die der Mikrokausalität gehorchen oder aus a stammen lokales Lagrange.

Wenn Teilchen über den ganzen Raum verteilt sind, haben sie keine Wechselwirkung. Ihr S-Matrix-Element ist

Wo I die Identität ist, hat es auch Delta-Funktionen, die die eingehenden k gleich den ausgehenden k machen, während A nur eine Gesamt-Delta-Funktion für die Energie-Impuls-Erhaltung hat (A könnte die Identität bei einigen der Teilchen sein und nicht die Identität bei anderen , aber das sind noch weniger Deltafunktionen). Dies bedeutet, dass zwei unendliche ebene Wellen eine Delta-Funktionsstreuung in der Vorwärtsrichtung haben, aber nur eine glatte Verteilung in der Off-Forward-Richtung. Die Interpretation ist einfach, dass, wenn Sie den Teilchenstrahl dünner machen, die Anzahl der Kollisionen auf Null geht.

Dieses Argument versagt bis zu einem gewissen Grad in infrarotdivergenten Theorien (wie der Quantenelektrodynamik), da Sie mit jedem geladenen Teilchen ein nichtlokales Feld erzeugen müssen. In diesem Fall müssen Sie die Existenz beweisen, da nicht klar ist, dass derselbe Hilbert-Raum sowohl einen Null-Elektronen-Zustand als auch einen Ein-Elektronen-Zustand mit einem Feld mit unendlicher Reichweite enthält (obwohl der Null-Elektronen-Zustand Elektron-Positron-Zustände enthalten muss, die sind netzneutral und haben daher ein kürzeres Reichweitenfeld).

Aber in jeder relativistischen Feldtheorie mit einer Massenlücke können Sie, wenn Sie ein Vakuum und einen Ein-Teilchen-Zustand haben, Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren definieren, die n-Teilchen-Zustände (notwendigerweise nicht wechselwirkende) erzeugen. Dann können Sie aus diesen Operatoren ein Quantenfeld definieren. Dieses Quantenfeld wird im Allgemeinen keine lokalen Wechselwirkungen haben, da die Teilchen H-Atome oder Pionen sein können, sie müssen keine punktförmigen Photonen sein.

Das Problem bei der Konstruktion von Quantenfeldtheorien besteht darin, sicherzustellen, dass das Feld für die Elementarteilchen lokal ist, und dies erfordert manchmal unterschiedliche Freiheitsgrade, wie Quarks, die nicht asymptotisch sind. In diesem Fall können Sie keinen Quark-Erzeugungsoperator definieren, da das starke Feld des Quarks mit unendlicher Reichweite eine Zeichenfolge mit unendlicher Masse ist und definitiv außerhalb des Hilbert-Raums der Theorie liegt.