Freie Oberfläche des reibungsfreien Flüssigkeitsstroms

Question

Freie Oberfläche des reibungsfreien Flüssigkeitsstroms

N. Jungfrau

Das folgende Problem scheint eine definitive Lösung zu haben, aber ich habe monatelang darüber nachgedacht und bin nirgendwo hingekommen. Es ist vielleicht kein gut gestelltes Problem, aber wenn nicht, würde ich gerne verstehen, warum.

Eine inkompressible, nichtviskose Flüssigkeit mit hoher Dichte $\rho$ fließt kontinuierlich (in einem stationären Zustand), wie im folgenden Diagramm gezeigt:

Diagramm

Wir kennen die Höhe der Flüssigkeit (und damit ihren Druck) an bestimmten Punkten $x_1$ Und $x_2$ , aber wir kennen die Geschwindigkeit der Flüssigkeit oder ihre Höhe bei keinem anderen Wert für $x$ . Die Oberseite des Fluids ist eine freie Oberfläche, dh sie wird durch die Eigenschaften der Strömung bestimmt und nicht als Teil des Problems spezifiziert. Ich habe es leicht konkav gezeichnet, aber ich habe keine Ahnung, ob das richtig ist.

Nehmen wir an, dass das Geschwindigkeitsprofil bei $x_1$ ist vertikal (d. h. die Geschwindigkeit ändert sich nicht mit der Höhe über dem Punkt $x_1$ ). Da das Fluid reibungsfrei ist, scheint es mir, dass das konstante vertikale Geschwindigkeitsprofil beibehalten werden sollte, wenn sich das Fluid nach rechts bewegt. Wenn wir also eine vertikale Linie der Flüssigkeit mit einer bestimmten Farbe färben würden, würde sie eine vertikale Linie bleiben, wenn sie sich nach rechts bewegt, weil der Druckunterschied über die Linie mit der Tiefe konstant ist. Wenn dies richtig ist, bedeutet dies, dass wir uns die Geschwindigkeitskomponente in der vorstellen können $x$ -Richtung, $v_x$ , als Funktion von $x$ statt $x$ Und $y$ .

Da die Strömung inkompressibel ist, wissen wir das $h(x)v_x(x)$ muss über den Raum konstant sein, und dies ist der Wert, nach dem ich auflösen möchte (obwohl er möglicherweise keinen eindeutigen Wert hat - in diesem Fall möchte ich nur die Funktion kennen $h(x)$ ). Bei Bedarf können wir auch davon ausgehen, dass wir die Anfangs- und Endgeschwindigkeiten kennen, $v_x(x_1)=v_1$ Und $v_x(x_2)=v_2$ .

Es scheint, als ob die Gleichung von Bernoulli hier eine gewisse Relevanz haben sollte. Das wäre sicherlich der Fall, wenn die Flüssigkeit auf ein Rohr beschränkt wäre, anstatt eine freie Oberfläche zu haben. (In diesem Fall wäre der Druckunterschied unabhängig vom Höhenunterschied, also müssten wir das auch wissen.) Aber jedes Mal, wenn ich versuche, dieses Problem mit der Bernoulli-Gleichung zu lösen, komme ich in ein schreckliches Durcheinander. Ich bin mir wirklich nicht sicher, wie ich dieses Problem am besten angehen soll, daher wäre jeder Einblick, den jemand bieten kann, sehr willkommen.

genth

Ich bin mir ziemlich sicher, dass Ihre "vertikale Linie bleibt vertikal" nicht unbedingt wahr ist ...

Maxim Zholudev

Ich stimme @genneth zu. Die Bedingung

\frac{\partial v_{x}}{\partial y} = 0

$\frac{\partial v_x}{\partial y} = 0$ folgt nicht aus Nullviskosität. Dies könnte eine zusätzliche Annahme sein, da nicht genügend Daten vorliegen. Aber die IMO-Näherung des potentiellen Flusses ist eine bessere Annahme für diesen Fall.

N. Jungfrau

Ich habe die Frage bearbeitet, um deutlich zu machen, dass ich davon ausgehe, dass das anfängliche Geschwindigkeitsprofil vertikal ist - ich denke, Unviskosität sollte implizieren, dass dieses konstante vertikale Profil im gesamten Raum beibehalten werden sollte. Ich bin mir aber nicht 100% sicher - ich muss sehen, ob mir ein Argument einfällt, das das rechtfertigt.

yoBS

(1) Ich stimme in diesem Punkt mit den Kollegen über mir überein - Unviskosität impliziert nicht

\partial_{y} v_{x} = 0

$\partial_y v_x=0$ . (2) wenn bei

x_{1}

$x_1$ die Geschwindigkeit ist unabhängig von

y

$y$ , dann, weil es bei horizontal ist

y = 0

$y=0$ , es muss auch horizontal sein für

y = h (x_{1})

$y=h(x_1)$ , und damit es

\partial_{x} h (x_{1}) = 0

$\partial_x h(x_1)=0$ , und die Tangente an die freie Fläche wird auf der linken Seite horizontal sein. (3) Das Problem ist nicht definiert, wenn Sie nicht das vollständige Profil angeben

\vec{v} (y)

$\vec v(y)$ an beiden Rändern des Problems. (4) Das ist eine sehr schöne Frage! Ich setze ein Kopfgeld aus.

Antworten (1)

Freie Oberfläche des reibungsfreien Flüssigkeitsstroms

Ich bin mir ziemlich sicher, dass Ihre "vertikale Linie bleibt vertikal" nicht unbedingt wahr ist ...
Ich stimme @genneth zu. Die Bedingung $\frac{\partial v_x}{\partial y} = 0$ folgt nicht aus Nullviskosität. Dies könnte eine zusätzliche Annahme sein, da nicht genügend Daten vorliegen. Aber die IMO-Näherung des potentiellen Flusses ist eine bessere Annahme für diesen Fall.
Ich habe die Frage bearbeitet, um deutlich zu machen, dass ich davon ausgehe, dass das anfängliche Geschwindigkeitsprofil vertikal ist - ich denke, Unviskosität sollte implizieren, dass dieses konstante vertikale Profil im gesamten Raum beibehalten werden sollte. Ich bin mir aber nicht 100% sicher - ich muss sehen, ob mir ein Argument einfällt, das das rechtfertigt.
(1) Ich stimme in diesem Punkt mit den Kollegen über mir überein - Unviskosität impliziert nicht $\partial_y v_x=0$ . (2) wenn bei $x_1$ die Geschwindigkeit ist unabhängig von $y$ , dann, weil es bei horizontal ist $y=0$ , es muss auch horizontal sein für $y=h(x_1)$ , und damit es $\partial_x h(x_1)=0$ , und die Tangente an die freie Fläche wird auf der linken Seite horizontal sein. (3) Das Problem ist nicht definiert, wenn Sie nicht das vollständige Profil angeben $\vec v(y)$ an beiden Rändern des Problems. (4) Das ist eine sehr schöne Frage! Ich setze ein Kopfgeld aus.

Maxim Zholudev · Answer 1

Die Flüssigkeit ist inkompressibel und hat keine Quellen im Inneren. Dies bedeutet, dass die Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltungsgleichung) lautet

div \vec{v} = 0. (1)

$\text{div}\,\vec{v} = 0. \qquad (1)$ Jetzt folgen wir dem Standardverfahren und stellen dar

\vec{v}

$\vec{v}$ folgendermaßen:

\vec{v} = verrotten \vec{A} .

$\vec{v} = \text{rot}\,\vec{A}.$ Die Divergenz jeder Kräuselung ist Null, also wird Gleichung (1) von jedem glatten Vektorfeld erfüllt

\vec{A} (\vec{r})

$\vec{A}(\vec{r})$ .

Für 2-dimensionale Strömungen können wir annehmen

\vec{A} = (0, 0, ψ (X, j))

$\vec{A} = \Bigl(0, 0, \psi(x,y)\Bigr)$ so dass

v_{X} = \frac{\partial ψ}{\partial j}; v_{j} = - \frac{\partial ψ}{\partial X} . (2)

$v_x = \frac{\partial \psi}{\partial y}; \quad v_y = -\frac{\partial \psi}{\partial x}. \qquad (2)$

In der Strömungsdynamik $\psi(x,y)$ wird Stream-Funktion genannt , weil die Zeilen konstant sind $\psi$ sind die Stromlinien .

Wir haben zwei bekannte Stromlinien:

j = H (X)

$y = h(x)$ Und

j = 0.

$y = 0.$ Wählen wir die Stream-Funktion wie folgt aus:

ψ (X, j) = C \frac{j}{H (X)} . (3)

$\psi(x,y) = C\frac{y}{h(x)}. (3)$ Für die obere Stromlinie haben wir

ψ = C

$\psi=C$ und für die untere Zeile

ψ = 0

$\psi=0$ . Dies ist eine starke Annahme und der Hauptpunkt der Lösung. Die Auswahl von

ψ

$\psi$ ist hier nicht eindeutig. Formel (3) ist intuitiv, sie ergibt Stromlinien, die ähnlich sind wie

h (x)

$h(x)$ aber beim Annähern an den Boden gerader kommen.

Jetzt können wir (2) und (3) verwenden, um zu finden $\vec{v}$ :

\vec{v} (X, j) = (\frac{C}{H (X)}, C j \frac{H^{'} (X)}{H^{2} (X)}) (4)

$\vec{v}(x,y) = \left(\frac{C}{h(x)},\; Cy\frac{h'(x)}{h^2(x)}\right) \qquad (4)$ Wo

C

$C$ eine durch die Randbedingungen bestimmte Konstante ist.

Das Geschwindigkeitsfeld hängt von der unbekannten Funktion ab $h(x)$ .

Finden $h(x)$

Funktion $h(x)$ kann durch Anwendung der Bernoulli-Gleichung auf die obere Stromlinie gefunden werden. Bernoulli-Gleichung für inkompressible Flüssigkeiten ist

\frac{v^{2} (X, j (X))}{2} + \frac{P (X, j (X))}{ρ} + G j (X) = konst

$\frac{v^2\bigl(x, y(x)\bigr)}{2} + \frac{p\bigl(x, y(x)\bigr)}{\rho} + gy(x) = \text{const}$ Wo

y (x)

$y(x)$ ist die Stromlinie,

p (x, y)

$p(x,y)$ ist der Druck,

ρ

$\rho$ ist die Dichte der Flüssigkeit,

g

$g$ ist die Erdbeschleunigung.

Die obere Stromlinie $y(x)=h(x)$ steht im Gleichgewicht mit der atmosphärischen Luft. Das bedeutet, dass der Druck der Flüssigkeit gleich dem Atmosphärendruck ist:

P (X, j (X)) = P_{0} .

$p\bigl(x, y(x)\bigr) = p_0.$ So

\frac{v^{2} (X, H (X))}{2} + G H (X) = konst - \frac{P_{0}}{ρ} = D (5)

$\frac{v^2\bigl(x, h(x)\bigr)}{2} + gh(x) = \text{const} - \frac{p_0}{\rho} = D \qquad (5)$

Einsetzen von (4) in (5) ergibt die Differentialgleichung für $h(x)$ :

\frac{C^{2}}{2 H^{2}} (1 + H^{' 2}) + G H = D

$\frac{C^2}{2h^2}\left(1 + h'^2\right) + gh = D$ oder

\frac{D H}{D X} = \sqrt{\frac{2 H^{2}}{C^{2}} (D - G H) - 1}

$\frac{dh}{dx} = \sqrt{\frac{2h^2}{C^2}(D-gh) - 1}$

H (X_{1}) = H_{1}

$h(x_1) = h_1$ Dies kann numerisch gelöst werden, wenn wir es wissen

C

$C$ Und

D

$D$ .

Finden $C$ Und $D$

Die Parameter $C$ Und $D$ werden durch die Randbedingungen bestimmt. Wenn wir die Geschwindigkeit an dem Punkt kennen $(x_1, h_1)$ dann
aus (4):

C = H_{1} v_{X} (X_{1}, H_{1})

$C = h_1 v_x(x_1, h_1)$ und aus (5):

D = \frac{v^{2} (X_{1}, H_{1})}{2} + G H_{1}

$D = \frac{v^2(x_1, h_1)}{2} + gh_1$

Abschluss

Diese Lösung hat zwei Schwachstellen:

die intuitive Annahme (3);
die undefinierten Konstanten $C$ Und $D$ .

Einige Randbedingungen können (3) verletzen und/oder berechnen $C$ Und $D$ sehr schwierig.

Alternative

Es gibt eine andere Möglichkeit, die Stream-Funktion auszuwählen.

Wenn wir annehmen, dass die Strömung potentiell ist , hat das Geschwindigkeitsfeld die folgende Form:

\vec{v} = \nabla φ

$\vec{v} = \nabla \varphi$ Wo

φ (x, y)

$\varphi(x,y)$ ist das Potential des Geschwindigkeitsvektorfeldes.

Dann haben wir zusätzlich zu (2):

v_{X} = \frac{\partial φ}{\partial X}; v_{j} = \frac{\partial φ}{\partial j} . (6)

$v_x = \frac{\partial \varphi}{\partial x}; \quad v_y = \frac{\partial \varphi}{\partial y}. \qquad (6)$

Jetzt können wir das komplexe Potential der Strömung einführen:

W (X + ich j) = φ (X, j) + ich ψ (X, j)

$W(x+iy) = \varphi(x,y) + i \psi(x,y)$ Die Formeln (2) und (6) zusammen sind genau die Cauchy-Riemann-Bedingungen für die Funktion

W (z)

$W(z)$ . Das bedeutet, dass

W (z)

$W(z)$ beschreibt eine konforme Abbildung .

Wenn wir eine konforme Abbildung finden $W(z)$ Das verwandelt ein Rechteck in den blauen Bereich im Bild in der Frage für alle $h(x)$ , dann finden wir eine potentielle Strömung (Strömung ohne Vorticity), die das Problem löst. Einige Manipulationen sind noch erforderlich, um sie zu finden $h(x)$ .

Eigentlich jede $W(z)$ dreht sich immer 2-dimensionaler Potentialfluss mit

φ (X, j) = X

$\varphi(x,y) = x$

ψ (X, j) = j

$\psi(x,y) = y$ Und

\vec{v} = (v_{X}, 0)

$\vec{v} = (v_x, 0)$ in etwas Interessanteres umwandeln und trotzdem in die hydrodynamischen Gleichungen passen. Dies funktioniert nur für potentielle Strömungen, die nicht immer eine gute Näherung sind .

Finden von $W(z)$ in diesem Fall handelt es sich um ein mathematisches Problem, das vielleicht an anderer Stelle diskutiert werden sollte.

Großartig, vielen Dank - dies gibt mir viele allgemeine Einblicke in die Lösung dieser Art von Problem. Ich denke, die von Ihnen erwähnten Schwachstellen sind für meine Zwecke nicht allzu schlimm (und sicherlich trifft so etwas auf jede Lösung zu). Insbesondere denke ich, dass ich Recht habe, wenn ich sage, dass Ihre Wahl von $\psi$ ist die einzige, die meiner Annahme eines anfänglichen Geschwindigkeitsprofils gehorcht, das mit der Höhe konstant ist, also kann es so gerechtfertigt werden. Es scheint sicherlich die einzige Wahl zu sein, die sowieso ein konstantes Geschwindigkeitsprofil beibehält.
@Nathaniel, diese Lösung ist nicht die einzig mögliche. Ich habe dem Beitrag einige Bemerkungen zur Annäherung des Potentialflusses hinzugefügt. Die potentielle Strömung hat keine Vorticity und eine Linie, die anfänglich vertikal ist, wird in dem von uns betrachteten Fall nicht vertikal bleiben.

Freie Oberfläche des reibungsfreien Flüssigkeitsstroms

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genth

Maxim Zholudev

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yoBS

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Maxim Zholudev

Finden $h(x)$

Finden $C$ Und $D$

Abschluss

Alternative

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genth

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Maxim Zholudev

Findenh ( x ) H ( X ) h(x)

FindenC C CUndD D D

Abschluss

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Finden $h(x)$

Finden $C$ Und $D$