Unsicherheitsprinzip und Energiebereich für ein Elektron in einem Atom

Ich habe folgende Übung:

Verwenden Sie die Heisenbergsche Unschärferelation und die Beziehung Δ u = ⟨ u 2 ⟩ − ⟨ u ⟩ 2 um den Energiebereich zu finden, den ein Elektron in einem Atom mit einem Durchmesser von 1 amstrong hat.

Hier der Lösungsversuch:

  • Aus der Unschärferelation: Δ P Δ X ≥ ℏ / 2 . Deshalb Δ P ≥ ℏ / 2 Δ X .

  • Ohne relativistische Korrekturen zu berücksichtigen (weiß nicht, ob das in Ordnung ist), E C = P 2 / 2 M

  • Aus der Definition der Standardabweichung Δ P = ⟨ P 2 ⟩ − ⟨ P ⟩ 2 . Dann Δ P 2 = ⟨ P 2 ⟩ − ⟨ P ⟩ 2 . Deshalb ⟨ P 2 ⟩ = Δ P 2 + ⟨ P ⟩ 2

  • Die Energie des Elektrons ist die kinetische Energie minus der potentiellen Energie:

E = P 2 / 2 M − e 2 / R

Und so wird die durchschnittliche Energie sein

⟨ E ⟩ = ⟨ P 2 ⟩ / 2 M − e 2 / ⟨ R ⟩ = ( Δ P 2 + ⟨ P ⟩ 2 ) / 2 M − e 2 / ⟨ R ⟩

Hier weiß ich nicht weiter. Muss ich davon ausgehen ⟨ P ⟩ = 0 ? Warum? Und selbst wenn ich davon ausgehe, ersetzen ⟨ R ⟩ mit Δ X , was ich vermute 1 ∗ 10 − 10 M (warum?) Ich bekomme keinen Energiewert, der der Bodenenergie eines Wasserstoffatoms ähnelt (das ungefähr den gleichen Durchmesser wie dieses hat).

Was mache ich falsch?

Antworten (1)

⟨ P ⟩ = 0 weil der Impuls ein Vektor ist und unter Annahme der Wellenfunktion mit gleicher Wahrscheinlichkeit in alle Richtungen zeigt ψ ( R ) ist kugelsymmetrisch.

⟨ | R | ⟩ ≈ A 0 .

Diese zusammenzufügen ergibt die untere Schranke

⟨ E ⟩ = ⟨ P 2 ⟩ / 2 M − e 2 / 4 π ϵ 0 ⟨ | R | ⟩ = ⟨ Δ P ⟩ 2 / 2 M − e 2 / 4 π ϵ 0 ⟨ | R | ⟩ ≈ ℏ 2 / 8 M A 0 − e 2 / 4 π ϵ 0 A 0 ≈ − 24 e v

was ziemlich nahe an der tatsächlichen Bindungsenergie liegt − 13.6 e v .

Danke schön. Du hast Recht, das scheint das Ziel des Problems zu sein. Ich dachte, dass das Problem immer noch Bohrs Atommodell mit Umlaufbahnen berücksichtigte, daher konnte <p> nicht 0 sein.
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