Fluchtgeschwindigkeit einer Rakete, die auf Ganymed (Jupitermond) steht [geschlossen]

Question

Fluchtgeschwindigkeit einer Rakete, die auf Ganymed (Jupitermond) steht [geschlossen]

Aufwind

Ich möchte die Fluchtgeschwindigkeit einer Rakete berechnen, die auf der Oberfläche von Ganymed (Jupitermond) steht und versucht, Ganymed zu verlassen.

Mein Gedanke war, die kinetische Energie $E_{\text{KIN}}$ muss gleich oder größer als die potentielle Energie sein $E_{\text{POT}}$ . So $E_{\text{KIN}}\geq E_{\text{POT}}$

Vorausgesetzt $m$ ist die Masse der Rakete und $M_G$ ist die Masse des Mondes Ganymed und $M_R$ ist der Radius des Mondes und $v$ ist die Geschwindigkeit der Rakete und $G$ ist die Gravitationskonstante, die wir einstellen können

G \frac{M M_{G}}{R_{G}^{2}} = \frac{M v^{2}}{2 R_{G}}

$G \frac{mM_G}{R^2_G}=\frac{mv^2}{2R_G}$ was dazu führt

\sqrt{2 G \frac{M_{G}}{R_{G}}} = v

$\sqrt{2G \frac{M_G}{R_G}}=v$

Die erste Frage, die ich habe, ist: Ist $G$ eine Konstante nur für die Erde oder gilt sie auch für alle anderen Planeten? (Wenn es nicht zutrifft, wie berechne ich es?)

Wenn Sie sich das folgende Bild ansehen, können Sie sehen, dass die Rakete nicht nur Ganymed, sondern auch Jupiter selbst überwinden muss:

Jupiter und Ganymed

Also habe ich die Formel so aufgebaut:

G \frac{M_{J}}{R^{2}} + G \frac{M_{G}}{R_{G}^{2}} = \frac{v^{2}}{2 R_{G}}

$G \frac{M_J}{R^2} + G \frac{M_G}{R^2_G}=\frac{v^2}{2R_G}$ Wo

M_{J}

$M_J$ ist die Masse von Jupiter und

R

$R$ ist die Entfernung von Jupiters Mittelpunkt zum Startpunkt der Rakete.

Klingt das richtig?

Alexander

Ich bin müde, aber das fühlt sich seltsam an. Der übliche Ansatz besteht darin, die beteiligten Kräfte zu betrachten, nicht die kinetischen Energien. Sie vernachlässigen auch, wie sich die Rakete antreibt. Seine Masse ist nach dem Starten der Motoren nicht konstant. Und ja, G ist eine universelle Konstante.

Aufwind

Danke für deinen Kommentar, Alexander. Sie haben Recht mit der Änderung der Masse der Rakete. Aber wir betrachten es nur als Modell, also vernachlässigen wir das. Die Rakete steuert auf einer Linie mit den beiden Mittelpunkten des Mondes und des Planeten direkt nach rechts. (Auf dem Bild ist ein Pfeil). Ich bin auch müde. Sorry für Tippfehler und so... :-)

Alexander

Suchen Sie nach fehlenden "2" und Sie sollten in Ordnung sein :-)

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Fluchtgeschwindigkeit einer Rakete, die auf Ganymed (Jupitermond) steht [geschlossen]

Ich bin müde, aber das fühlt sich seltsam an. Der übliche Ansatz besteht darin, die beteiligten Kräfte zu betrachten, nicht die kinetischen Energien. Sie vernachlässigen auch, wie sich die Rakete antreibt. Seine Masse ist nach dem Starten der Motoren nicht konstant. Und ja, G ist eine universelle Konstante.
Danke für deinen Kommentar, Alexander. Sie haben Recht mit der Änderung der Masse der Rakete. Aber wir betrachten es nur als Modell, also vernachlässigen wir das. Die Rakete steuert auf einer Linie mit den beiden Mittelpunkten des Mondes und des Planeten direkt nach rechts. (Auf dem Bild ist ein Pfeil). Ich bin auch müde. Sorry für Tippfehler und so... :-)
Suchen Sie nach fehlenden "2" und Sie sollten in Ordnung sein :-)

Ron Maimon · Answer 1

Die Antwort ist nicht richtig, sondern nur, weil die Formeln für potentielle Energie und kinetische Energie falsch geschrieben sind.

Um die Fluchtgeschwindigkeit zu finden, wird die Änderung der kinetischen plus potentiellen Energie der Rakete auf Null gesetzt. Wenn die Rakete mit Fluchtgeschwindigkeit fliegt, bewegt sie sich am Ende nicht und hat keine potentielle Energie (in der üblichen Konvention, bei der die potentielle Energie zwischen Punktgravitationsmassen im Unendlichen verschwindet). Dies ergibt die Gleichung:

\frac{M v^{2}}{2} - \frac{G M M_{J}}{R_{J G}} - \frac{G M M_{G}}{R_{G}} = 0

${mv^2\over 2} -{G m M_J\over R_{JG}} - {G m M_G\over R_G} = 0$

Wo die linke Seite beteiligt ist $R_{JG}$ , die Entfernung zwischen Jupiter und Ganymed, $R_G$ ist der Radius von Ganymed, $M_J$ , die Masse des Jupiters, $M_G$ , die Masse von Ganymed, und m, die Masse der Rakete (die sich von beiden Seiten teilt). Es gibt auch kleine Korrekturen in Abhängigkeit von der Rotationsgeschwindigkeit von Ganymed und davon, ob Sie auf der Jupiterseite oder der fernen Jupiterseite des Mondes beginnen. Das Auflösen nach v ergibt deine Gleichung. Ich weiß nicht, warum Sie durch R-Faktoren geteilt haben, die potentielle Energie ist nur das Produkt der Massen geteilt durch die Entfernung mal G.

G ist universell für alle Materie im Universum – es ist eine universelle Konstante, die auf der Erde, auf dem Jupiter oder anderswo gleich ist. Sie können es sich als eine Konstante vorstellen, die die korrekte Masseneinheit für unser Universum als Planck-Masse festlegt, sobald Sie zuerst die Lichtgeschwindigkeit und die Planck-Konstante (geteilt durch 2pi) auf eins eingestellt haben.

Die Antwort für die Fluchtgeschwindigkeit ist

v = \sqrt{\frac{2 G M_{J}}{R_{G J}} + \frac{2 G M_{G}}{R_{G}}}

$v= \sqrt{{2 GM_J \over R_{GJ}} + {2 GM_G\over R_G} }$

EDIT: blöde Auslassung

Ich habe etwas nicht zu vernachlässigendes ausgelassen, nämlich dass Ganymed Jupiter umkreist! Es hat also bereits eine große Geschwindigkeit, die ausreicht, um die Hälfte der negativen potentiellen Energie der Schwerkraft zu kompensieren. Wenn die Rakete in der optimalen Richtung abhebt – also in Richtung der Umlaufbahn von Ganymed – braucht sie nur ihre Geschwindigkeit von der anfänglich bereits großen Umlaufgeschwindigkeit auf die Fluchtgeschwindigkeit zu erhöhen. Die Rakete muss relativ zum Oberflächen-Ganymed nur einen Geschwindigkeitszuwachs erhalten, der von oben gleich v ist.

Die Startgeschwindigkeit der Rakete ist gleich der Orbitalgeschwindigkeit von Ganymed um Jupiter $v_i$ , die gefunden wird, indem man die Gravitationskraft zur Zentripetalkraft macht

v_{ich} = \sqrt{\frac{G M_{J}}{R_{J G}}}

$v_i = \sqrt{GM_J\over R_{JG}}$

Und die richtige Antwort für die Fluchtgeschwindigkeit, die eine Rakete relativ zu Ganymed erreichen müsste, lautet $v-v_i$ .

EDIT: zweites G?

Eine verlorene G-Konstante hinzugefügt :/

Eines verstehe ich nicht. Ist die Entfernung $R_{JG}$ zwischen dem Massenzentrum von Jupiter und dem Massenzentrum von Ganymed? Warum haben Sie für die potenzielle Energie zwischen der Rakete und Jupiter nicht den Radius von Ganymed berücksichtigt? Sollte es nicht so sein $- \frac{G M M_{J}}{R_{J G} + R_{G}}$ $-{G m M_J\over R_{JG} + R_G}$
@Nazaf: Ich habe R_G vernachlässigt, wo es vernachlässigbar ist.

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Aufwind

Alexander

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Alexander

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Ron Maimon

EDIT: blöde Auslassung

EDIT: zweites G?

Nazaf

Ron Maimon

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