Warum ist Unsicherheit für kohärente Zustände minimal?

Wie Sie wahrscheinlich wissen, ist für jedes Teilchen das Produkt der Unsicherheiten in der Position,$\Delta x$, und der Schwung$\Delta p$( nicht $\delta y$wie Sie sagen) wird unten durch eine positive Konstante begrenzt;

$$\Delta x\, \Delta p\geq\frac{\hbar}{2}.$$ (Wenn Ihnen das nicht bekannt vorkommt, müssen Sie sich über Heisenbergs Unschärferelation informieren .) Für allgemeine Zustände wird das Unschärfeprodukt wahrscheinlich ziemlich größer als sein $\hbar$, und für klassische Objekte wird es sehr viel größer sein. Wenn wir jedoch bei einer Messung sehr genau sein wollen, möchten wir, dass das Teilchen eine minimale Unsicherheit hat: Das heißt, wir möchten die Bedingung auferlegen $$\Delta x\, \Delta p=\frac{\hbar}{2}.\tag{1}$$ Die Zustände, die diese Bedingung erfüllen, werden als kohärente Zustände bezeichnet .

Etwas technischer werden die allgemeinen Lösungen von Gleichung (1) als gequetschte kohärente Zustände bezeichnet , im Wesentlichen, weil wir die Unsicherheit daraus "quetschen" können$x$hinein$p$oder umgekehrt. Wenn sich das Teilchen in einem harmonischen Oszillatorpotential befindet, können wir einen einzigartigen Weg wählen, um das Unsicherheitsprodukt in "minimale" Positions- und Impulsteile zu "aufteilen".

$$\Delta x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}},\;\Delta p=\sqrt{\frac{1}{2}m\omega\hbar },$$ unter Verwendung der in enthaltenen Dimensionsinformationen $\omega$Und $m$.

Die Zustände, die befriedigen$\Delta x\Delta p= \frac{\hbar}{2}$(dh die strikte Gleichheit statt einer Ungleichheit) werden "intelligente Staaten" genannt. Kohärente Zustände sind eine Teilmenge intelligenter Zustände, aber nicht jeder intelligente Zustand ist kohärent.

Wenn Sie davon ausgehen$\hat A$Und$\hat B$sind hermitesch und definieren für einen gegebenen Zustand$\vert\psi\rangle$, der Betreiber

$$\Delta \hat A = \hat A - \langle A\rangle$$ Dann $\Delta \hat A$ist wieder hermitesch. Definieren Sie jetzt die Abkürzungen $$\vert\psi_A\rangle = \Delta \hat A\vert\psi\rangle \, ,\qquad \vert\psi_B\rangle = \Delta \hat B\vert\psi\rangle$$ man verwendet die Schwarz-Ungleichung, um das zu zeigen $$\langle \psi_A\vert \psi_A\rangle \langle \psi_B\vert \psi_B\rangle \ge \vert \langle \psi_A\vert \psi_B\rangle\vert^2$$ Für zukünftige Referenz, das $$\begin{equation} \langle \psi_A \vert \psi_A \rangle\langle \psi_B \vert \psi_B \rangle= \vert\langle \psi_A \vert \psi_B \rangle\vert^2\Rightarrow \vert{\psi_A}\rangle =\mu\,\vert{\psi_B}\rangle\, , \tag{1} \end{equation}$$ dh die strikte Gleichheit impliziert $\vert{\psi_A}\rangle$ist ein skalares Vielfaches von $\vert{\psi_B}\rangle$.

Expandieren

$$\begin{eqnarray} \langle \psi_A \vert \psi_B \rangle&=& \langle \psi \vert\Delta \hat A\Delta \hat B\vert \psi \rangle \\ &=&\textstyle\frac{1}{2}\langle \psi \vert(\Delta \hat A\Delta \hat B-\Delta \hat B\Delta \hat A)\vert{\psi}\rangle +\textstyle{\frac{1}{2}}\langle {\psi}\vert (\Delta \hat A\Delta \hat B+\Delta \hat B\Delta \hat A)\vert \psi \rangle\, . \tag{2} \end{eqnarray}$$ Man zeigt leicht, dass beide Terme auf der rechten Seite von (2) nichtnegativ sind. Wenn wir nur die behalten $\textstyle\frac{1}{2}\langle \psi \vert(\Delta \hat A\Delta \hat B-\Delta \hat B\Delta \hat A)\vert{\psi}\rangle$Term erhalten wir die Standard-Robertson-Ungleichung, die schließlich nach einiger Reorganisation als geschrieben wird
$$\Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}\vert \langle \psi\vert [\hat A,\hat B]\vert\psi \rangle\vert$$ Um die strikte Gleichheit zu erhalten, müssen wir zusätzlich Zustände finden, die Gl. (1) erfüllen und gleichzeitig den zweiten Term in Gl. (2) aufheben, dh Zustände, die gleichzeitig genügen $$\begin{align} \Delta \hat A\vert\psi\rangle &=\mu \Delta \hat B\vert\psi\rangle\, , \tag{3} \\ \langle {\psi}\vert (\Delta \hat A\Delta \hat B+\Delta \hat B\Delta \hat A)\vert \psi \rangle&=0\, . \tag{4} \end{align}$$ Unter Verwendung von (3) und seiner komplex Konjugierten kann man (4) umschreiben als $$0=\mu^*\langle{\psi}\vert (\Delta \hat B)^2\vert{\psi}\rangle +\mu \langle {\psi}\vert (\Delta\hat B)^2\vert{\psi}\rangle$$ aber seit $\langle{\psi}\vert (\Delta \hat B)^2\vert{\psi}\rangle$muss echt sein, $\mu$muss rein imaginär sein, dh $\mu=i \beta$, mit $\beta$real. Daher die Bedingung an $\vert\psi\rangle$Ist $$(\hat A-i\beta \hat B)\vert\psi\rangle =\lambda \vert\psi\rangle \, ,\qquad \lambda = \langle A\rangle -i \beta \langle B\rangle\, .$$ Außerdem haben wir auch $$(\Delta A)^2 =\beta^2 (\Delta B)^2 \tag{5}$$ Nehmen $\hat A=\hat x$Und $\hat B=\hat p$, und verwenden $[\Delta \hat x,\Delta \hat p]=i\hat I$das zeigt man dann $$(\Delta p)^2 =-1/(2\beta)\, ,\qquad (\Delta x)^2=-\beta/2\, ,$$ implizieren das $\beta$ist negativ und so $\beta=-\Delta x/\Delta p$. Die intelligenten Zustände erfüllen dann $$\begin{align} (\hat x-i\beta \hat p)\psi(x)&= (x_0 -i\beta p_0)\psi(x)\, ,\\ &= (x+\beta \frac{d}{dx})\psi(x)\tag{6} \end{align}$$ Wo $\langle x\rangle=x_0$Und $\langle p\rangle=p_0$.
Die Lösung von (6) ist (bis auf Normalisierung) $$\psi(x)=C^{(x-\langle x\rangle)^2)/(2\beta) - i\langle p\rangle x} \tag{7}$$ Der kohärente Zustand ist der Fall für $\beta=-1$. Mit $\beta=-1$die Lösung $\psi(x)$ist dann nur noch eine Gaußsche im Zentrum $(x,p)$bei $(x_0,p_0)$. Dies ist der kohärente Zustand, der konstruktionsbedingt erfüllt ist $\Delta x\Delta p=\frac{1}{2}\hbar$.

Für alle anderen Werte$-\infty<\beta <0$, mit$\beta\ne -1$, die Zustände sind intelligent ($\Delta x\Delta p=\frac{1}{2}\hbar$konstruktionsbedingt) und da durch (5) die Unsicherheit in einen von gequetscht wird$x$oder$p$kleiner ist als dann die Unsicherheit im anderen.