Frage zur Unschärferelation

Question

Frage zur Unschärferelation

Physik
Hausaufgaben-und-Übungen
Heisenberg-Unschärfe-Prinzip

71GA

Die Problemstellung:

Die Messung erfasst eine Position eines Protons mit einer Genauigkeit von $\pm10pm$ . Wie groß ist die Positionsunsicherheit $1s$ später? Nehmen Sie die Geschwindigkeit eines Protons an $v\ll c$ .

Was ich verstehe:

Ich weiß, dass allgemein gilt:

\begin{aligned} Δ X Δ P \geq \frac{ℏ}{2} \end{aligned}

$\begin{align} \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \end{align}$

Dies bedeutet, dass ich die Impulsunsicherheit für die erste Messung berechnen kann:

\begin{aligned} Δ X_{1} Δ P_{1} & \geq \frac{ℏ}{2} \\ Δ P_{1} & \geq \frac{ℏ}{2 Δ X_{1}} \\ Δ P_{1} & \geq \frac{1.055 \times 10^{- 34} J S}{2 \cdot 10 \times 10^{- 12} M ⟵ \begin{matrix} soll ich 20 Uhr einfügen \\ statt 22 Uhr? \end{matrix}} \\ Δ P_{1} & \geq 5.275 \times 10^{- 24} \frac{k G M}{S} \\ Δ P_{1} & \geq 9.845 k e v / C \end{aligned}

$\begin{align} \Delta x_1\Delta p_1 &\geq \frac{\hbar}{2}\\ \Delta p_1 &\geq \frac{\hbar}{2\Delta x_1}\\ \Delta p_1 &\geq \frac{1.055\times10^{-34}Js}{2\cdot 10\times10^{-12}m \rlap{~\longleftarrow \substack{\text{should I insert 20pm}\\\text{instead of 10pm?}}}}\\ \Delta p_1 &\geq 5.275\times10^{-24} \frac{kg m}{s}\\ \Delta p_1 &\geq 9.845 keV/c \end{align}$

Frage:

Verwendung der Positionsunsicherheit $\Delta x_1$ Ich habe die Impulsunsicherheit in der ersten Messung berechnet $\Delta p_1$ .

Wie berechne ich die Positionsunsicherheit? $\Delta x_2$ nach $1s$ ? Ich bin mir nicht sicher, was passiert $1s$ später wird aber eine Impulsunsicherheit konserviert, so dass sie gilt $\Delta p_1 = \Delta p_2$ ? Ich weiß, dass das Problem erwartet, dass ich die klassische Beziehung verwende $p=m_ev$ irgendwie aber wie?

Kyle Kanos

Vielleicht könnten Sie verwenden

Δ E Δ t \geq ℏ / 2

$\Delta E\Delta t\geq\hbar/2$ irgendwie....

71GA

Ist es möglich, dass die Geschwindigkeit des Protons konstant ist und daher auch die Geschwindigkeitsunsicherheit konstant ist???

Ali

Zu beachten ist, dass man in der Regel nicht erwartet, dass die Unsicherheit von alleine abnimmt. Grob gesagt kann man also von der Ungewissheit ausgehen

Δ x

$\Delta x$ wird durch die Unsicherheit in Geschwindigkeitszeiten zunehmen

Δ t

$\Delta t$ .

Antworten (2)

Frage zur Unschärferelation

Vielleicht könnten Sie verwenden $\Delta E\Delta t\geq\hbar/2$ irgendwie....
Ist es möglich, dass die Geschwindigkeit des Protons konstant ist und daher auch die Geschwindigkeitsunsicherheit konstant ist???
Zu beachten ist, dass man in der Regel nicht erwartet, dass die Unsicherheit von alleine abnimmt. Grob gesagt kann man also von der Ungewissheit ausgehen $\Delta x$ wird durch die Unsicherheit in Geschwindigkeitszeiten zunehmen $\Delta t$ .

Gremlin · Answer 1

Sie sind auf dem richtigen Weg, wenn Sie die Unsicherheit im Impuls mithilfe der Unsicherheitsrelation berechnen.

Die neue Stelle wird

X_{2} = X_{1} + \frac{P}{M} T

$x_2 = x_1 + \frac{p}{m} t$

Es gibt eine gut bekannte Technik der Fehlerfortpflanzung, die wie folgt funktioniert

$\delta(f(x_1, x_2, x_i, ...) = \sqrt{\Sigma\left(\frac{\partial f }{\partial x_i} \delta x_i\right)^2 }$ ,

Wo $\delta x_i$ bedeutet die Unsicherheit in $x_i$ , die eine unabhängige Koordinate (einschließlich Impulse und Zeiten) der Bewegung ist. Sie summieren über jede Messung, die eine Unsicherheit hat.

Dies stammt aus der Taylor-Reihe.

Wenn Sie dies anwenden, erhalten Sie

δ X_{2} = \sqrt{δ X_{1}^{2} + {(\frac{T}{M} δ P)}^{2}}

$\delta x_2 = \sqrt{\delta x_1^2 + \left(\frac{t}{m} \delta p\right)^2}$

BEARBEITEN -

Ich habe noch ein wenig darüber nachgedacht und finde, dass die Addition in Quadratur hier nicht so angebracht ist. Normalerweise verwenden Sie dies für Messunsicherheiten, wo Sie nach Ein-Sigma-Intervallen suchen, aber für die Quantenmechanik, wo Sie nach vollständiger Unsicherheit suchen, könnte es richtiger sein, die Komponenten direkt zu addieren.

δ X_{2} = δ X_{1} + (\frac{T}{M} δ P)

$\delta x_2 = \delta x_1 + \left(\frac{t}{m} \delta p\right)$

Kann ich Sie um einen externen Link bitten, damit ich mehr über diese Fehlerfortpflanzung lesen kann?
Die Wikipedia-Seite ist ziemlich gut – en.wikipedia.org/wiki/Propagation_of_uncertainty
Darf ich Sie fragen, warum Sie Ihren ursprünglichen Vorschlag in einem EDIT geändert haben?
Das liegt daran, dass ich etwas länger darüber nachgedacht und festgestellt habe, dass bei der Unschärferelation das vollständige Unsicherheitsintervall wichtiger ist. Die erste Formel ist besser geeignet, wenn Sie versuchen, die Unsicherheit einer Größe zu ermitteln, die von zwei unabhängigen Messungen abhängt. Es berücksichtigt die Tatsache, dass sich zufällige Schwankungen manchmal gegenseitig aufheben, anstatt sich immer zu addieren.

John Rennie · Answer 2

Nehmen wir an, Sie haben die Messung im Ruhesystem des Protons durchgeführt. Das hast du herausgefunden $\Delta p$ Ist $5.275 \times 10^{-24}$ kg.m/s. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Impulses eine Kurve (normalerweise als Gaußsche Kurve angenommen) mit einer Halbwertsbreite von ist $5.275 \times 10^{-24}$ . Um dies in eine Geschwindigkeitswahrscheinlichkeitsverteilung umzuwandeln, teilen Sie einfach durch die Protonenmasse, $1.673 \times 10^{-27}$ kg, und Sie werden feststellen, dass die Geschwindigkeitswahrscheinlichkeitsverteilung die halbe Breite ist $3,150$ MS. Daher wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Protonenposition nach 1 Sekunde eine Halbwertsbreite von haben $3,150$ M.

Frage zur Unschärferelation

71GA

Kyle Kanos

71GA

Ali

Antworten (2)

Gremlin

71GA

Gremlin

71GA

Gremlin

John Rennie

Berechnung von ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle und ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle für die Wellenfunktion [geschlossen]

Problem beim Beweis der Unschärferelation

Unsicherheitsprinzip und Energiebereich für ein Elektron in einem Atom

Spektrallinienbreite und Unsicherheitsprinzip

Zeigen, dass Ort mal Impuls und Energie mal Zeit die gleichen Dimensionen haben

Rigoroser mathematischer Beweis der Unschärferelation aus First Principles [Duplikat]

Verletzt diese Wellenfunktion aus dem Zettili-Buch (Quantenmechanik) das Unschärfeprinzip?

Rechteckfenster ψψ\psi Wellenfunktion und der Kalkül von ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle dafür

Berechnen Sie die Unsicherheit der Geschwindigkeit des Elektrons

Verwendung der Unschärferelation zur Abschätzung der Grundzustandsenergie von Wasserstoff