Form der Beschleunigung für Bewegung in einer Ellipse [geschlossen]

Dabei bin ich auf folgende Frage gestoßen:

Die Koordinaten eines Teilchens, das sich in einer Ebene bewegt, sind gegeben durch X ( T ) = A cos ⁡ ( P T ) Und j ( T ) = B Sünde ⁡ ( P T ) , Wo A > B Und A Und B sind positive Konstanten geeigneter Dimension.

Dies ist nicht die Frage, die gestellt wird, sondern welche Bedingung sollte die Beschleunigung (gegeben durch Differenzieren X ( T ) Und j ( T ) zweimal in Bezug auf die Zeit T ) genügen uns, um festzustellen, dass es immer auf den Fokus der Ellipse gerichtet ist X 2 / A 2 + j 2 / B 2 dass die Partikelspuren?

Haben Sie versucht, die Beschleunigungskomponenten zu differenzieren, A X = X ¨ Und A j = j ¨ ?
Ja, habe ich; ax= -p²acos(pt) und ay= p²bsinpt. Wie geht man mit dieser Information vor, um zu zeigen, dass die Beschleunigung immer auf den Brennpunkt der vom Teilchen gezeichneten Ellipse zeigt? Und warum hast du diese Frage abgelehnt?
Ich habe abgelehnt, weil Sie sich nicht bemüht haben, Ihr eigenes Problem zu lösen. Siehe die Site-Richtlinie für solche Übungen ... Elliptische Bewegung ergibt sich aus einer zentralen Kraft (dh auf einen Punkt gerichtet) der Form F = M A = k / R 2 . Die Komponenten ( A X , A j ) geben Ihnen die Richtung der Beschleunigung an A am Punkt ( X , j ). Können Sie die Geometrie der Ellipse verwenden, um das zu zeigen? A weist auf einen Schwerpunkt hin? Und ist proportional zu 1 / R 2 Wo R ist die Entfernung von diesem Fokus?
Technisch gesehen ist meine keine Hausaufgabenfrage, da sie sich auf ein Konzept bezog und nicht genau auf dieses Problem allein spezifisch war. Außerdem tut es mir leid, dass ich die Beschleunigungswerte, die ich durch Differenzieren gefunden hatte, nicht in die Frage selbst aufgenommen habe; Ich werde dies berücksichtigen, wenn ich in Zukunft Fragen poste. Ich war (und bin immer noch) verwirrt darüber, wie ich versuchen soll zu beweisen, dass ein gegebener Beschleunigungsvektor immer auf einen bestimmten Punkt zeigt. Kannst du bitte etwas mehr erklären?
Oh Mist, die Beschleunigung ergibt sich zu ax=-p²(acospt) und at=-p²(bsinpt). Beides ist negativ. Meine Güte, tut mir leid.
Entschuldigung, Kaumudi - habe gerade gemerkt, dass ich dich irreführe, denn in diesen Gleichungen T ist ein allgemeiner Parameter, der möglicherweise nicht time ist . Die Komponenten der Beschleunigung sind es also nicht unbedingt D 2 X D T 2 usw. Ich habe einen Ansatz vorgeschlagen, ohne vorher zu prüfen, ob er funktioniert - entschuldigen Sie ... Was Sie zu tun versuchen, denke ich, ist das, was Newton getan hat: Angesichts der Tatsache, dass sich Planeten auf elliptischen Umlaufbahnen bewegen und in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreichen, was ist das Gesetz der Kraft zwischen ihnen? Siehe dieses Dokument für eine Methode.

Antworten (1)

Beachten Sie, ob ich Ihre Frage verstehe, aber ich werde versuchen, eine Antwort zu geben. Die Beschleunigung ist dank proportional zur Kraft F = M A . Wenn also die Beschleunigung auf den Mittelpunkt zeigt (Brennpunkt der Ellipse}, dann liegt das daran, dass die Kraft auf den Mittelpunkt zeigt. Die Kraft kann (unter bestimmten Bedingungen) aus einem Potential abgeleitet werden F = − ∇ ϕ . Wenn also die Kraft auf das Zentrum zeigt, dann ist das zugehörige Potential symmetrisch um das Zentrum herum und es nimmt zu, wenn man sich vom Zentrum wegbewegt.

Können Sie bitte die zweite Gleichung in Ihrer Antwort erklären? Ich fürchte, dass ich mir dessen nicht bewusst bin (ich habe gerade erst die High School abgeschlossen).
Tatsächlich kann der Beschleunigungsvektor nach dem Differenzieren in Bezug auf den Positionsvektor als a = –p²r geschrieben werden, wobei r der Positionsvektor r = xi + yj ist. Das bedeutet, dass für jeden Punkt auf der Ellipse die Beschleunigung tatsächlich zum Ursprung zeigt; gehe ich richtig in der annahme?
Potenziale sind Dinge, über die man lernt, wenn man etwas über Hamiltonianer und so etwas lernt. Das Zeug ist ein ziemlicher Mund voll. Wenn Sie daran interessiert sind, können Sie versuchen, einführende Texte zur klassischen Mechanik zu finden. Ich liebe deine Begeisterung.
@KaumudiHarikumar: Ja, du hast recht. Wenn T Zeit ist, dann ist der Beschleunigungsvektor auf die Mitte der Ellipse gerichtet, nicht auf einen Fokus. Das Gesetz der Kraft in diesem Fall ist F = M A = − M P 2 R .
Form der Beschleunigung für Bewegung in einer Ellipse [geschlossen]
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