Variable Massendynamik: Teilchen und starrer Körper

Newtons zweites Gesetz ging ursprünglich davon aus, dass die Masse eine Naturkonstante ist, zumindest wenn man sie als F=dp/dt schreibt. Es funktioniert nur mit einer sich ändernden Masse, wenn diese Masse den Körper mit der gleichen Geschwindigkeit verlässt wie das ursprüngliche Objekt. Um zu verstehen, warum, stellen Sie sich einfach vor, Sie haben ein zusammengesetztes Objekt, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Wenn Sie jetzt nur auf eine Hälfte des Objekts schauen, wird die Masse auf die Hälfte reduziert, aber die Geschwindigkeit bleibt konstant (wir gehen von keinen inneren Kräften aus, also bewegen sich beide Hälften mit der gleichen Geschwindigkeit weiter. Wenn nun beide Hälften so interagieren dass die „vordere“ die hintere auseinander geschoben hat („eine digitale One-Step-Flüssigkeit“), haben Sie eine Wechselwirkung zwischen den beiden Hälften, und die richtige Art, dies zu beschreiben, besteht darin, die Anfangsgeschwindigkeiten und die zu verwenden Wechselwirkung oder damit das Gesamtmoment eine Konstante ist, aber immer unter Berücksichtigung der Masse jedes Unterteils als konstant. Wenn Sie nur den zweiten Hauptsatz mit der Ableitung der Masse verwenden, erhalten Sie ein anderes (und falsches) Ergebnis. Ihre letzte Gleichung für starre Körper ist falsch (im Sinne von nicht physikalisch). Das Richtige ist:

$\frac{\text{d}\mathbf{Q}}{\text{d}t} = m\mathbf{\dot{v}} =\sum_i \mathbf{F_i^\text{ext}}$

Denn in der Newtonschen Mechanik ist die Masse für einen starren Körper eine Konstante. Ich habe keine Referenzen außer meinem Professor, der mir das sagt und Probleme (wie die Rakete) auf beide Arten löst und unterschiedliche Ergebnisse erzielt, wobei das Ergebnis mit nicht variabler Masse das richtige ist. Denken Sie nur, dass es in der Natur keinen klassischen Mechanismus gibt, der es einem starren Körper ermöglicht, Masse zu verlieren oder zu ändern (es sei denn, er ist zusammengesetzt und verliert einige Teile). Nun ist die Massenänderung aufgrund der Relativitätstheorie korrekt, aber die Newtonschen Gesetze gelten in diesem Fall nicht mehr. Nur eine lustige Anmerkung: Sowohl Plastinos Vater als auch Muzzio waren Professoren von mir!

Wenden wir uns zuerst dem linearen Problem zu.

Beide Herangehensweisen, die Sie hier geschrieben haben, sind richtig: Sie sind im Wesentlichen die gleiche Herangehensweise an leicht unterschiedliche Situationen. Die erste ist die klarere, weil sie in Begriffen der Impulserhaltung des gesamten Systems denkt, was zweifellos die klarste Art ist, über diese Art von Problemen nachzudenken.

Im ersten Fall werfen Sie einfach einen Massenstrom aus dem hinteren Ende einer Rakete und leiten die Tsiolkovsky-Gleichung ab, indem Sie zur Zeit an die Rakete denken$t$, vergleicht es mit dem, was es damals geworden ist$t+\mathrm{d}t$, nämlich die verminderte Rakete plus die separat ausgestoßene Masse und die Gleichsetzung des Impulses der beiden. Insbesondere wird bei dem ersten Ansatz angenommen, dass die ausgestoßene Masse keine Wechselwirkung mit irgendwelchen Massen hat, die zu früheren Zeiten ausgestoßen wurden$t$.

Der zweite Fall ist etwas anders. Hier das Raketensystem (Rakete und die Masse, die sie in der Zeit wirft$\mathrm{d}t$) wird zusammen mit einer Flüssigkeit betrachtet , mit der die Rakete getränkt ist: zumindest teilweise (im Weltraum befindet sich hinter der Rakete nur Flüssigkeit, nämlich ehemals ausgestoßene Abgase). Siehe unten:

Die Abgase werden vorzeitig ausgestoßen$t$interagieren immer noch mit dem System Rakete + auszuwerfende Masse : Letztere üben Druck aus$p_e$auf dem System. So erhalten wir das dargestellte Freikörperbild. Es gibt eine Nettokraft$(p_e-p_0)\,A$auf dem System rechts neben meiner Zeichnung . Wir gehen jetzt also genau so vor wie bei der ersten Aufgabe, beachten aber jetzt den Schwung der Rakete$m$+ im Begriff, ausgeworfen zu werden$\mathrm{d}m$wird nicht konserviert: es muss sich um ändern$(p_e-p_0)\,A\,\mathrm{d}t$. Also wie bisher, jetzt aber mit dem Netto-Impuls wirkend:

was deine zweite Gleichung ergibt$m\,\dot{v} = \dot{m}\,v + (p_e-p_0)\,A$.

Bringt man Luftwiderstand und Schwerkraft ins Bild, dann fügt man auch deren Impuls hinzu. So würden Sie am Ende mit$m\,\dot{v} = \dot{m}\,v + (p_e-p_0)\,A - \frac{1}{2}\,\rho_a\,C_D\,v^2 - m\,g$in diesem Fall für eine Rakete, die gerade nach oben fliegt.

Ich hoffe, Sie können sehen, dass Ihr erster Ansatz sich auf etwas wie einen Sandstrahl bezieht, der aus der Rückseite von etwas geworfen wird; das zweite gilt für eine durch die Luft fliegende durchstochene Dose.

Ich denke, aus der Erinnerung, die$(p_e-p_0)\,A$Begriff tendenziell recht klein im Vergleich zu der$\dot{m}\,v$Begriff, aber hoffentlich kann ein Raketenexperte diesen Punkt klären (und es gibt einen, der eine Ihrer Antworten schreibt).

Jetzt sollten Sie also das Selbstvertrauen haben, Probleme mit starren Körpern zu untersuchen. Wenn Sie zum Beispiel eines dieser kleinen Triebwerksdinger haben, die wie Malteserkreuze am Bug Ihres Raumschiffs aussehen, werden Sie ein Freikörperdiagramm wie das untenstehende zeichnen

und schreiben Sie zwei analoge Gleichungen auf, um die Änderung des linearen und des Drehimpulses über die Zeit auszudrücken$\mathrm{d}t$des Systems bestehend aus:

1. Die Rakete mit Masse$m-\mathrm{d}m$und Trägheitsmoment$I-L^2\,\mathrm{d}m$über den Schwerpunkt und
2. Die ausgestoßene Masse$\mathrm{d}m$mit Schwung$\mathrm{d}m\,u_e$nach oben und Drehimpuls$L\,\mathrm{d}m\,u_e$gegen den Uhrzeigersinn um den Massenmittelpunkt.

wobei zu beachten ist, dass es jetzt eine Nettoänderung des Momentums gibt$(p_e-p_0)\,A\,\mathrm{d}t$nach unten und Nettoänderung des Drehimpulses von$L\,(p_e-p_0)\,A\,\mathrm{d}t$im Uhrzeigersinn um den Massenmittelpunkt der Rakete.

Haftungsausschluss: Folgendes gilt für den Verfasser dieser Antwort. Während eine Ihrer anderen Antworten auf diese Frage von einem echten Raketenwissenschaftler geschrieben wurde.