Fourier-Transformationen des Orts- und Impulsraums in der Quantenmechanik

Question

Fourier-Transformationen des Orts- und Impulsraums in der Quantenmechanik

Physik
Schwung
Eigenwert
Konventionen
Fourier-Transformation
Quantenmechanik

Der Quantenmann

Fourier-Transformationen:

ϕ (\vec{k}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π}})}^{3} \int_{R Raum} ψ (\vec{R}) e^{- ich k \cdot R} D^{3} R

$\phi(\vec{k}) = \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \right)^3 \int_{r\text{ space}} \psi(\vec{r}) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d^3r$

für Impulsraum u

ψ (\vec{R}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π}})}^{3} \int_{k Raum} ϕ (\vec{k}) e^{ich k \cdot R} D^{3} k

$\psi(\vec{r}) = \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \right)^3 \int_{k\text{ space}} \phi(\vec{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d^3k$

für Positionsraum.

Woher wissen wir das $\psi$ ist nicht die Fourier-Transformation von $\phi$ aber wir nehmen an, dass es umgekehrt ist ( $\psi$ proportional wäre $\exp[-ikr]$ Und $\phi$ proportional wäre $\exp[ikr]$ )? Wenn es keinen Unterschied in den Vorzeichen gäbe, gäbe es kein Problem bei der Integration von minus inf. zu plus inf. wenn die Wahrscheinlichkeit asymmetrisch um Null ist?
Was ist der physikalische Grund dafür, dass wir im Integral für den Impulsraum haben? $\exp[-ikr]$ ? Ich stimme dem Exponenten für den Ortsraum zu, der wie folgt erklärt werden kann: Es ist die Summe aller bestimmten Impulszustände des Systems, aber was ist mit dem Fourier des Impulsraums? Wie können wir das Integral (nicht mathematisch) erklären?

Der Quantenmann

Wenn jemand einen besseren Titel hat, kann er ihn gerne vorschlagen.

Durch Symmetrie

Wie herum Sie das Minuszeichen setzen, spielt keine Rolle und ist reine Konventionssache. Alles, was zählt, ist, dass Sie konsequent darin sind, wo Sie es platzieren.

Der Quantenmann

Aber macht es beim Integrieren keinen Unterschied, wenn die Integrationsgrenzen nicht von minus unendlich bis plus unendlich reichen?

Durch Symmetrie

Wenn Sie eine asymmetrische Domäne haben, kann dies einen Unterschied machen, aber Sie haben in diesem Fall normalerweise sowieso unterschiedliche Impuls-Eigenzustände, um Ihre Randbedingungen zu erfüllen. Selbst dann kommt es eher darauf an, wie Sie Zustände benennen, als auf irgendetwas anderes

Der Quantenmann

Aber gibt es nicht einen richtigen Weg, anstatt einfach zu sagen, wähle, was dir gefällt?

Durch Symmetrie

Nein. Vorausgesetzt, Sie wählen eine aus und bleiben dabei, gibt es keinen richtigen oder falschen Weg. Alles, was Sie am Ende tun, ist, eine Menge Minuszeichen herumzuschieben, die jedes Mal wegfallen, wenn Sie eine beobachtbare Größe berechnen.

Der Quantenmann

Ok, vielen Dank. Wenn Sie es als Antwort schreiben möchten, werde ich es als akzeptierte Antwort markieren.

Marsch

Ich bin mir bei Ihrer Notation nicht sicher, also könnte es sein, dass Sie nur von einer beliebigen Wellenfunktion sprechen, aber ich möchte darauf hinweisen, dass eine Eigenfunktion des Impulsoperators nicht die Fourier-Transformation einer Eigenfunktion des Positionsoperators ist .

Der Quantenmann

@march Ich sage es anders: Warum haben wir in den Fourier-Transformationsbeziehungen epx[ikr] im Integral für Ψ und warum haben wir exp[-ikr] im Integral für Φ?

Der Quantenmann

Ich habe die Frage bearbeitet.

Jahan Claes

Noch ein Kommentar: Wenn wir über eine einzelne Funktion sprechen, ist die allgemein akzeptierte Konvention zu verwenden

Ψ (r)

$\Psi(r)$ für die Funktion im realen Raum und

\tilde{Ψ} (k)

$\tilde{\Psi}(k)$ oder auch nur

Ψ (k)

$\Psi(k)$ für die Funktion im k-Raum. Dies unterstreicht die Tatsache, dass es sich um verwandte Funktionen handelt und nicht nur um zwei zufällige Funktionen

Φ

$\Phi$ Und

Ψ

$\Psi$ .

Der Quantenmann

Ich habe in die Frage aufgenommen, was Φ und Ψ sind

Jahan Claes

@LandosAdam Ich habe die Frage gut verstanden und Ihre Notation in meiner Antwort verwendet. Ich wollte Sie in Zukunft nur über die korrekte Schreibweise informieren.

Antworten (3)

Fourier-Transformationen des Orts- und Impulsraums in der Quantenmechanik

Wenn jemand einen besseren Titel hat, kann er ihn gerne vorschlagen.
Wie herum Sie das Minuszeichen setzen, spielt keine Rolle und ist reine Konventionssache. Alles, was zählt, ist, dass Sie konsequent darin sind, wo Sie es platzieren.
Aber macht es beim Integrieren keinen Unterschied, wenn die Integrationsgrenzen nicht von minus unendlich bis plus unendlich reichen?
Wenn Sie eine asymmetrische Domäne haben, kann dies einen Unterschied machen, aber Sie haben in diesem Fall normalerweise sowieso unterschiedliche Impuls-Eigenzustände, um Ihre Randbedingungen zu erfüllen. Selbst dann kommt es eher darauf an, wie Sie Zustände benennen, als auf irgendetwas anderes
Aber gibt es nicht einen richtigen Weg, anstatt einfach zu sagen, wähle, was dir gefällt?
Nein. Vorausgesetzt, Sie wählen eine aus und bleiben dabei, gibt es keinen richtigen oder falschen Weg. Alles, was Sie am Ende tun, ist, eine Menge Minuszeichen herumzuschieben, die jedes Mal wegfallen, wenn Sie eine beobachtbare Größe berechnen.
Ok, vielen Dank. Wenn Sie es als Antwort schreiben möchten, werde ich es als akzeptierte Antwort markieren.
Ich bin mir bei Ihrer Notation nicht sicher, also könnte es sein, dass Sie nur von einer beliebigen Wellenfunktion sprechen, aber ich möchte darauf hinweisen, dass eine Eigenfunktion des Impulsoperators nicht die Fourier-Transformation einer Eigenfunktion des Positionsoperators ist .
@march Ich sage es anders: Warum haben wir in den Fourier-Transformationsbeziehungen epx[ikr] im Integral für Ψ und warum haben wir exp[-ikr] im Integral für Φ?
Noch ein Kommentar: Wenn wir über eine einzelne Funktion sprechen, ist die allgemein akzeptierte Konvention zu verwenden $\Psi(r)$ für die Funktion im realen Raum und $\tilde{\Psi}(k)$ oder auch nur $\Psi(k)$ für die Funktion im k-Raum. Dies unterstreicht die Tatsache, dass es sich um verwandte Funktionen handelt und nicht nur um zwei zufällige Funktionen $\Phi$ Und $\Psi$ .
@LandosAdam Ich habe die Frage gut verstanden und Ihre Notation in meiner Antwort verwendet. Ich wollte Sie in Zukunft nur über die korrekte Schreibweise informieren.

Jahan Claes · Answer 1

Jahan Claes

Sagen wir $\Phi$ ist eine Deltafunktion, $\Phi(k)=\delta(k-k_0)$ . Vermutlich möchten Sie, dass dies ein Eigenzustand des Impulsoperators mit Impuls ist $\hbar k_0$ . Mit der von Ihnen gewählten Konvention können wir dies in eine Wellenfunktion im realen Raum umwandeln (ich ignoriere die Normalisierung der Einfachheit halber):

Ψ (R) = \int D k δ (k - k_{0}) e^{ich k R} = e^{ich k_{0} R}

$\Psi(r)= \int dk \delta(k-k_0)e^{ikr}=e^{ik_0 r}$

Wir können dann den Impuls des Zustands finden, indem wir den Impulsoperator anwenden $-i\hbar \frac{\partial}{\partial r}$ und Finden des Eigenwerts. Wir sehen, dass dieser Zustand Schwung hat $\hbar k_0$ , wie gewünscht.

Hätten Sie die Fourier-Transformation mit vertauschten Vorzeichen definiert, würden Sie feststellen, dass der Zustand durch definiert ist $\Phi(k)=\delta(k-k_0)$ Schwung hätte $-\hbar k_0$ , was unpraktisch wäre. Deshalb definieren wir die Fourier-Transformation wie oben. Ohne besondere Präferenz, was wir wollen $\Phi(k)$ um darzustellen, hätten wir eine von beiden wählen können, solange wir konsequent waren.

Der Quantenmann

Wenn der Integrationsbereich asymmetrisch wäre, gäbe es dann kein Problem mit dem Integral?

Der Quantenmann

Und was ist mit der physikalischen Interpretation des Integrals von Φ? Warum ist es die Summe von exp [-ikr]?

Knzhou

Ein Staat mit Schwung

k

$k$ im Positionsraum ist

e^{i k \cdot r}

$e^{ik\cdot r}$ . Wenn wir rechnen

Φ (k)

$\Phi(k)$ , wollen wir die Menge dieses Zustands herausfinden

ψ (r)

$\psi(r)$ . Dies geschieht, indem das innere Produkt mit diesem Zustand genommen wird, was eine komplexe Konjugation hinzufügt.

Jahan Claes

@LandosAdam Wenn Ihre Domäne der r-Integration asymmetrisch ist, hat dies keine Auswirkungen auf Ihre Domäne der k-Integration. Und der Bereich der k-Integration kann immer symmetrisch gemacht werden. Können Sie ein Beispiel geben, bei dem der Bereich von k asymmetrisch war?

Jahan Claes

@LandosAdam

Φ

$\Phi$ muss nur mit einem Integral über definiert werden

e^{- i k r}

$e^{-ikr}$ damit die inverse Fourier-Transformation ein Integral über ist

e^{i k r}

$e^{ikr}$ , was ich in meiner obigen Antwort erklärt habe. Beachten Sie, dass BEIDE nicht integriert werden können

e^{i k r}

$e^{ikr}$ oder BEIDE integriert durch

e^{- i k r}

$e^{-ikr}$ , weil Fourier-Transformationen so nicht funktionieren. Also die Wahl des Vorzeichens in der Definition von

Φ

$\Phi$ ist vollkommen bestimmt.

Der Quantenmann

@JahanClaes Ich kenne kein Beispiel dafür. Aber wenn wir ein solches Beispiel hätten, wäre es dann im Integral egal, ob der Exponent ein Minus- oder ein Pluszeichen hat?

Der Quantenmann

@JahanClaes Sie verwenden eine mathematische Erklärung unter Verwendung der Definition der Fourier-Transformation, obwohl ich eine physikalische Erklärung wie die Erklärung für das Integral von Ψ benötige, das wie folgt lautet: "Es ist die Summe aller bestimmten Impulszustände des Systems". Was ist also die analoge Erklärung für das Integral von Φ (mit Minus auf dem Exponenten)?

Jahan Claes

@LandosAdam Mein Punkt ist, dass ein solches Beispiel nicht EXISTIERT. Eine Fourier-Transformation muss über alle möglichen Fourier-Moden integrieren. Nun mag es wahr sein, dass bestimmte Moden irrelevant sind (für eine bestimmte Wellenfunktion könnten sie alle Null sein), also integrieren wir nur über einen endlichen Bereich von

k

$k$ S. In diesem Fall ändert sich der Bereich von ks, über den wir integrieren, entsprechend, wenn wir umschalten

e^{- i k r}

$e^{-ikr}$ mit

e^{i k r}

$e^{ikr}$ . In diesem Sinne könnte es also eine Rolle spielen. Aber auch hier geht es nur darum, Minuszeichen richtig zu mischen

Jahan Claes

@LandosAdam Ich denke, du hast es ein bisschen rückwärts.

Ψ (r) = \int d k Φ (k) e^{i k r}

$\Psi(r) = \int dk \Phi(k) e^{ikr}$ stellt die Summe über alle Impulszustände des Systems dar.

Φ (k)

$\Phi(k)$ , das Integral vorbei

Ψ

$\Psi$ , stellt die Amplitude eines einzelnen Impulszustands dar. Wenn Sie quadrieren

Φ (k)

$\Phi(k)$ , erhalten Sie die Wahrscheinlichkeit, in diesem Momentum-Zustand zu sein. Ist das eine gute körperliche Intuition?

Jahan Claes

@LandosAdams Um meine erste Antwort etwas besser auszudrücken: Wenn Sie sich integrieren

k

$k$ ist zwischen

a

$a$ Und

b

$b$ Wenn Sie eine Vorzeichenkonvention verwenden, integrieren Sie einfach über

k

$k$ ist zwischen

- b

$-b$ Und

- a

$-a$ in der anderen Vorzeichenkonvention. Nur Minuspunkte mischen. Aber im Allgemeinen ist es am besten, sich eine Fourier-Transformation so vorzustellen, dass sie immer über alle Fourier-Modi integriert, es ist nur so, dass einige Modi zufällig Null sind.

Der Quantenmann

@JahanClaes Sie sagten, dass das Integral von Ψ "die Summe über alle Impulszustände des Systems darstellt". Ich verstehe dies so, dass exp[ikr] ein Zustand bestimmter Dynamik ist. Was ist mit dem Integral von Φ bis zum exp[-ikr]? Wie können wir es erklären, ohne die Erklärung der Fourier-Transformation zu verwenden, sondern eine Erklärung, die die Summierung von Zuständen (Integral) als Erklärung für das Integral für Ψ verwendet?

Jahan Claes

@LandosAdam Du hast gewechselt

Φ

$\Phi$ Und

Ψ

$\Psi$ nochmal! Das Integral von

Φ

$\Phi$ stellt die Summe über alle Impulszustände dar. Das Integral von

Ψ

$\Psi$ so bekommt man

Φ

$\Phi$ .

Jahan Claes

@LandosAdam Vielleicht ist dies eine bessere Art, darüber nachzudenken. Wir kennen jeden Staat

| Ψ >

$|\Psi>$ kann in der Impulszustandsbasis als erweitert werden

| Ψ >= \sum_{k} Φ (k) | k >

$|\Psi>=\sum_k \Phi(k)|k>$ . Um ein bestimmtes zu finden

Φ (k_{0})

$\Phi(k_0)$ , nehmen wir einfach das innere Produkt

< k_{0} | Ψ >= \sum_{k} Φ (k) < k_{0} | k >= Φ (k_{0})

$<k_0|\Psi>=\sum_k \Phi(k)<k_0|k>=\Phi(k_0)$ . Dieses innere Produkt

< k_{0} | Ψ >

$<k_0|\Psi>$ ist genau das Integral, für das Sie oben angegeben haben

Φ (k)

$\Phi(k)$ . Das Integral ist also eigentlich nur eine Möglichkeit, Vektoren auf bestimmte Komponenten zu projizieren. Ich weiß nicht, dass es eine bessere Intuition gibt.

Jahan Claes

@LandosAdam Ich glaube nicht, dass es eine so "saubere" physikalische Interpretation gibt, wie Sie es sich erhoffen. Der Fourier-Raum ist nur geringfügig weniger intuitiv als der reale Raum.

Daniel · Answer 2

Die Identifizierung einer Transformation als Fourier-Transformation und der anderen als inverse Transformation ist eine Frage der Definition. Die Fourier-Transformation ist älter als die Quantenmechanik, daher hat der Grund für die Zuordnung nichts mit QM und alles mit Mathematikgeschichte zu tun.

1807 legte Fourier dem Institut de France ein Manuskript vor, das unter anderem das enthielt, was wir heute die Fourier-Kosinustransformation und ihre Umkehrung nennen. Dies sind seine Transformationen:

F_{C} (u) = \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} F (X) \cos (u X) D X

$F_c(u)=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(x)\cos(ux)dx$

F (X) = \int_{0}^{\infty} F_{C} (u) \cos (u X) D u .

$f(x)=\int_0^\infty F_c(u)\cos(ux)du.$

Cauchys Verallgemeinerung der Fourier-Beziehungen von 1827 führte zu komplexwertigen Funktionen und einer unvermeidlichen Zeichenasymmetrie in Form der Transformationen. Der Versuch, die Symmetrie zu wahren, hilft nicht. Wie der folgende Artikel anmerkt, kann gezeigt werden, dass, wenn dasselbe Vorzeichen sowohl für die Vorwärts- als auch für die Umkehrformel verwendet wird, "eine Formel nicht genau die Umkehrung der anderen ist".

Es ist eine lange und hilfreiche Übung, dies zu überprüfen $\hat{f}$ Und $f$ Doppelräume mit einem hohen Maß an Symmetrie bewohnen. Beispielsweise enthält eine Funktion die gleiche "Energie" wie ihre FT (Plancherel). Ob der Physik genauso gut gedient wäre, wenn eine andere Konvention gewählt worden wäre, ist strittig, selbst wenn wir bestimmte Fälle finden, die auf den nicht eingeschlagenen Weg hinzuweisen scheinen.

Ein Großteil dieses Materials ist in einem Artikel der Ausgabe Jan/Feb 2016 von IEEE Pulse zu finden , der wiederum auf eine Folge von Notizen von Deakin zurückgreift, die in den Referenzen aufgeführt sind.

doetoe · Answer 3

Die De-Broglie-Hypothese besagt im Wesentlichen, dass die Zustände einen bestimmten Impuls haben $p$ sind von der Form $\psi(r) = e^{ipr}$ . Diese sind orthogonal zum Skalarprodukt

⟨ F | G ⟩ := \int F (R) \bar{G} (R) D R

$\langle f|g\rangle := \int f(r)\overline g(r)dr$

(für jede Skalierung wären diese natürlich immer noch orthogonal). Durch die Postulate der Quantenmechanik erzeugen sie den vollen Zustandsraum.

Staaten der bestimmten Position $r_0$ sind von der Form $\phi(r) = \delta(r_0 - r)$ .

In einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ mit einem inneren Produkt und einer Basis $\psi_p$ , jedes Element $v\in V$ ist von der Form

v = \sum_{P} A_{P} ψ_{P} .

$v = \sum_pa_p\psi_p.$

Wenn die $\psi_p$ orthonormal sind, ist das sofort klar

\begin{matrix} (1) & A_{P} = ⟨ v | ψ_{P} ⟩ . \end{matrix}

$a_p = \langle v|\psi_p\rangle.\tag1$

Wir konnten anschauen $a$ als Funktion von $p$ : $a(p) := a_p$ , was den Koeffizienten von ergibt $v$ in der Grundlage $\psi_p$ .

Wenn wir eine andere orthonormale Basis haben $\phi_r$ , in der der Index suggestiv durch ein anderes Symbol bezeichnet wurde, haben wir auch

v = \sum_{R} B_{R} ϕ_{R},

$v = \sum_rb_r\phi_r,$

Und

B (R) := B_{R} = ⟨ v | ϕ_{R} ⟩ .

$b(r) := b_r = \langle v|\phi_r\rangle.$

Für die zuvor beschriebenen Basen $a$ (die Koeffizientenfunktion) wäre die Impulsdarstellung von $v$ Und $b$ als Positionsdarstellung . Wir haben $\langle\psi_p|\phi_r\rangle = e^{ipr}$ , und Ihr erster Ausdruck ist das unendlich dimensionale Analogon von (1), während Ihr zweiter Ausdruck das Analogon von ist

B (R) \equiv ⟨ v | ϕ_{R} ⟩ = \sum A_{P} ⟨ ψ_{P} | ϕ_{R} ⟩

$b(r) \equiv \langle v|\phi_r\rangle = \sum a_p\langle\psi_p|\phi_r\rangle$

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