Verletzt diese Wellenfunktion aus dem Zettili-Buch (Quantenmechanik) das Unschärfeprinzip?

Question

Verletzt diese Wellenfunktion aus dem Zettili-Buch (Quantenmechanik) das Unschärfeprinzip?

Physik
Quantenmechanik
Hausaufgaben-und-Übungen
Heisenberg-Unschärfe-Prinzip

Paradoxie

Ich bin mir nicht sicher, ob meine Frage als Hausaufgaben und Übungen zählt oder nicht, weil ich die Antwort bereits kenne. Das Problem ist, ich finde Zettilis Antwort eher unbefriedigend.

Aufgabe 1.11 (a) Finden Sie die Fourier-Transformation für $\phi(k)=A(a-|k|),~~|k|\leq a~$ Wo $a$ ist ein positiver Parameter und $A$ ist ein Normalisierungsfaktor zu finden. (b) Berechnen Sie die Unsicherheiten $\Delta x$ Und $\Delta p$ und prüfen Sie, ob sie der Unschärferelation genügen.

Es gibt viele Möglichkeiten zu berechnen $\Delta x$ von der Wellenfunktion. Man kann es von finden $\phi(k)$ oder $\psi(x)$ (Wellenfunktion im Ortsraum) usw. Der einfachste Weg ist meiner Meinung nach, es von zu erhalten $\phi(k)$ . Beachten Sie, dass $\psi (x)=\frac{4}{x^2}\sin^2\left(\frac{ax}{2}\right)$ nach Zettili. Im Impulsraum haben wir also:

\hat{X} = ich \frac{D}{D k} Und {\hat{X}}^{2} = - \frac{D^{2}}{D k^{2}}

$\hat{x}=i\frac{d}{dk}~~~\text{and}~~~~\hat{x}^2=-\frac{d^2}{dk^2}$

⟨ X ⟩ = \int_{- A}^{A} ϕ (k) \hat{X} ϕ (k) D k = ich (\int_{- A}^{0} A^{2} (A + k) D k - \int_{0}^{A} A^{2} (A - k) D k) = 0

$\langle x\rangle=\int_{-a}^{a}\phi(k)\hat{x} \phi(k)dk=i\left(\int_{-a}^{0}A^2(a+k)dk-\int_{0}^{a}A^2(a-k)dk\right)=0$

⟨ X^{2} ⟩ = \int_{- A}^{A} ϕ (k) {\hat{X}}^{2} ϕ (k) D k = 0

$\langle x^2\rangle=\int_{-a}^{a}\phi(k)\hat{x}^2 \phi(k)dk=0$

\to Δ X = \sqrt{⟨ X^{2} ⟩ - ⟨ X ⟩^{2}} = 0,

$\rightarrow \Delta x=\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2}=0,$ was offensichtlich die Unschärferelation verletzt. Ich habe meinen Universitätsprofessor danach gefragt, er sagte, aufgrund der Diskontinuität der Wellenfunktion sollten Sie wechseln

\hat{x}

$\hat{x}$ so dass:

\hat{X} = - ich \frac{D}{D k}, - A \leq X < 0

$\hat{x}=-i\frac{d}{dk}, ~ -a\leq x <0$

\hat{X} = ich \frac{D}{D k}, 0 \leq X < A

$\hat{x}=i\frac{d}{dk}, ~~~~~~ 0\leq x <a$ Aber es gibt mir eine komplexe Zahl für den Positionsdurchschnitt! Es macht keinen Sinn. Außerdem kann gezeigt werden, dass der Positionsmittelwert im Positionsraum ebenfalls Null ist

⟨ X ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} ψ (X) \hat{X} ψ (X) D X = 0.

$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)\hat{x} \psi(x)dx=0.$

Alle Wellenfunktionen sind reell, also habe ich nirgendwo komplexe Konjugation verwendet.

Das ist die Antwort von Zettili:

Lassen Sie uns nun die Breite finden $\Delta x$ von $\psi(x)$ Seit $\sin(a\pi/2a)=1$ , $\psi (\pi/a)=4/\pi^2$ Und $\psi(0)=a^2$ können wir beschaffen $\psi (\pi/a)=4/\pi^2\psi (0)$ oder $\frac{\psi (\pi/a)}{\psi(0)}=\frac{4}{\pi^2}$ Das deutet darauf hin $\Delta x= \pi/a.$

Was habe ich falsch gemacht?

Knzhou

Uff, das ist eine knifflige Sache, die man in Kapitel 1 eines QM-Lehrbuchs unterbringen kann! Das Problem ist, dass die zweite Ableitung singulär ist, sodass Sie Ihrer Bewertung nicht vertrauen können

⟨ x^{2} ⟩

$\langle x^2 \rangle$ . Sie können dies beheben, indem Sie die Singularität glätten oder mit Deltafunktionen arbeiten.

Paradoxie

@knzhou Du hast vollkommen recht. Ich hätte das Cauchy-Integral in der komplexen Ebene verwendet, um es zu finden

Δ x

$\Delta x$ aus

ψ (x)

$\psi (x)$ . Ich bin mir nicht sicher, warum ich das nicht gesehen habe.

Antworten (1)

Verletzt diese Wellenfunktion aus dem Zettili-Buch (Quantenmechanik) das Unschärfeprinzip?

Uff, das ist eine knifflige Sache, die man in Kapitel 1 eines QM-Lehrbuchs unterbringen kann! Das Problem ist, dass die zweite Ableitung singulär ist, sodass Sie Ihrer Bewertung nicht vertrauen können $\langle x^2 \rangle$ . Sie können dies beheben, indem Sie die Singularität glätten oder mit Deltafunktionen arbeiten.
@knzhou Du hast vollkommen recht. Ich hätte das Cauchy-Integral in der komplexen Ebene verwendet, um es zu finden $\Delta x$ aus $\psi (x)$ . Ich bin mir nicht sicher, warum ich das nicht gesehen habe.

Ruslan · Answer 1

Sie können dies strenger begründen, wenn Sie die nehmen $|k|$ Term in der anfänglichen Wellenfunktion (die bei nicht differenzierbar ist $k=0$ ) als Verteilung in Bezug auf die Heaviside-Stufenfunktion :

| k | = k (2 θ (k) - 1) .

$|k|=k(2\operatorname{\theta}(k)-1).$

Danach ergibt die Differenzierung:

\begin{aligned} \frac{D}{D k} | k | & = 2 θ (k) - 1, \\ \frac{D^{2}}{D^{2} k} | k | & = 2 δ (k), \end{aligned}

$\begin{align}\frac{\mathrm d}{\mathrm dk}|k|&=2\operatorname{\theta}(k)-1, \\ \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d^2k}|k|&=2\operatorname{\delta}(k), \end{align}$

Wo $\operatorname{\delta}$ ist das Dirac-Delta . Nachdem Sie Eigenschaften von übernommen haben $\operatorname{\delta}$ Bei der Integration sollten Sie in der Lage sein, zum richtigen Ergebnis zu gelangen.

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Knzhou

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