Rigoroser mathematischer Beweis der Unschärferelation aus First Principles [Duplikat]

Bei der Suche nach einer intuitiven Erklärung für die Heisenbergsche Unschärferelation (verwandte Frage unten) wurde ein axiomatischer Ansatz zur Etablierung der Unschärferelation erwähnt. Könnte jemand bitte auf eine Quelle mit detaillierten Schritten und Erklärungen aus den ersten Prinzipien hinweisen?

Verwandte Frage

Lässt sich die Heisenbergsche Unschärferelation intuitiv erklären?

Einige (Nach-)Suchen werden die folgenden Beweise (und andere) aufdecken, die vielleicht nicht sofort von Leuten verstanden werden, die mit bestimmten Terminologien / Konzepten nicht vertraut sind.

Verwandter Beweis

Wissenschaftlicher Beweis der Heisenbergschen Unschärferelation

In der obigen Antwort ist es nicht klar

  1. Wie das Produkt von Vektoren, P Q , wird in Real- und Imaginärteil zerlegt?

  2. Wie der Erwartungswert von P Q quadriert ist das Quadrat der Imaginär- und Realteile getrennt?

  3. Wie sind beide quadratischen Dinge positiv, da ein komplexer Teil beteiligt ist?

  4. Wie quadratisch positive Dinge bedeuten, dass die linke Seite größer als ein Viertel des Quadrats des Kommutators ist?

  5. Warum der Kommutator durch die Verschiebung unverändert bleibt [ P , Q ] = [ P , X ] = ℏ ?

Bitte beachten Sie, ich war ein anständiger Physikstudent (vielleicht nicht, aber ich bin immer noch sehr interessiert), der für ein Aufbaustudium in die Sozialwissenschaften abgewandert ist. Daher bin ich etwas eingerostet in Bezug auf die Notation und Terminologie. Alle Hinweise zur Auffrischung der Konzepte und zum Füllen der Lücken in bestehenden Erklärungen wären sehr willkommen. Ich verstehe, dass meine Fragen für Experten sehr trivial oder offensichtlich erscheinen könnten, entschuldigen Sie daher bitte meine Unkenntnis grundlegender Konzepte.

EDIT: Bitte beachten Sie, dass dies keine doppelte Frage ist. Die Frage, auf die verwiesen wird, um diese Frage als Duplikat zu markieren, ist mit dieser Frage verknüpft. Diese vorliegende Frage entstand aus einigen Zweifeln an der anderen Frage. Ich werde diese Änderung entfernen, sobald dies klar ist.

Axiomatische Beweise gehören zur Mathematik. Die Notwendigkeit für das HUP als Prinzip ergibt sich aus den Daten: die Notwendigkeit, die Wellennatur der Wahrscheinlichkeiten für Messungen im Mikrokosmos zu modellieren. Alle mathematischen Beweise können Ihnen sagen, dass das mathematische Modell erfolgreich zu den Daten passt.
Ich wiederhole: Das HUP wird ein Prinzip genannt, aber es hätte ein "Gesetz" wie in den "Schwerkraftgesetzen" oder eine "Regel" wie in "Geborene Regel" genannt werden können. In der Physik sind "Prinzipien", "Gesetze", "Postulate" Wörter, die verwendet werden, um zu betonen, dass zusätzliche Einschränkungen für die Mathematik und die Lösungen der Mathematik auferlegt werden müssen, um die Teilmenge von Lösungen auszuwählen, die ZU DEN DATEN UND BEOBACHTUNGEN PASSEN. Es gibt keine Möglichkeit, Daten zu beweisen. Deshalb werden physikalische Theorien validiert und nicht bewiesen. Die Übereinstimmung der mathematischen Vorhersagen mit den Daten bestätigt die physikalische Theorie. Beweist es nicht
Daher sind die Antworten, die Sie erhalten, die zeigen, dass das HUP aus der verwendeten Mathematik hervorgeht, kein Beweis für das HUP. Es ist ein Beweis für die Konsistenz des mathematischen Modells mit den Daten. Wenn etwas in der Mathematik richtig bewiesen ist, kann es sich nicht ändern. Physikalische Postulate/Prinzipien/Gesetze usw. können geändert werden, um Beobachtungen anzupassen. Beispiel: Für hohe Geschwindigkeiten werden galileische Postulate verworfen und man erhält spezielle Relativitätspostulate, die zu den Daten passen.
@annav Danke für deine Erläuterungen. Ich verstehe, was du sagst. Meine Bearbeitung basiert darauf, dass Qmechanic diese Frage als Duplikat markiert, was nicht der Fall ist, da sie sich auf die Frage bezieht und nach Erläuterungen zu der Frage sucht, auf deren Grundlage er / sie sie als Duplikat markiert hat.

Antworten (2)

Der Beweis hier zeigt, dass hermitische Operatoren A , B erfüllen σ A σ B ≥ 1 2 | ⟨ [ A , B ] ⟩ | . (Es ist eine Folge der Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf dem Hilbert-Raum.) Seit [ X , P ] = ich ℏ , σ X σ P ≥ ℏ 2 .

Vielen Dank für Ihre Zeit, um auf diese andere Antwort hinzuweisen. Ich habe die anderen Beweise gesehen, die Sie erwähnen. Mir ist nicht klar, wie das Produkt zersetzt wird und der Teil danach. Ich habe die Frage bearbeitet, um dies widerzuspiegeln. Könnten Sie diese Schritte bitte erläutern?

1) Es ist ein Produkt von Operatoren. Und sie werden nicht so sehr in Real- und Imaginärteile zerlegt, sondern in selbstadjungierte und antiselbstadjungierte Teile.

Wenn wir selbstadjungiert nehmen A , B lineare Operatoren auf einem geeigneten Hilbert-Raum, das ist klar

A B = 1 2 ( A B + B A ) + 1 2 ( A B − B A ) ,
seit
1 2 ( A B + B A ) + 1 2 ( A B − B A ) = 1 2 A B + 1 2 B A + 1 2 A B − 1 2 B A = 2 1 2 A B = A B .
Nun, da A Und B sind selbstadjungiert,
( A B + B A ) † = B † A † + A † B † = B A + A B = A B + B A ,
also dieser "Antikommutator", A B + B A , ist selbstadjungiert, wenn A Und B Sind.

Betrachten wir jedoch den Kommutator, A B − B A ,

( A B − B A ) † = B † A † − A † B † = B A − A B = − ( A B − B A ) ,
der Kommutator selbstadjungierter Operatoren A , B ist Anti-Selbst-Adoint.

Nun, der Grund, warum er sie „reell“ und „imaginär“ nannte, liegt darin, dass im Raum aller linearen Operatoren eines einheitlichen Vektorraums selbstadjungierte Operatoren analog zu reellen Zahlen innerhalb des komplexen Zahlenfeldes und antiselbstadjungierten Operatoren sind sind analog zu imaginären Zahlen.

2, und der Rest) Zunächst sollten wir beachten, dass wir Erwartungswerte in Bezug auf Quantenzustände nehmen. Wenn unser Teilchen im Zustand ist | ψ ⟩ , dann der Erwartungswert von A in Bezug auf den Staat | ψ ⟩ Ist ⟨ A ⟩ ψ = ⟨ ψ | A | ψ ⟩ , woraus ersichtlich ist, dass der Erwartungswert linear ist.

Nun dann,

⟨ A B ⟩ = ⟨ 1 2 ( A B + B A ) + 1 2 ( A B − B A ) ⟩ = 1 2 ⟨ A B + B A ⟩ + 1 2 ⟨ A B − B A ⟩ .

Wir sollten beachten, dass der Erwartungswert eines Operators mit seinen Eigenwerten zusammenhängt. Der Erwartungswert eines selbstadjungierten Operators ist reell, weil seine Eigenwerte reell sind, und der Erwartungswert eines antiselbstadjungierten Operators ist imaginär, weil die Eigenwerte imaginär sind. Auch wegen dem Kommutator [ A , B ] = A B − B A antiselbstadjungiert ist, gibt es einen selbstadjungierten Operator C , wofür [ A , B ] = ich C , seit ich C ist dann antiselbstadjungiert ( C ist selbstadjungiert, aber die ich Zeichen tauschen).

Beachten Sie nun, dass der von Ihnen zitierte Beitrag in dem Sinne falsch war, dass wir nicht das Quadrat des Erwartungswerts nehmen, sondern das Quadrat des absoluten Werts des Erwartungswerts.

Aber seit ⟨ A B − B A ⟩ = ⟨ [ A , B ] ⟩ = ⟨ ich C ⟩ = ich ⟨ C ⟩ , und dann nehmen wir das absolute Wertquadrat von ⟨ A B ⟩ :

| ⟨ A B ⟩ | 2 = 1 4 ⟨ A B + B A ⟩ 2 + 1 4 ⟨ C ⟩ 2 ,
aber dann
| ⟨ A B ⟩ | 2 ≥ 1 4 ⟨ C ⟩ 2 ,
und alles hier ist kleiner als ( Δ A ) 2 ( Δ B ) 2 , was bedeutet, dass
( Δ A ) ( Δ B ) ≥ 1 2 ⟨ C ⟩ ,
aber für X Und P , C = − ich [ X , P ] = − ich ich ℏ ICH = ℏ ICH , So 1 2 ⟨ C ⟩ = ℏ / 2 .

Beachten Sie, dass der von Ihnen verlinkte Beweis auf meinen ersten Blick etwas falsch ist oder einige implizite algebraische Manipulationen verwendet hat, die ich nicht trivial finde, aber die allgemeine Denkweise ist dieselbe.

Danke für diese ausführliche Antwort. Könnten Sie bitte eine eigenständige Referenz (so kurz wie möglich) bereitstellen, um sich mit der hier diskutierten Notation, Terminologie und Konzepten vertraut zu machen? Sehr dankbar für Ihre Hilfe.
@user249613 Ich habe QM aus den Vorlesungsunterlagen gelernt, die von dem Dozenten herausgegeben wurden, der den QM-Kurs für mich gehalten hat. Es ist frei verfügbar, aber nur auf Ungarisch, also bezweifle ich, dass es für Sie von Nutzen wäre. Der größte Teil dieses Vortrags basiert auf dem QM-Buch „Modern Quantum Mechanics“ von JJ Sakurai, das jedoch ein großartiges Buch ist. Ich kann auch das QM-Buch von Griffiths empfehlen, das ein sehr nettes Einführungsbuch ist (das von Sakurai ist fortgeschrittener), jedoch verwendet Griffiths die meiste Zeit Wellenfunktionen in der Funktionsnotation, im Gegensatz zu dem abstrakteren Ansatz der Zustandsvektor-Bracket-Notation.
Sehr dankbar für Ihre geduldigen Klarstellungen. Die Schlüsselannahme zur Ableitung der Unschärferelation scheint die Beziehung zwischen kanonisch konjugierten Operatoren zu sein; X Und P , [ X , P ] = ich ℏ . Ich habe unter diesem Link ( en.wikipedia.org/wiki/Canonical_commutation_relation ) gesehen, dass dies bedeutet, dass die beiden Operatoren Fourier-Transformationen voneinander sind. Könnten Sie bitte auf eine gute Quelle für mehr Intuition und detaillierte Schritte zu diesen kanonischen konjugierten Operatoren, ihren Fourier-Transformationen und warum sie diese Kommutatorbeziehung erfüllen müssen, hinweisen.
@Qmechanic Bitte beachten Sie, dass dies kein Duplikat ist. Diese Frage erwähnt ausdrücklich Teile des Beitrags, auf die Sie als denjenigen hinweisen, der die Antwort enthält, und sucht nach Erläuterungen.
Rigoroser mathematischer Beweis der Unschärferelation aus First Principles [Duplikat]
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