Problem beim Beweis der Unschärferelation

F Und G sind zwei quadratisch integrierbare Funktionen. Es wird aus der Schwarz-Ungleichung, der Definition der Varianz und einer Identität komplexer Zahlen gezeigt, dass

( Δ A ) 2 ( Δ B ) 2 = ⟨ F | F ⟩ ⟨ G | G ⟩   ≥   | ⟨ F | G ⟩ | 2   ≥   [ ( ⟨ F | G ⟩ − ⟨ G | F ⟩ ) 2 ich ] 2

Dann sagt der Beweis: Benutze die Definition von F Und G und die Normalisierung von Ψ um das zu verifizieren

(ICH) ⟨ F | G >=< G | F ⟩ ∗ = ⟨ Ψ | A ^ B ^ | Ψ ⟩ − ⟨ A ⟩ ⟨ B ⟩

Was zur Formel führt:

( Δ A ) 2 ( Δ B ) 2   ≥   1 4 | ⟨ Ψ | [ A ^ , B ^ ] | Ψ ⟩ | 2

Ich verstehe die Gleichheit in (I) nicht. Ich verstehe auch nicht die Notation auf der linken Seite. Kann jemand helfen?

Der Beweis stammt aus Problem 7.60 der Quantenmechanik von Ira Levine.

Ich habe fälschlicherweise () für <> verwendet. Ich habe das aktualisiert. In (I) sollte das erste < und das letzte > größer sein als das in der Mitte auf der linken Seite. Ich weiß leider nicht, wie ich es klarer schreiben soll
Prinzipiell muss ein Prinzip nicht bewiesen werden

Antworten (1)

Wenn ⟨ A ⟩ = ⟨ Ψ | A ^ | Ψ ⟩ existiert und ist endlich. Und ⟨ B ⟩ = ⟨ Ψ | B ^ | Ψ ⟩ existiert und ist endlich. Dann können wir definieren | F ⟩ = A ^ | Ψ ⟩ − ⟨ A ⟩ | Ψ ⟩ und definieren | G ⟩ = B ^ | Ψ ⟩ − ⟨ B ⟩ | Ψ ⟩ .

Wenn F Und G quadratintegrierbar sind, dann können Sie die Integrale ihrer Quadrate berechnen (die sind ⟨ F | F ⟩ Und ⟨ G | G ⟩ bzw). Wenn Sie die Ergebnisse vereinfachen, sehen Sie, dass sie der Varianz von entsprechen A Und B bzw. Dann können Sie mit Cauchy-Schwarz kombinieren, um Folgendes zu erhalten:

( Δ A ) 2 ( Δ B ) 2 = ⟨ F | F ⟩ ⟨ G | G ⟩   ≥   | ⟨ F | G ⟩ | 2 .

Jetzt ⟨ F | G ⟩ = ⟨ G | F ⟩ ∗ ist nur die Verallgemeinerung von A → ⋅ B → = B → ⋅ A → zu komplexen Vektoren, bei denen es nicht symmetrisch ist, sondern konjugiert symmetrisch. Zum Beispiel, wenn ⟨ F | G ⟩ = ∫ F ∗ G Und ⟨ G | F ⟩ = ∫ G ∗ F Dann ⟨ F | G ⟩ = ⟨ G | F ⟩ ∗ seit:

∫ F ∗ G = ( ∫ F ∗ G ) ∗ ∗ = ( ∫ ( F ∗ G ) ∗ ) ∗ = ( ∫ F ∗ ∗ G ∗ ) ∗ = ( ∫ G ∗ F ) ∗ .

Und um die rechte Seite zu erhalten, machen Sie die gleichen Tricks wie zu zeigen, dass sie gleich der Varianz sind, bringen Sie Konstanten außerhalb der Integrale.

Sie würden nicht auch die letzte Gleichheit von (I) herleiten? Danke!
@torgny Es verstößt gegen die Richtlinien, deine Hausaufgaben für dich zu machen. Ich hätte genügend Details angeben sollen, damit Sie den Rest selbst erledigen können. Behandle die Operatoren wie Matrizen, die Vektoren wie Vektoren und ziehe Konstanten durch und berechne die Teile. Wenn Sie den Varianzteil zeigen könnten, sollten Sie in der Lage sein, diesen Teil zu machen. Möglicherweise müssen Sie verwenden, dass die Operatoren beobachtbar sind.
Problem beim Beweis der Unschärferelation
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