Wie lautet die Herleitung der Formel für die Übertragungswahrscheinlichkeit durch eine Barriere?

Die angegebene Formel ist ein bisschen unbekümmert, aber sie versuchen nicht, die genaue Form festzulegen, sondern nur eine Vorstellung von der funktionalen Abhängigkeit des Verhaltens zu bekommen. Beachten Sie auch, dass sie zunächst nicht die genaue Form der Barriere bereitstellen, also ist es wahrscheinlich auch das Beste, was sie tun können. All dies ist in Ordnung, und deshalb liefern sie ein so vereinfachtes Ergebnis.

Das heißt, hier ist, wie man es bekommt: Nehmen Sie zunächst an, dass sich das Elektron als ebene Welle ausbreitet (wie es im freien Raum der Fall wäre):$\Psi(x) \propto e^{i k x / \hbar}$. Nehmen Sie an, dass sich innerhalb der Barriere auch das Elektron nach dieser Formel ausbreitet. Nehmen Sie dann an, dass die "Barrierenhöhe" der positive Wert ist$q\phi =$(potentielle Energie innerhalb der Barriere)$-$(Energie des Elektrons) ; dies ist gleich der Ladung$q$mal ein Potential$\phi$weil die Barriere elektrostatisch ist. Der effektive Impuls des Elektrons in der Barriere ist gegeben durch

$$\frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} = -q \phi \Rightarrow k = \sqrt{ \frac{ -2m^*q\phi }{\hbar^2}} = i \sqrt{\frac{2m^*q\phi}{\hbar^2}}$$ Setzt man dies in den Ausdruck für die Wellenfunktion einer ebenen Welle ein, wird der Exponent reell und negativ, sodass die Wellenfunktion exponentiell abfällt. $$\Psi(x) \propto e^{-\sqrt{\frac{2m^* |q\phi|}{\hbar^2}}x}$$ Vermietung $x$be the barrier width nimmt wirklich dieses Verhältnis an, wobei ich die nahe Kante der Barriere auf Position 0 lasse: $$\frac{\Psi(d)}{\Psi(0)} \propto \frac{e^{-\sqrt{\frac{2m^* |q\phi|}{\hbar^2}}d}}{e^{-\sqrt{\frac{2m^* |q\phi|}{\hbar^2}}0}} = e^{-\sqrt{\frac{2m^* |q\phi|}{\hbar^2}}d}$$ Nun stellt sich die Frage, wie man das normalisieren kann. Die Vorstellung von "der Wahrscheinlichkeit, sich in einem bestimmten Zustand an einem bestimmten Ort zu befinden" macht für einen Strom keinen wirklichen Sinn, also normalisieren wir gemäß dem Wahrscheinlichkeitsstrom $J$der Elektronen (was, multipliziert mit ihrer Ladung, gerade den elektrischen Strom ergibt). Lassen $J_I$sei der einfallende Strom und $J_T$der übertragene Strom sein. Dann $$\frac{J_T}{J_I} = \left ( \frac{\Psi(d)}{\Psi(0)} \right )^2 \propto e^{-2\sqrt{\frac{2m^* |q\phi|}{\hbar^2}}d}$$ (Das Quadrat liegt daran, dass die Amplitude der Wellenfunktion proportional zur Quadratwurzel der Wahrscheinlichkeit und nicht zur Wahrscheinlichkeit selbst ist.) Natürlich der Bruch $J_T/J_I$ist die Anzahl der übertragenen Elektronen über der Anzahl der einfallenden Elektronen, dh die Übertragungswahrscheinlichkeit $T$. Deshalb $$T \propto e^{-2\sqrt{\frac{2m^* |q\phi|}{\hbar^2}}d}$$ QED