Heisenberg-Beziehung

Ich denke, Ihre Frage veranschaulicht einfach die folgende grundlegende Eigenschaft der Fourier-Transformation: Wenn$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ist eine Funktion und$F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$seine Fourier-Transformation, dann wird das Produkt der mittleren quadratischen Streuungen beider Funktionen wie folgt begrenzt. Nehmen Sie dies ohne Einschränkung der Allgemeinheit an$f(x)$ist echt und$\int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,\mathrm{d}\,x = \int_{-\infty}^\infty k\,F(k)\,\mathrm{d}\,k = 0$( dh die Funktion und ihre Fourier-Transformation haben Mittel von Null), dann:

$$\sqrt{\frac{\int_{-\infty}^\infty x^2\,|f(x)|^2\,\mathrm{d}\,x}{\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\,\mathrm{d}\,x}}\;\sqrt{\frac{\int_{-\infty}^\infty k^2\,|F(k)|^2\,\mathrm{d}\,k}{\int_{-\infty}^\infty |F(k)|^2\,\mathrm{d}\,k}} \geq \frac{1}{2}\qquad(1)$$

Jetzt verwende ich hier die einheitliche Definition der Fourier-Transformation:

$$F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-i\,k\,x}\,f(x)\,{\rm d}x\qquad(2)$$

Also, wenn ich stecke$A(k)$in Mathematica finde ich, dass seine Umkehrung FT (proportional zu) ist$e^{-\alpha\,|t|}$. Die eigentliche Beziehung ist:

$$f(x) = e^{-\alpha\,|t|};\qquad F(k) \frac{\sqrt{\frac{2}{\pi }} \alpha}{\alpha^2+k^2}\qquad(3)$$

aber die Proportionalitätskonstanten spielen keine Rolle, sie heben sich alle in (1) auf. Wenn ich also die Funktionen in (3) wieder in (1) einsetze und vereinfache (in meinem Fall mit Mathematica), bekomme ich$\Delta x \Delta k = 1/\sqrt{2}$Wo:

$$\Delta x = \sqrt{\frac{\int_{-\infty}^\infty x^2\,|f(x)|^2\,\mathrm{d}\,x}{\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\,\mathrm{d}\,x}} = \frac{1}{2\,\alpha}\qquad(4)$$

Und

$$\Delta k = \sqrt{\frac{\int_{-\infty}^\infty k^2\,|F(x)|^2\,\mathrm{d}\,k}{\int_{-\infty}^\infty |F(k)|^2\,\mathrm{d}\,k}} = \alpha\qquad(5)$$

Wenn ich das mit einem Gaußschen Impuls überprüfe$f(x) = e^{-a\,x^2}$Ich bekomme:

$$F(k) = \frac{e^{-\frac{k^2}{4 a}}}{\sqrt{2} \sqrt{a}}\qquad(6)$$

Dann:

$$\Delta x = \frac{1}{2\,\sqrt{a}};\qquad \Delta k = \sqrt{a}$$

und die Gaußsche sättigt die Ungleichung (1).

Dies ist natürlich wichtig für die Heisenbergsche Unschärferelation, da Impulskoordinaten und Ortskoordinaten (allgemeiner Eigenkoordinaten, die beliebigen Observablen entsprechen$\hat{X}$,$\hat{P}$die die kanonische Vertauschungsbeziehung erfüllen$[\hat{X}, \hat{P}]=i\,\hbar\,{\rm id}$) werden notwendigerweise durch eine Fourier-Transformation (mit einer Skalierung der Impulskoordinaten durch$\hbar$nach der Fourier-Transformation eingeworfen). Weitere Einzelheiten finden Sie in meiner Antwort hier .

---

Fußnoten:

Beachten Sie das, wenn Sie eine Impulsfamilie definieren$f_\alpha(x) = f(\alpha x)$von einem "Prototypen"$f(x)$, dann sind die Fourier-Transformierten der Familie$F(k\,/\,\alpha)\,/\,\alpha$, also ist das Produkt der Unsicherheiten in (1) für alle Familienmitglieder gleich: ein breiter Puls hat eine schmale FT.

Um (1) für die Klasse der temperierten Verteilungen zu beweisen (siehe auch hier ), stellen wir außerdem fest, dass der Beweis von (1) dem Problem entspricht:

Minimieren$\int_\mathbb{R} k^2 |F(k)|^2 \,{\rm d} k$unterliegt:

1. $\int_\mathbb{R} x^2 |f(x)|^2\, {\rm d} x = const$(kleinste Wellenzahl-Domain-Spreizung für eine Domain-Spreizung mit konstanter Position finden);

2. $\int_\mathbb{R} x |f(x)|^2\, {\rm d} x = 0$(Mittelwert von Null in "Positionskoordinaten");

3. $\int_\mathbb{R} k |F(k)|^2\, {\rm d} k = 0$(Mittelwert von Null in "Wellenzahlkoordinaten");

4. $\int_\mathbb{R} |f(x)|^2\, {\rm d} x = 1$(Konstante Normfunktionen. Beachten Sie, dass wir nicht annehmen müssen$\int_\mathbb{R} |F(k)|^2\, {\rm d} k = 1$wie sich dies aus den Plancherel/Parsval-Sätzen ergibt$\int_\mathbb{R} |f(x)|^2\, {\rm d} x = 1$;

Da das Produkt der Fourier-Transformationen die Fourier-Transformation der Faltung der relevanten temperierten Verteilungen ist, können wir umschreiben$k^2 |F(k)|^2$als:

$$\frac{1}{2\pi} \int_\mathbb{R} e^{-i\,k\,x} (f * f^*)(x) {\rm d} x$$

Wo$f * f^*$ist die Faltung von$f$mit seinem komplexen Konjugat. Dann integrieren wir$k^2 |F(k)|^2$über die ganze reelle Linie, Integrationsreihenfolge wechseln, dabei Multiplikation der FT mit beachten$i\,k$ist gleichbedeutend damit, die FT der Ableitung zu nehmen$f^\prime(x)$und so im Verteilungssinn :

$$\int_\mathbb{R} k^2 |F(k)|^2 \,{\rm d} k = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_\mathbb{R} \delta(x)\,{\rm d}_x^2\left( (f * f^*)(x)\right)\,{\rm d} x = -\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_\mathbb{R} f^*(x) f^{\prime\prime}(x) {\rm d} x$$

Ebenfalls:

$$\int_\mathbb{R} k |F(k)|^2 \,{\rm d} k = -i\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_\mathbb{R} f^*(x) f^{\prime}(x) {\rm d} x$$

Wenn wir also die Standardvariationsrechnung anwenden und die zu minimierende Variation unseres Integrals mit den Einschränkungen berechnen, die von Lagrange-Multiplikatoren berücksichtigt werden, finden wir:

$$2{\rm Re}\left(\int_\mathbb{R}\delta f^*(x)\left( -\sqrt{\frac{2}{\pi}}f^{\prime\prime}(x) +\lambda_1 f^\prime(x)+(\lambda_2 x^2 + \lambda_3 x + \lambda_4)\,f(x)\right){\rm d} x\right) = 0$$

Wo$\delta f^*(x)$ist eine beliebige Variationsfunktion. Daher erfüllen Funktionen, für die unser Integral extremal ist:

$$-\sqrt{\frac{2}{\pi}}f^{\prime\prime}(x) +\lambda_1 f^\prime(x)+(\lambda_2 x^2 + \lambda_3 x + \lambda_4)\,f(x)=0$$

eine Differentialgleichung, die einen allgemeinen Gaußschen Impuls definiert$\exp(-a\,x^2 + b\,x + c)$Wo$a,\,b,\,c\in\mathbb{C}$Und${\rm Re}(a) > 0$. Wenn wir einen solchen allgemeinen Gaußschen Impuls in die linke Seite von (1) einfügen, stellen wir fest, dass sein Extremum ist$1/2$.

---

Zweite Fußnote:

jetzt verstehe ich worauf deine Frage hinaus will. Wenn wir das HUP, „Spreads“ von Impuls- und Positionsbereichsfunktionen und das „Unsicherheits“-Produkt diskutieren, verwenden wir gewöhnlich das Root-Second-Moment (Standardabweichung)-Maß für die Streuung. Dies liegt daran, dass dies eine „gute“ „Gesamt“-Messung der Streuung ist. Die Messung, die Ihre Frage erfordert, ist das Streuungsmaß "Full Width Third Maximum" (FMWTM) (häufiger verwenden Menschen das "Full Width Half Maximum" (FWHM) - die Breite des Pulses, die zwischen den Punkten gemessen wird, an denen seine Intensität liegt$|\psi|^2$auf die Hälfte seines Spitzenwerts abfällt). Für die Funktionen, die Sie haben, ist diese Spread-Metrik "gut repräsentativ": Es gibt keine "wackeligen Bits" bei Ihren Funktionen. Die FWHM für$A(k)$Ist$2 \sqrt{\sqrt{3}-1} \alpha$, während es für seine inverse Fourier-Transformation ist$\log3/\alpha$. Das Unsicherheitsprodukt durch die FWTM-Metriken ist dann$4 \sqrt{\sqrt{3}-1} \log 3$das entspricht etwa 1,9.

Für monoton fallende Funktionen geben FWHM, FWTM und ähnliche Streuungsmaße eine intuitive, zuverlässige Vorstellung von der Streuung einer Funktion. Funktionen können jedoch "willkürlich dünne wackelige Bits" aufweisen, die diese Maßnahmen unzuverlässig machen. Denken Sie zum Beispiel an die Funktion$\exp(-1000\,x^2) + \exp(-x^2)/4$. Sie haben ein sehr dünnes, spitzes Gebiss$\exp(-1000\,x^2)$in der Mitte, aber der größte Teil der quadratischen Norm der Funktion wird von der beigetragen$\exp(-x^2)/4$Teil. Die FWTM liegt in der Größenordnung von 0,001. Aber der größte Teil der Fourier-Transformation der Funktion kommt von$\exp(-x^2)/4$Bit. Im Fourier-Raum liegt die FWHM in der Größenordnung von 1. Wir erhalten also ein Unsicherheitsprodukt von 0,001. An einem solchen Beispiel kann man zeigen, dass man mit Maßen wie FWHM, FWTM beliebig kleine Unsicherheitsprodukte erreichen kann . Diese Maße vermitteln nicht immer eine gute intuitive Vorstellung vom Gesamtverhalten einer Funktion, und wie wir oben sehen können, erfassen sie nicht die Idee des Heisenbergschen Unschärfeprinzips.