Exponentielle Wachstumsgleichung und Bakterien

In Anbetracht deiner Vermutung:

Ich schaue nur auf den exponentiellen Teil, wo die einfache Exponentialgleichung funktioniert. Wenn wir davon ausgehen, dass genügend Nährstoffe vorhanden sind, damit Bakterien einige Stunden lang ungehindert wachsen können (mehr oder weniger wahr in einer echten Kultur)

In Ihrem ursprünglichen Modell verwenden Sie diskrete Zustände und feste Zeitschritte. Also, wenn 30 Minuten ein Zeitschritt sind, dann haben Sie nach n Schritten$2^n$oder$4^{(n/2)}$Zellen. Sie zählen im Grunde Doppelschritte, was in Ordnung ist. Für eine kontinuierliche Annäherung sollten Sie die Rate wie folgt schätzen.

Sie haben die Wachstumsgleichung erster Ordnung:

Wenn Sie diese Gleichung (bestimmtes Integral) integrieren, erhalten Sie:

Wo$N_f$ist die endgültige Anzahl von Zellen,$N_i$ist die anfängliche Anzahl von Zellen und$\tau$ist das Zeitintervall.

Wenn sich die Zellenzahl dann verdoppelt$\dfrac{N_f}{N_i}=2$und$\tau=30\ \text{min}$(Verdopplungszeit).

Dann wäre Ihre Geschwindigkeitskonstante:$\dfrac{ln(2)}{30}\approx0.023\text{ min}^{-1}$

Nach 16 Stunden (16×30min) wäre Ihre Zellenzahl:$e^{0.023\times16\times60}\approx 4.27\times10^9$(ca. 4 Milliarden).

Was ist also grundsätzlich falsch? Sie haben Ihren Tarif nicht neu skaliert. Da der Exponent ist$e$und du weißt das$a^x=e^{x.ln(a)}$, alles, was Sie tun müssen, ist die Geschwindigkeitskonstante mit zu skalieren$ln(a)$(a=2). Darüber hinaus gibt es in einem kontinuierlichen Modell keine festen Zeitschritte. Also skaliert man die Konstante auch mit der Verdopplungszeit.

Eine echte Bakterienpopulation wird wahrscheinlich eine gewisse Tragfähigkeit erreichen , die sie daran hindert, exponentiell zu wachsen. Infolgedessen eignet sich das exponentielle Modell nur für frühes Wachstum, aber nach einer Weile muss man ein anderes Modell verwenden (normalerweise ein logistisches Modell).

Logistisches Modell

Hier stelle ich schnell ein Standardmodell des logistischen Wachstums für kontinuierliche (und nicht diskrete) Zeit vor.

, wo$K$ist die Tragfähigkeit. An dem obigen Modell können Sie das erkennen, wann$N(t)$ist gering im Vergleich zu$K$, dann wird die Differentialgleichung durch das von Ihnen beschriebene Exponentialmodell gut angenähert$\frac{dN}{dt} \approx r N(t)$. Einstellung$\frac{dN}{dt}=0$zeigt, dass ein Gleichgewicht erreicht ist, wenn$N(t)=0$(instabiles Gleichgewicht) bzw$N(t)=K$(stabiles Gleichgewicht).

Das äquivalente Modell in der diskreten Erzeugung kann allen Arten von Verhalten nachgeben, wenn$r$ausreichend hohe Werte erreicht, einschließlich zyklischer Schwankungen und Chaos.

Fortgeschrittenere Modelle

Es gibt andere realistischere Modelle. Zum Beispiel könnten echte Bakterienpopulationen ihre Ressourcen auch mit einer Rate verbrauchen, die höher ist als die Rate, mit der Ressourcen produziert werden, und die Populationsgröße würde dann abnehmen und schließlich aussterben.

Sie werden hier die Beschreibung eines Modells des Bevölkerungswachstums finden, das Prädationspopulationen umfasst.

Erstellen Sie Ihr eigenes Modell des Bevölkerungswachstums

Diese Modelle sind nicht so schwer aufzubauen, um Ihren Bedürfnissen gerecht zu werden. Die ersten Kapitel von A Biologist's Guide to Mathematical Modeling in Ecology and Evolution (von Otto und Day) helfen Ihnen bei Interesse, Ihre eigenen Modelle der Populationsbiologie zu erstellen und zu analysieren.

Die Quantität$r$muss eine Frequenz sein, gemessen in Stunden$^{-1}$. Sie kann also nicht in Bakterien/Stunde/Zelle gemessen werden. Wenn die Anzahl der Bakterien jede Stunde mit 4 multipliziert wird, bedeutet dies, dass$\exp r= 4,$oder$r= \ln 4$, oder 1, 39 pro Stunde.