Finden eines 'Vektorpotentials' mit E=∇×CE=∇×C\mathbf E = \nabla\times \mathbf C für eine Punktladung

Angeblich kann "jedes divergenzfreie Vektorfeld als die Kräuselung eines anderen divergenzfreien Vektorfelds ausgedrückt werden" über eine einfach verbundene Domäne.

Was ist also ein solches Vektorpotential, das für die Hälfte des Coulomb-Feldes funktioniert?

Um es klar zu sagen, ich möchte ein Vektorpotential, dessen Kräuselung dem Vektorfeld entspricht R / | R | 3 für z > 0 (für irgendwelche X und alle j ). R ist der Positionsvektor ( X , j , z ) .

Ich weiß, dass stattdessen normalerweise die Skalarpotentialmethode verwendet wird, aber ich bin neugierig, wie hässlich ein Vektorpotential aussehen würde. Wenn dies beantwortet wird, sollte es einfach sein, dies zu beantworten .

Das ist mathematisch dasselbe wie die Frage, wie magnetische Monopole aufgebaut sind. Siehe zum Beispiel diese Frage und die darin enthaltenen Referenzen.
Ich glaube, ich frage nach etwas anderem, da ich nur die Monopoleffekte über die Hälfte des Raums haben möchte ... Ich konnte die Mathematik, die meine Frage beantwortet, in den Referenzen nicht finden, also zeigen Sie mir bitte direkt, wenn ich sie verpasst habe.
Der anfängliche Titel ist etwas irreführend – er lässt ein Standardvektorpotential erwarten. Ich habe aus Gründen der Übersichtlichkeit bearbeitet.

Antworten (1)

In Zylinderkoordinaten funktioniert dieses Potential (winklig um die z-Achse gerichtet):

C → = 1 − z R 2 + z 2 R ϕ ^

Wahlweise enthält die Locke auch einen Impuls entlang der singulären Linie (x = 0, y = 0, z < 0), um die Divergenz zu nullen. So kann eine Solenoidhülse aus dem Unendlichen dadurch das Coulomb-Feld erzeugen. Im Nachhinein denke ich, dass dies offensichtlich ist, aber es ist interessant, elektrische Monopole abzuschaffen und ein Elektron auf diese Weise als an die Unendlichkeit (oder vielleicht ein nahe gelegenes Positron) gebunden zu betrachten.

Ihr Ausdruck ist nicht klar, könnten Sie ihn zur Verdeutlichung bitte mit MathJax bearbeiten (dem SE-Standard für Mathematik). Danke.
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