Das folgende funktionale Derivat gilt:
Frage: Was ist
Ich weiß, ich sollte bekommen
Es kann nicht sein, dass wir behandeln und als unabhängig, denn wenn ich die funktionale Ableitung bzgl. nehmen würde , müsste ich den Punkt verschieben nach was mir geben wird
dh die funktionale Ableitung ergibt die Euler-Lagrange-Gleichungen.
Wie nehme ich also die funktionale Ableitung einer Funktion zur Ableitung einer Funktion?
Entgegen Ihrer Behauptung gegen Ende Ihrer Frage behaupte ich, dass die Zeitableitung des Feldes als "unabhängiges" Argument der Lagrange-Funktion behandelt wird . Ich werde versuchen, Sie davon zu überzeugen, indem ich Ihnen zeige, wie diese Unabhängigkeit dazu führt, dass alles so funktioniert, wie Sie es sich vorstellen. Einige der wichtigsten Punkte befinden sich am Ende, also lesen Sie bitte ganz durch, bevor Sie der Skepsis erliegen.
Gehen wir der Einfachheit halber von vornherein davon aus, dass es sich um eine klassische Feldtheorie handelt . Lassen bezeichnen die Menge der zulässigen Felder in dieser Theorie. Das erste Feldargument bezeichnen wir mit und das zweite Argument mit , also schreiben wir wie gewöhnlich.
Ok, jetzt wenden wir uns dem Lagrange zu. Um dies richtig zu beschreiben, stellen Sie sich vor, Sie nehmen die Argument eines Feldes in unserer Theorie fixiert, dann ergibt dies eine reellwertige Funktion einer einzelnen, reellen Variablen . Nehme an, dass bezeichnet die Menge solcher Funktionen. Dann kann die Lagrange-Funktion als Funktion definiert werden . Mit anderen Worten, es nimmt zwei Funktionen auf, die abgebildet werden und gibt eine abbildende Funktion aus . Wir bezeichnen das erste Argument suggestiv mit und das zweite Argument suggestiv von , aber im Prinzip kann man werten auf welchen Feldern auch immer und die man zum Beispiel auswählt und schreibt . Ich behaupte, dass die Definitionen der relevanten funktionellen Derivate wie folgt sind:
Angenommen, wir haben eine Theorie, die durch eine Lagrange-Dichte beschrieben wird, die eine lokale Funktion des Felds und seiner ersten Ableitungen ist. Dann wird die Lagrange-Dichte als Funktion definiert , und weil wir davon ausgehen, dass wir die Werte des Feldes und seiner Ableitungen in die Argumente der Lagrange-Dichte einsetzen werden, kennzeichnen wir seine drei Argumente mit den Symbolen . Die Symbole und sollen andeutend darauf hinweisen, dass die Argumente der Lagrange-Dichte auf die Werte eines Feldes und seiner zeitlichen und räumlichen Ableitung ausgewertet werden sollen. Dies ist natürlich ein bisschen ein Notationsmissbrauch In der Regel ist als Symbol für das Feld eine Funktion reserviert , nicht für die Werte des Feldes. Aber solange wir diesen Notationsmissbrauch im Hinterkopf behalten, sollten wir uns nicht verwirren lassen. Dann haben wir
Diese Antwort kann als Ergänzung zur richtigen Antwort von Joshphysics angesehen werden, wobei möglicherweise etwas andere Dinge betont und etwas andere Wörter verwendet werden.
Vor der Definition von funktionalen/variativen Ableitungen im Lagrange-Formalismus ist es entscheidend, genau zu verstehen, welche Variablen unabhängig voneinander sind und welche nicht? Mit anderen Worten, welche Variablen können wir frei variieren und welche nicht?
Dies ist am einfachsten in Punktmechanik (PM) zu verstehen, siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag. Hier konzentrieren wir uns auf dimensionale Feldtheorie (FT) mit räumliche Dimensionen und eine zeitliche Dimension.
Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass es nur ein Feld gibt (das wir aus semantischen Gründen als Positionsfeld bezeichnen). Das Feld ist dann eine Funktion . Es gibt auch ein Geschwindigkeitsfeld .
I) Gegeben sei ein beliebiger, aber fester Zeitpunkt . Die (momentane) Lagrange-Funktion ist ein lokales Funktional
wo bezeichnet die räumliche (im Gegensatz zur zeitlichen) Ableitung. Hier für eine lokale FT endlich ist, und für eine relativistische FT. Die Lagrange-Dichte eine Funktion der in Gl. (1) aufgeführten Variablen ist.
Die (momentane) Lagrange-Funktion (1) ist ein Funktional sowohl der momentanen Position und die Momentangeschwindigkeit im Augenblick . Hier und sind unabhängige Variablen. Genauer gesagt handelt es sich um unabhängige (räumlich verteilte) Profile oder anders ausgedrückt um unabhängige Funktionen über dem -Platz. Die (momentane) Lagrange-Funktion (1) kann im Prinzip auch explizit davon abhängen . Beachten Sie, dass die (momentane) Lagrange-Funktion (1) nicht von der Vergangenheit abhängt noch die Zukunft .
Daher ist es sinnvoll, zeitgleiche funktionale Differentiationen als zu definieren
Und es ist sinnvoll, kanonisches Momentum als zu definieren
wo es implizit verstanden wird, dass die Position wird in der Geschwindigkeitsdifferenzierung (3) festgehalten. In dem Fall wird die feldtheoretische Impulsdefinition (3).
In dem Fall wird die feldtheoretische Impulsdefinition (3) einfach zu einer partiellen Ableitung
II) Lassen Sie uns abschließend über die Zeit integrieren . Das Aktionsfunktional lautet:
Hier die zeitliche Ableitung kommt auf die Funktion an .
Insbesondere ist es nicht sinnvoll, unabhängig bzgl. zu variieren. auf die Geschwindigkeit in der Aktion (6), während die Position fixiert bleibt.
Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.
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