Explizite Überprüfung einer Streutheorieidentität

Question

Explizite Überprüfung einer Streutheorieidentität

Wolpertinger

Ich habe kürzlich Streutheorie auf formaler Ebene studiert und glaube, dass ich das Thema mittlerweile recht gut verstehe. Womit ich jedoch oft zu kämpfen habe, ist, die abstrakten Identitäten in explizite Repräsentationen zu übersetzen und damit Probleme zu lösen. Ich habe dieses Problem auf das folgende Beispielproblem reduziert, das ein wenig Algebra erfordert, aber meiner Meinung nach ziemlich lehrreich ist. Ich habe die meisten Formeln bereits bereitgestellt, aber wahrscheinlich ist irgendwo ein konzeptioneller Fehler.

Betrachten Sie die eindimensionale Schrödinger-Gleichung

(- \frac{1}{2} \frac{d^{2}}{d x^{2}} + v (x)) ψ (x) = E ψ (x)

$\left(-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\right)\psi(x) = E\psi(x)$ mit dem endlichen quadratischen Wannenpotential, das auf einer Seite von einer unendlichen Barriere abgeschlossen wird

v (x) = {\begin{cases} \infty, & Pro x \leq - L \\ v_{0}, & Pro - L \leq x \leq 0 \\ 0, & Pro 0 \leq x . \end{cases}

$V(x) = \begin{cases} \infty, & \text{for } x \leq -L \\ V_0, & \text{for } -L \leq x \leq 0 \\ 0, & \text{for } 0 \leq x. \end{cases}$ Nehmen Sie der Einfachheit halber an

V_{0} < 0

$V_0<0$ .

Eine Menge von Streuzuständen für dieses Problem lässt sich leicht finden als

ψ^{(+)} (E, x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} {\begin{cases} \frac{ich (E) β}{a} Sünde (a (1 + \frac{x}{L})), & Pro - L \leq x \leq 0 \\ e^{- ich \sqrt{2 E} x} + S (k) e^{ich \sqrt{2 E} x}, & Pro 0 \leq x . \end{cases}

$\psi^{(+)}(E,x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\begin{cases} \frac{I(E)\beta}{\alpha}\sin\left(\alpha(1+\frac{x}{L})\right), & \text{for } -L \leq x \leq 0 \\ e^{-i\sqrt{2E}x} + S(k) e^{i\sqrt{2E}x}, & \text{for } 0 \leq x. \end{cases}$ Hier,

S (k)

$S(k)$ ist die Streumatrix (nur eine Zahl, da es hier nur den Reflexionskanal gibt)

S (E) = - \frac{a Kinderbett (a) + ich β}{a Kinderbett (a) - ich β}

$S(E)=-\frac{\alpha\cot(\alpha) + i\beta}{\alpha \cot(\alpha) - i\beta}$ und die restlichen Koeffizienten sind

ich (E) = - \frac{2 ich a}{a \cos (a) - ich β Sünde (a)},

$I(E) = - \frac{2i\alpha}{\alpha \cos(\alpha) - i\beta \sin(\alpha)},$

a = \sqrt{β^{2} - 2 v_{0} L^{2}},

$\alpha = \sqrt{\beta^2-2V_0L^2},$

β = L \sqrt{2 E} .

$\beta = L \sqrt{2E}.$

So weit, ist es gut. Nun wissen wir aus der formalen Streutheorie, dass es auch eine T-Matrix gibt, die definiert ist durch (siehe z. B. Gl. (7.40) in Newtons Buch (verfügbar auf Springer Link))

T (E) = ⟨ ψ_{0} (E) | v | ψ^{(+)} (E) ⟩ .

$T(E) = \langle\psi_0(E)|V|\psi^{(+)}(E)\rangle.$

Wichtig ist, dass die T-Matrix mit der Streumatrix verwandt ist , die im Einkanalfall die einfache Form annimmt (siehe Gl. (7.58) in Newtons Buch )

S (E) = 1 - 2 π ich T (E) .

$S(E) = 1 - 2\pi i T(E).$

Hier, $\psi_0$ ein Eigenzustand des freien Hamiltonoperators ist (d.h. mit $V=0$ ), in unserem Beispiel mit der Randbedingung at $x=-L$ wir bekommen

ψ_{0} (E, x) = \sqrt{\frac{2}{π}} Sünde (β (1 + \frac{x}{L})) .

$\psi_0(E,x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin\left(\beta(1+\frac{x}{L})\right).$

Für unser Beispiel kann nun das Überlappungsintegral für die T-Matrix in der Positionsdarstellung ausgewertet werden

T (E) = v_{0} \int_{- L}^{0} d x ψ_{0} (E, x) ψ^{(+)} (E, x)

$T(E) = V_0 \int_{-L}^{0} dx \psi_0(E,x) \psi^{(+)}(E,x)$ und wir können unsere Formeln dafür einsetzen. Beim Einsetzen des Ergebnisses in die Relation zur Streumatrix gilt jedoch nicht . Ich habe dies mit Mathematica und manueller Berechnung überprüft.

Irgendwas mache ich eindeutig falsch. Aber was? Mein Verdacht ist, dass ich die falschen Zustände eingesteckt habe, aber ich weiß nicht, was die richtigen sind.

BEARBEITEN: Nach der Diskussion mit TwoBs finden Sie hier weitere Einblicke, welche Zustände verwendet werden sollten . So weit ich das verstehe $\psi_0(E,x)$ kann nur ein Eigenzustand des freien Hamiltonoperators sein; $\psi^{(+)}(E,x)$ ist ein Eigenzustand des vollständigen Hamilton-Operators, aber auch eindeutig durch die Lippmann-Schwinger-Gleichung definiert:

| ψ^{(+)} (E) ⟩ = | ψ_{0} (E) ⟩ + G^{(+)} (E) v | ψ^{(+)} (E) ⟩,

$|\psi^{(+)}(E)\rangle = |\psi_0(E)\rangle + G^{(+)}(E) V |\psi^{(+)}(E)\rangle,$ mit

G^{(+)} (E) = \frac{1}{E - H_{0} + i 0^{+}}

$G^{(+)}(E) = \frac{1}{E-H_0 + i0^+}$ .

Die explizite Formel, die ich für gegeben habe $|\psi^{(+)}(E)\rangle$ oben war nur ein Eigenzustand des vollständigen Hamilton-Operators, also ist der Fehler wahrscheinlich, dass er die Lippmann-Schwinger-Gleichung mit nicht erfüllt $|\psi_0(E)\rangle$ Ich benutzte. Aber welcher Staat tut das?

ZweiBs

Als vorläufige Lösung würde ich denken, dass Sie tatsächliche kostenlose Lösungen (Planwellen) verwenden sollten, bei denen das gesamte Potenzial ausgeschöpft wird, nicht nur

V_{0}

$V_0$ , ist entfernt. Mit anderen Worten, die S-Matrix ist nicht in Bezug auf die freie Ausbreitung auf der gesamten realen Linie definiert, sondern nur auf einer Halblinie? Übrigens sollte die freie Welle die gleiche Energie wie die exakte Lösung haben.

Wolpertinger

@TwoBs Das ist eine großartige Idee! Würden Sie zur Verdeutlichung so etwas wie verwenden

ψ_{0} (E, x) \propto e^{\pm i \sqrt{2 E} x}

$\psi_0(E,x) \propto e^{\pm i\sqrt{2E}x}$ ? Ich habe diese tatsächlich schon einmal ausprobiert und habe 3 Probleme damit: a) Ich kann es nicht dazu bringen, eine T-Matrix zu geben, die die Beziehung zur S-Matrix erfüllt. b) Von einem abstrakten Standpunkt aus denke ich, dass dies eine nicht-einheitliche S-Matrix zur Reflexion ergeben würde, da man nicht vermeiden kann, den Übertragungskanal zu öffnen, wenn man diese Lösungen verwendet. c) Ich denke, dass anstelle eines unendlichen Potenzials an

x < - L

$x<-L$ Sie könnten auch eine Randbedingung bei berücksichtigen

x = - L

$x=-L$ . Und die Freistaaten sollten sich an die BCs halten...

Wolpertinger

@TwoBs trotzdem denke ich du bist auf dem richtigen Weg!! Vor allem, wenn man sich die Form ansieht

ψ^{(+)}

$\psi^{(+)}$ Zustand, asymptotisch erhalten Sie die

e^{\pm i \sqrt{2 E} x}

$e^{\pm i\sqrt{2E}x}$ Zustände, wobei die relative Größe die Streumatrix ist. Aufgrund obiger Argumente liegt meine Vermutung aber nahe, dass der Freistaat recht haben könnte und das

ψ^{(+)}

$\psi^{(+)}$ falsch angeben. Beide Möglichkeiten möchte ich aber nicht ausschließen.

ZweiBs

Nicht sicher, ein anderer Weg (orthogonal zu meinem vorherigen Kommentar :-) ) besteht vielleicht darin, Ihre Definition der S-Matrix zu ändern und anzurufen

S

$S$ der relative Koeffizient freier Lösungen auf der Halblinie

(- L, + \infty)

$(-L,+\infty)$ (anstatt auf der ganzen Linie), die benötigt werden, um den Fall mit zu reproduzieren

V_{0} \neq 0

$V_0\neq 0$ . Damit beide mit

V_{0} = 0

$V_0=0$ und

V_{0} \neq 0

$V_0\neq 0$ die Wellenfunktionen erfüllen die richtigen BC's at

x = - L

$x=-L$ .

Wolpertinger

@TwoBs könnte eine Option sein, glauben Sie, dass Sie mit diesem Ansatz tatsächlich zeigen können, wie die Identität erfüllt wird? Nur ein Wort der Warnung: Ich vermute, dass dies auch nicht funktionieren wird. Grund: Ich habe die S-Matrix nicht über relative Koeffizienten definiert, sondern über das richtige Überlappungsintegral. Ich kenne seine Form aus einer ganz anderen Berechnung und der relative Koeffizient in dem, was ich psi^+ nannte, ist zufällig derselbe.

Antworten (1)

Explizite Überprüfung einer Streutheorieidentität

Als vorläufige Lösung würde ich denken, dass Sie tatsächliche kostenlose Lösungen (Planwellen) verwenden sollten, bei denen das gesamte Potenzial ausgeschöpft wird, nicht nur $V_0$ , ist entfernt. Mit anderen Worten, die S-Matrix ist nicht in Bezug auf die freie Ausbreitung auf der gesamten realen Linie definiert, sondern nur auf einer Halblinie? Übrigens sollte die freie Welle die gleiche Energie wie die exakte Lösung haben.
@TwoBs Das ist eine großartige Idee! Würden Sie zur Verdeutlichung so etwas wie verwenden $\psi_0(E,x) \propto e^{\pm i\sqrt{2E}x}$ ? Ich habe diese tatsächlich schon einmal ausprobiert und habe 3 Probleme damit: a) Ich kann es nicht dazu bringen, eine T-Matrix zu geben, die die Beziehung zur S-Matrix erfüllt. b) Von einem abstrakten Standpunkt aus denke ich, dass dies eine nicht-einheitliche S-Matrix zur Reflexion ergeben würde, da man nicht vermeiden kann, den Übertragungskanal zu öffnen, wenn man diese Lösungen verwendet. c) Ich denke, dass anstelle eines unendlichen Potenzials an $x<-L$ Sie könnten auch eine Randbedingung bei berücksichtigen $x=-L$ . Und die Freistaaten sollten sich an die BCs halten...
@TwoBs trotzdem denke ich du bist auf dem richtigen Weg!! Vor allem, wenn man sich die Form ansieht $\psi^{(+)}$ Zustand, asymptotisch erhalten Sie die $e^{\pm i\sqrt{2E}x}$ Zustände, wobei die relative Größe die Streumatrix ist. Aufgrund obiger Argumente liegt meine Vermutung aber nahe, dass der Freistaat recht haben könnte und das $\psi^{(+)}$ falsch angeben. Beide Möglichkeiten möchte ich aber nicht ausschließen.
Nicht sicher, ein anderer Weg (orthogonal zu meinem vorherigen Kommentar :-) ) besteht vielleicht darin, Ihre Definition der S-Matrix zu ändern und anzurufen $S$ der relative Koeffizient freier Lösungen auf der Halblinie $(-L,+\infty)$ (anstatt auf der ganzen Linie), die benötigt werden, um den Fall mit zu reproduzieren $V_0\neq 0$ . Damit beide mit $V_0=0$ und $V_0\neq 0$ die Wellenfunktionen erfüllen die richtigen BC's at $x=-L$ .
@TwoBs könnte eine Option sein, glauben Sie, dass Sie mit diesem Ansatz tatsächlich zeigen können, wie die Identität erfüllt wird? Nur ein Wort der Warnung: Ich vermute, dass dies auch nicht funktionieren wird. Grund: Ich habe die S-Matrix nicht über relative Koeffizienten definiert, sondern über das richtige Überlappungsintegral. Ich kenne seine Form aus einer ganz anderen Berechnung und der relative Koeffizient in dem, was ich psi^+ nannte, ist zufällig derselbe.

Benutzer200143 · Answer 1

Das ist meistens richtig. Damit es funktioniert, müssen einige Ungereimtheiten in den Definitionen und der Notation behoben werden.

Zuerst definieren Sie den Hamilton-Operator mit $V_0=0$ die Situation ohne Streuung sein. Ohne Streuung, $T=0$ , also die $S=1+2i\pi T$ Gleichung wurde mit der Konvention abgeleitet, dass $S = 1$ wenn es keine Streuung gibt. Stattdessen mit $V_0=0$ , dein S enthält die Phasenverschiebung der auslaufenden Welle $x=0$ zu $x=-L$ und zurück zusammen mit einem Vorzeichenwechsel von der Reflexion. Um konsistent zu sein, sollten Sie definieren $S$ ohne diese zusätzliche Phasenverschiebung:

ψ^{(+)} (E, x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} {\begin{array}{cc} \frac{ich (E) β}{a} Sünde (a (1 + \frac{x}{L})), & - L \leq x \leq 0 \\ e^{- ich \sqrt{2 E} x} - S (E) e^{ich \sqrt{2 E} 2 L} e^{ich \sqrt{2 E} x} \end{array}

$\begin{equation} \psi^{(+)}(E,x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left \{ \begin{array}{cc} \frac{I(E)\beta}{\alpha}\sin\left (\alpha(1+\frac{x}{L})\right), & -L \leq x \leq 0\\ e^{-i\sqrt{2E}x}-S(E)e^{i\sqrt{2E}2L}e^{i\sqrt{2E}x} \end{array} \right . \end{equation}$ mit

S (E) = \frac{a Kinderbett a + ich β}{a \cos a - ich β} e^{- ich \sqrt{2 E} 2 L}

$\begin{equation} S(E) = \frac{\alpha\cot\alpha+i\beta}{\alpha\cos\alpha-i\beta} e^{-i\sqrt{2E}2L} \end{equation}$

Die Green-Funktion für die $\psi^+(E,x)$ Zustand, der die Lippmann-Schwinger-Gleichung erfüllt, trägt nur ausgehende Wellen im Unendlichen bei. Das sagt Ihnen also, dass für groß $x$ es sollte in der Form sein $\psi_0(E,x)+Ce^{i\sqrt{2E}x}$ , bei dem die $\psi_0(E,x)$ trägt alle ankommenden Wellen bei. Ihre Streulösung hat die ankommende Welle $e^{-i\sqrt{2E}x}$ multipliziert mit $\sqrt\frac{1}{2\pi}$ , aber in Ihrem $\psi_0(E,x)$ dieser Term wird multipliziert mit $-\frac{i}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\sqrt{2E}L}$ . Die einfachste Problemumgehung besteht also darin, neu zu definieren $\psi_0(E,x)$ sein

ψ_{0} (E, x) = ich \sqrt{\frac{2}{π}} e^{- ich \sqrt{2 E} L} Sünde (β (1 + \frac{x}{L})),

$\begin{equation} \psi_0(E,x) = i\sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-i\sqrt{2E}L}\sin\left (\beta(1+\frac{x}{L})\right) \,, \end{equation}$ damit es im Einklang steht

ψ^{(+)} (E, x)

$\psi^{(+)}(E,x)$ und die Lippmann-Schwinger-Gleichung, wie von TwoBs vorgeschlagen. Schließlich die On-Shell

T

$T$ Matrix

T (E)

$T(E)$ sollte von der Hälfte auf der Schale definiert werden

T

$T$ Matrix

T (E^{'}, E) = ⟨ ψ_{0} (E^{'}) | V | ψ^{(+)} (E) ⟩

$T(E',E)=\langle \psi_0(E')|V|\psi^{(+)}(E)\rangle$ von

\int d k^{'} δ (\frac{k^{' 2}}{2} - E) T (\frac{k^{'} 2}{2}, E)

$\int dk' \delta(\frac{k'^2}{2}-E)T(\frac{k'2}{2},E)$ , wobei das Integral dadurch gegeben ist, wie Sie die Vollständigkeitsbeziehung mit Ihrer Normalisierung bilden. Deshalb

T (E) = \frac{1}{\sqrt{2 E}} ⟨ ψ_{0} (E^{'}) | V | ψ^{(+)} (E) ⟩

$T(E)= \frac{1}{\sqrt{2E}} \langle \psi_0(E')|V|\psi^{(+)}(E)\rangle$ Siehe beispielsweise S. Weinberg, Quantum Theory of Fields, Druck der Universität Cambridge, 1995, Gl. 3.2.7.

Mit diesen Änderungen integrieren

T (E) = \frac{v_{0}}{\sqrt{2 E}} \int_{- L}^{0} ψ_{0} (E, x) ψ^{(+)} (E, x)

$\begin{equation}T(E)=\frac{V_0}{\sqrt{2E}}\int_{-L}^0 \psi_0(E,x)\psi^{(+)}(E,x)\end{equation}$

wird geben $S(E)=1-2\pi i T(E)$ .

Anhang

Hier ist eine detailliertere Erklärung des halben On-Shell-Kommentars oben: Wenn Sie mit beginnen

(H_{0} + v) | ψ_{a}^{\pm} ⟩ = E_{a} | ψ_{a}^{\pm} ⟩,

$\begin{equation} (H_0+V)|\psi^\pm_\alpha\rangle=E_\alpha|\psi^\pm_\alpha\rangle\,, \end{equation}$ wo

α

$\alpha$ bezeichnet den jeweiligen Eigenzustand

| ϕ_{α}

$|\phi_\alpha$ und löse mit den Randbedingungen, dass alle ankommenden (+) oder abgehenden (-) Wellen aus dem Anfangszustand stammen

| ϕ_{α} ⟩

$|\phi_\alpha\rangle$ , Sie haben

| ψ_{a}^{\pm} ⟩ = | ϕ_{a} ⟩ + \frac{1}{E_{a} - H_{0} + ich 0^{\pm}} v | ψ_{a}^{\pm} ⟩ .

$\begin{equation} |\psi^\pm_\alpha\rangle = |\phi_\alpha\rangle + \frac{1}{E_\alpha-H_0+i0^\pm} V|\psi^\pm_\alpha\rangle\,. \end{equation}$ Hier

| ϕ_{α} ⟩

$|\phi_\alpha\rangle$ ist ein Eigenzustand von

H_{0}

$H_0$ mit Energie

E_{α}

$E_\alpha$ . Wenn Sie einen vollständigen Satz solcher Eigenzustände von einfügen

H_{0}

$H_0$ , definieren Sie die halbe T-Matrix auf der Schale

T_{β a} = ⟨ ϕ_{β} | \frac{1}{E_{a} - E_{β} + ich 0^{+}} v | ψ_{a}^{+} ⟩ .

$\begin{equation} T_{\beta\alpha}= \langle \phi_\beta|\frac{1}{E_\alpha-E_\beta+i0^+} V|\psi^+_\alpha\rangle\,. \end{equation}$ Es ist halb auf der Schale, weil

E_{α}

$E_\alpha$ ist die Eigenzustandsenergie, aber

E_{β}

$E_\beta$ ist nicht. Sie können dies auch wo lösen

E_{α}

$E_\alpha$ wird durch eine beliebige komplexe Zahl ersetzt, so dass keine Energie auf der Schale ist. Die S-Matrix ist gegeben durch

S_{β a} = δ (a - β) - ich 2 π δ (E_{a} - E_{β}) T_{β a} .

$\begin{equation} S_{\beta\alpha} = \delta(\alpha-\beta)-i2\pi \delta(E_\alpha-E_\beta) T_{\beta\alpha}\,. \end{equation}$ Bei der Delta-Funktion tragen nur Terme bei, bei denen beide Energien gleich sind, sodass diese die On-Shell-T-Matrix ergeben. Normalerweise lösen Sie nach allen Komponenten der T-Matrix mit halber Schale auf, aber ihre Komponenten auf der Schale geben Ihnen die Streuung.

Die obige Delta-Funktion ist diejenige, auf die ich mich oben bezogen habe. Es ist die Delta-Funktion, die Sie in der goldenen Fermi-Regel haben würden, wenn Sie die Übergangsrate berechnen würden (in der niedrigsten Ordnung verwendet die goldene Regel von Fermi die potenziellen Matrixelemente, aber in höherer Ordnung werden diese durch die T-Matrix-Elemente ersetzt). Der Querschnitt ist die Übergangsrate dividiert durch den eingehenden Fluss, und Sie würden die gleiche Art von Beziehung erhalten.

Wow, endlich eine Antwort, vielen Dank! Die Lösung sieht gut aus, ich werde etwas Zeit brauchen, um die Konsistenz zu durchdenken und die Integrale zu machen. Wenn das klappt, werde ich mit einer positiven Bewertung und einem grünen Häkchen zurückkommen ;)
Richtig, ich muss endlich etwas genauer über Ihre Antwort nachdenken. Hier meine Gedanken: 1. Kritik zuerst, ich habe deine Formeln genommen und einfach alles reingesteckt. Leider scheint die Formel immer noch nicht zu greifen. 2. Jetzt noch ein Lob: Der fehlende Phasenfaktor ist ein guter Punkt, ich denke, das ist der Hauptteil bei der Lösungsfindung. 3. Ich verstehe den Kommentar zur Energienormalisierung und der Halbschalen-T-Matrix nicht, könnten Sie das näher erläutern? Zusammenfassung: Fast geschafft, aber die Formel gilt immer noch nicht. Irgendwelche Ideen warum? Vielleicht nur ein Tippfehler?
Ja. Ich hatte die Gelegenheit, noch einmal nachzusehen, und ich hatte das falsche Vorzeichen für den Phasenfaktor von psi_0 geschrieben. Ich habe die Antwort bearbeitet.
Ich habe auch einen Anhang hinzugefügt, der beschreibt, was mit halb auf der Schale usw. gemeint ist.
ausgezeichnet, das Zeichen behebt das Problem. Danke auch für den Anhang! Ich ziehe es vor, die Umleitung zu Streumatrizen mit halber Schale nicht zu nehmen, aber die Normalisierung, auf die Sie hinweisen, kann auch in einer direkten Ableitung von erhalten werden $S=1-2\pi T$ (siehe zB Newton). Das wusste ich vor deiner Antwort nicht, also danke auch dafür!

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