Winkelgeschwindigkeit eines Fluidelements

Wenn wir ein flüssiges Element haben, das ausgesetzt ist:

  • Übersetzung
  • Drehung
  • Dehnungsbelastung (Dilatation)
  • Scherbeanspruchung

Wie in diesem Bild ab Zeit T Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

es kann gezeigt werden, dass Winkel D a Und D β gleich ∂ v ∂ X D T Und ∂ u ∂ j D T Die meisten Lehrbücher, denen ich begegnet bin, definieren die Rotationsgeschwindigkeit (Winkelgeschwindigkeit) dieses Fluidelements als den Durchschnitt der Rotationsgeschwindigkeit der beiden Winkel (das Minuszeichen aufgrund der unterschiedlichen Rotationsrichtungen):

ω = 1 2 ( ∂ v ∂ X − ∂ u ∂ j )

Meine Frage betrifft die Genauigkeit dieser Definition, woher wissen wir, dass die Rotationsgeschwindigkeit des Fluidelements einfach die Geschwindigkeit des arithmetischen Mittels ist D a Und D β ? Was ist, wenn sich eine Seite mit sehr viel höherer Geschwindigkeit verformt als die andere?

Antworten (3)

Es ist wichtig zu beachten, dass diese Verschiebungen alle infinitesimal sind. Während die eine tausendmal so groß sein kann wie die andere, ist die Verschiebung während einer infinitesimalen Zeitscheibe immer noch infinitesimal. Wenn eine Verschiebung viel viel größer ist als die andere, dann ist diese Verschiebung effektiv eine halbe Drehung und eine halbe Verzerrung. Wenn Sie die Flüssigkeit zurückdrehen, würden sich die beiden Achsen gleichmäßig verschieben. Der Grund, warum es keinen quadratischen Term oder Sinus oder Cosinus gibt, ist, dass dies eine lineare Annäherung ist, die funktioniert, weil alle Verschiebungen infinitesimal sind.

Hier ist eine alternative Möglichkeit, die Vorticity in Beziehung zu setzen (bezeichnet als ω → ) und die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit, die meiner Meinung nach transparenter ist.

Betrachten Sie die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit um eine infinitesimale Radiusschleife herum l :

1 2 π l ∮ ∂ A u → l ⋅ D S →

Nach dem Satz von Stokes finden wir

1 2 π l ∮ ∂ A u → l ⋅ D S → = 1 2 π l 2 ∫ A ω → ⋅ D A →

Nehmen l → 0 , wir finden

1 2 π l ∮ ∂ A u → l ⋅ D S → → 1 2 ω → als l → 0.

Wir kommen also zu demselben Ergebnis, das Sie für das betrachtete Quadrat gefunden haben, aber in diesem Fall haben wir über einen kontinuierlichen Satz von Werten des Drehimpulses gemittelt, anstatt nur den Drehimpuls der beiden Linienelemente.

Beachten Sie, dass es die Vorticity ist, nicht der Drehimpuls, um die wir uns in der Strömungsmechanik kümmern (tatsächlich ist die Vorticity die Eigenschaft, die eine Flüssigkeit charakterisiert).

Ich hoffe das hilft. Fühlen Sie sich frei, Fragen zur Klarheit zu stellen.

In der Zeit D T Ihr Diagramm zeigt die infinitesimale Transformation M, die an der Box vorgenommen wurde (z. B. die Ecken der Box):

M = ICH + [ 0 D β D a 0 ]
= ICH + [ 0 1 2 ( D β + D a ) 1 2 ( D β + D a ) 0 ] + [ 0 1 2 ( D β − D a ) − 1 2 ( D β − D a ) 0 ]
Dies besagt, dass die Box quaderförmig gespannt wurde 1 2 ( D β + D a ) Radianten und gedreht um 1 2 ( D β − D a ) Radiant. Die Belastung und Drehung kann wie beschrieben gleichzeitig oder in beliebiger Reihenfolge erfolgen (weil die Winkel unendlich klein sind):
= ( ICH + [ 0 1 2 ( D β + D a ) 1 2 ( D β + D a ) 0 ] ) ( ICH + [ 0 1 2 ( D β − D a ) − 1 2 ( D β − D a ) 0 ] )
= ( ICH + [ 0 1 2 ( D β − D a ) − 1 2 ( D β − D a ) 0 ] ) ( ICH + [ 0 1 2 ( D β + D a ) 1 2 ( D β + D a ) 0 ] )
Da war die Drehung in einer Zeit erledigt D T Sekunden hat die Box eine Winkelgeschwindigkeit von 1 2 ( D β − D a ) Radiant pro Sekunde.

Winkelgeschwindigkeit eines Fluidelements
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