Prinzip der stationären Wirkung und Euler-Lagrange-Gleichung

Question

Prinzip der stationären Wirkung und Euler-Lagrange-Gleichung

Aktion
Physik
klassische Mechanik
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip
funktionale Ableitungen

Matthew

Prinzip der stationären Aktion:

Bei einem mechanischen System existiert eine Aktion $S$ so dass es extremisiert wird, oder $\delta S=0$ , für die tatsächliche Bewegung des Systems.

$S = \int_{T_{1}}^{T_{2}} L (Q, \dot{Q}, T) D T$ $S = \int_{t_1}^{t_2}L(q, \dot{q}, t)dt$

Wo $L$ ist die Lagrange-Funktion des Systems.

Euler-Lagrange-Gleichung:
$\frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}}) = \frac{\partial L}{\partial Q}$ $\frac{d}{dt}\bigg(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\bigg) = \frac{\partial L}{\partial q}$

Mein Verständnis, dass das Extremum von S impliziert, dass die EL-Gleichung erfüllt ist.

Meine Frage: Funktioniert es auch anders? dh bei einem mechanischen System, ist anspruchsvoll $\delta S = 0$ für seine Aktion gleich anspruchsvoll $\frac{d}{dt}\big(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big) = \frac{\partial L}{\partial q}$ für seine Lagrange?

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/907/2451 , Physics.stackexchange.com /q/69077/2451 , Physics.StackExchange.com /q/122486/2451 , Physics.StackExchange.com /q/209344/2451 und Links darin.

drvrm

Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind nur eine notwendige Bedingung dafür, dass die Aktion ein Extremum ist – keine hinreichende Bedingung – Für andere hinreichende Bedingungen siehe Gelfand & Fomin 2000. Kapitel 5: siehe Gelfand & Fomin (2000) Silverman, Richard A., Hrsg. Variationsrechnung (Unabridged repr. ed.). Mineola, New York: Dover-Veröffentlichungen. P. 3. ISBN 978-0486414485.“ Die zweite Variation. Kapitel 6: „Felder. Hinreichende Bedingungen für ein starkes Extremum“. Hinreichende Bedingungen für ein starkes Minimum sind durch den Satz auf S. 148 gegeben.

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Prinzip der stationären Wirkung und Euler-Lagrange-Gleichung

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Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind nur eine notwendige Bedingung dafür, dass die Aktion ein Extremum ist – keine hinreichende Bedingung – Für andere hinreichende Bedingungen siehe Gelfand & Fomin 2000. Kapitel 5: siehe Gelfand & Fomin (2000) Silverman, Richard A., Hrsg. Variationsrechnung (Unabridged repr. ed.). Mineola, New York: Dover-Veröffentlichungen. P. 3. ISBN 978-0486414485.“ Die zweite Variation. Kapitel 6: „Felder. Hinreichende Bedingungen für ein starkes Extremum“. Hinreichende Bedingungen für ein starkes Minimum sind durch den Satz auf S. 148 gegeben.

AccidentalFourierTransform · Answer 1

Die funktionale Ableitung einer Funktion $S[q]$ in Bezug auf die Funktion $q(t)$ ist definiert als

\frac{δ S [Q]}{δ Q (T)} \equiv lim_{a \to 0} \frac{S [Q + a δ_{T}] - S [Q]}{a}

$\frac{\delta S[q]}{\delta q(t)}\equiv \lim_{\alpha\to 0}\frac{S[q+\alpha\delta_t]-S[q]}{\alpha}$ Wo

δ_{t}

$\delta_t$ ist die Dirac-Delta-Funktion, bei der zentriert ist

t

$t$ .

Ihr Professor / Buch hat wahrscheinlich bewiesen, dass die funktionale Ableitung mit der Euler-Lagrange-Ableitung übereinstimmt.

\frac{δ S [Q]}{δ Q (T)} = \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}}) - \frac{\partial L}{\partial Q}

$\frac{\delta S[q]}{\delta q(t)}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}$ was bedeutet

δ S = 0

$\delta S=0$ wenn EL erfüllt ist. Das bedeutet: Da die funktionale Ableitung gleich der EL-Ableitung ist, sind beide Null oder keine.

Prinzip der stationären Wirkung und Euler-Lagrange-Gleichung

Matthew

QMechaniker

drvrm

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AccidentalFourierTransform

Matthew

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