Falsche Herleitung der Raketengleichung

Stellen Sie sich eine Rakete im freien Raum mit einer Anfangsmasse (einschließlich Treibstoff) von vor$m_0$Verbrauch/Ausstoß von Kraftstoff mit einer konstanten Rate$r$(Masse pro Zeit). Das bedeutet zu Zeit$t$Die Rakete hat Masse$m=m_0-rt$. Die Abgasgeschwindigkeit ist$v_e$.

Beim Abfeuern vermittelt die Rakete$\dot{m}v_e$Impuls pro Zeiteinheit (Kraft) auf den Auspuff (zuerst habe ich gekämpft, hier liegt das Problem, aber nach mehr Überlegungen scheint es legitim). Dies muss gleich (und entgegengesetzt) ​​dem Impuls sein, der während dieser Zeit auf die Rakete ausgeübt wird, und daher der Änderungsrate des Impulses.

$$-\dot{m}v_e = \frac{d}{dt} (mv) = \dot{m}v + m\dot{v}$$ einwechseln $m=m_0-rt$Und $\dot{m}=-r$wir bekommen $$rv_e = -rv + (m_0-rt)\dot{v}$$ Anwenden der umgekehrten Kettenregel (ich weiß, ich hätte den Begriff für Momentum einfach nicht erweitern und dasselbe Ergebnis erzielen können) und Integrieren $$rv_e = \frac{d}{dt} (m_0-rt)v$$ $$trv_e +c= (m_0-rt)v$$ Umordnen, Festlegen der Konstante (z $v(t=0)=0$) und ersetzen $t=t_{final}$wir bekommen das: $$\frac{\Delta v}{v_e}=\frac{tr}{m_0-rt} = \frac{\text{fuel mass}}{\text{vehicle mass}}$$

was ganz anders ist als die eigentliche Gleichung von

$$\frac{\Delta v}{v_e} = \ln\left(\frac{m_0}{m_f}\right)$$

Ich verstehe die Ableitung dieser Gleichung, was mir fehlt, ist, an welchem ​​​​Punkt in der Ableitung meine Methode schief gelaufen ist. Ich habe das Gefühl, dass die Aussage, dass der Kraftstoff mit einer konstanten Massenrate ausgestoßen wird, einige Berechnungen trivialisiert und mich dazu gebracht hat, einen Faktorfaktor zu verpassen, der den Exponential / Logarithmus ergeben würde, aber das ist nur eine Vermutung.