Die Frage ist im Wesentlichen: Wie können die Zustände auf einem Quantenpunkt gebunden werden, wenn wir auf sie tunneln können? Wenn ebene Wellenzustände auf sie tunneln können, haben diese ebenen Wellenzustände und die "gebundenen" Zustände die gleiche Energie. So könnten wir einen Zustand finden, der ebene Wellen auf beiden Seiten des Punktes enthält, und den "gebundenen" Zustand. Dies insgesamt wird also kein gebundener Zustand sein. Wie können wir also von einer ganzzahligen Anzahl von Elektronen auf dem Punkt sprechen?
Stellen Sie sich zwei Fermi-Flüssigkeitsreservoirs auf beiden Seiten eines Quantenpunkts vor. Wenn man das Argument der Coulomb-Blockade anführt, sagt man einfach, dass, wenn sich bereits N Elektronen auf dem Punkt befinden, die , Elektronenbedarf mehr Energie hinzugefügt werden als die Elektron tat. Oder besser gesagt, dies ist der Betrag, um den das chemische Potential des Punktes einmal springt Elektron hinzugefügt wird. ist eine gewisse Kapazität, und dieser Begriff bezieht sich einfach auf die elektrostatische Energie der eingeschlossenen Elektronen auf dem Punkt. ist die Energie der Energielevel. Es kann gleich sein je nach Spinentartung und ob ungerade oder gerade ist. Wenn wir dann eine Gate-Spannung verwenden, um die Energieniveaus des Punkts effektiv zu senken, wird sich das neue chemische Potential des Punkts schließlich mit dem chemischen Potential der Reservoirs ausrichten, und wenn eine kleine Vorspannung angelegt wird, können Elektronen zwischen den führenden Reservoirs hin- und herspringen zu einem Strom.
Lassen Sie uns jedoch einen Schritt zurücktreten und einen einfachen Tunneltransport betrachten. Stellen Sie sich ein 1d-System vor, bei dem wir links und rechts von einer generischen Barriere freien Raum haben. Ein Ansatz besteht darin, einfach die Schrödinger-Gleichung zu lösen. Hier finden wir Eigenzustände und wenn dies geschehen ist, können wir, wenn diese Zustände keine gebundenen Zustände sind, direkt Transmissions- und Reflexionskoeffizienten ablesen. Alle Zustände, die ein reflektiertes und übertragenes einfallendes Elektron darstellen, sind es nichtgebundene Zustände. Außerdem haben alle gebundenen Zustände Energien, die kleiner sind als die der nicht gebundenen Zustände. Dies ist offensichtlich, da der Wellenvektor eines gebundenen Zustands im freien Raum auf beiden Seiten der Barriere imaginär sein muss, sodass seine Energie geringer ist als die der nicht gebundenen Zustände, für die dies nicht gilt. Die gebundenen Zustände sind also nicht an der Übertragung eines Elektrons beteiligt. Es ist sinnvoll, eine einfallende, ebene Welle zu betrachten, bei der ein Elektron in einen dieser gebundenen Zustände tunnelt; die beiden Zustände haben unterschiedliche Energien.
Allerdings scheint dies genau das zu sein, was wir mit dem Quantenpunkt tun. Es scheint, dass wir das Tunneln in Quantenpunkt-gebundene Zustände diskutieren . Aber diese Zustände können nicht gebunden werden, da in den Reservoirs, die in sie tunneln, ebene Wellen existieren, die daher dieselbe Energie haben müssen.
Meine Frage ist folgende: Wie können die Zustände auf dem Punkt gebunden werden, wenn wir auf sie tunneln können. Denn dann haben die Zustände in den Reservoirs die gleiche Energie wie ebene Wellen und wir würden ungebundene Zustände bilden. Und wie können wir von einer ganzzahligen Anzahl von Elektronen auf einem Punkt sprechen, wenn diese Zustände nicht gebunden sind?
Wir haben die Tatsache nicht berücksichtigt, dass es elektrostatische Energie gibt. Aber ich verstehe immer noch nicht ganz, wie uns das helfen kann. Wir verschieben einfach die Energieniveaus aufgrund dieser Energie nach oben und dennoch werden unsere Zustände auf den Punkt nicht gebunden sein, wenn wir auf sie tunneln können.
Lassen Sie mich zunächst anmerken, dass wir hier über eine bestimmte Art von Quantenpunkten sprechen – diejenigen, die durch Split-Gate-Technik erhalten werden, deren Hauptinteresse darin besteht, Strom durch sie zu leiten. Es gibt viele andere Arten von Quantenpunkten, die für andere Arten ihrer Eigenschaften interessant sind (z. B. die optischen), bei denen die in der Frage beschriebenen Probleme nicht relevant sind.
Schwache Kopplung
Tatsächlich sind Quantenpunktzustände nicht streng gebunden, da sie mit den Kontinuumszuständen außerhalb des Punktes gekoppelt sind. Die Tunnelwahrscheinlichkeit ist jedoch normalerweise klein, was bedeutet, dass die Tunnelwahrscheinlichkeit durch den Punkt die Form schmaler Resonanzen annimmt. Das Problem ist dem des resonanten Tunnelns durch ein Barrierenpaar nicht unähnlich, das in der grundlegenden Quantenmechanik betrachtet wird. Diese Annahme einer schwachen Kopplung um den Punkt und die Zuleitungen ist immer implizit in den relevanten wissenschaftlichen Arbeiten enthalten.
Fermi-Niveau
Wenn wir nun ein eindimensionales Problem des resonanten Tunnelns durch eine doppelte Barriere betrachten, wird die Übertragungswahrscheinlichkeit Resonanzen bei Energien haben, die ungefähr denen der Energien des Punktes entsprechen, wenn er wirklich durch unendliche Barrieren von den Zuleitungen isoliert wäre ( im Moment berücksichtige ich die Coulomb-Wechselwirkung nicht). Offensichtlich können die Wellen sowohl von links als auch von rechts einfallen, und wenn wir die Zustände bis zum Fermi-Niveau auffüllen, treten die nach rechts und nach links bewegten Zustände paarweise auf, sodass der Nettostrom null ist. Die einzigen Zustände, die den Stromfluss berücksichtigen, sind diejenigen nahe der Fermi-Oberfläche, wenn die Fermi-Niveaus unterschiedlich sind (ihr Unterschied ist die angelegte Vorspannung).
Transfer-Hamilton-Operator
Die Verwendung der wahren erweiterten Zustände, wie beim Problem der Streuung durch eine Doppelbarriere, ist eher unpraktisch, weshalb man oft auf den sogenannten Transfer-Hamilton-Operator zurückgreift , bei dem man das System in gekoppelte Bereiche (Punkt und Ableitungen) aufteilt über schwaches Tunneln. Dies ähnelt in gewisser Weise dem fest bindenden Ansatz zur Kristallstruktur. Der Transfer-Hamilton-Operator ist nicht exakt, und es gibt einige mathematische Probleme bei seiner Verwendung, aber meistens ist er eine gute Annäherung.
Coulomb-Wechselwirkung
Das Einbeziehen der Coulomb-Wechselwirkung in den Punkt, aber nicht in die Zuleitungen, ist auch durch die schwache Kopplung gerechtfertigt, wie ich oben beschrieben habe. Doch damit nicht genug: Die Leads sind tatsächlich zwei- oder sogar dreidimensionale Fermi-Meere. Die Coulomb-Wechselwirkung ist in den Zuleitungen vorhanden, kann aber in effektiven Parametern absorbiert werden, da die Landau-Fermi-Flüssigkeitstheorie gilt. Wenn die Leitungen wirklich eindimensionale Drähte sind, verhalten sie sich wie eine Luttinger-Flüssigkeit – die Coulomb-Wechselwirkung ist wesentlich.
Wie können die Zustände auf dem Punkt gebunden werden, wenn wir auf sie tunneln können?
Genau genommen haben Sie recht damit, dass Quantenpunkte keine gebundenen Zustände haben; sie haben quasigebundene Zustände. Dies bedeutet, dass die Barrieren, die den Punkt von allem anderen trennen, "groß" genug sind, dass die Tunnelrate niedrig ist (dh die Lebensdauer der quasi-gebundenen Zustände hoch ist), und es nützlich ist, das System so zu analysieren, als ob es gebundene Zustände hätte.
Und wie können wir von einer ganzzahligen Anzahl von Elektronen auf einem Punkt sprechen, wenn diese Zustände nicht gebunden sind?
Dies ist im Grunde die gleiche Frage wie "Wie können wir über eine Anzahl von U-235-Atomen sprechen, wenn sie instabil sind?" Sie können, denn obwohl U-235 instabil ist, ist es metastabil. Gebunden/stabil und quasi-gebunden/metastabil sind im Grunde dasselbe.
Dies ist nicht nur ein Handwinken; Sie können es ziemlich streng machen. Sie können den Hamiltonoperator des gesamten Systems aus Punkt und Außenwelt schreiben als den Hamiltonoperator des Punkts (als ob er isoliert wäre) plus den Hamiltonoperator der Außenwelt plus einen Term, der sie miteinander verbindet. Dann kannst du zum Beispiel den Erwartungswert für die Anzahl der Elektronen auf dem Punkt finden. Sie werden feststellen, dass Sie den Punkt für die meisten Zwecke getrennt von der Außenwelt behandeln können, solange die Kopplungsterme schwach sind. Also machen sich die Leute im Allgemeinen nicht die Mühe, weil es die einfache Analyse nicht verbessert.