Geht die angehängte Masse im Federparadoxon nach oben oder nach unten?

Zusammenfassung

Wir wissen nicht, ob das hängende Gewicht einen Moment lang nach unten gehen wird oder nicht

Sie hängt von der Masse und Federkonstante der unteren Feder und der Masse des hängenden Gewichts ab.

Logik

Wir schneiden das Seil. Auf das Gewicht wirkt die Gravitationskraft. Die Federn beginnen sich schnell zusammenzuziehen und ziehen sich zusammen, bis die Saiten gespannt sind. (John Hunters Antwort geht davon aus, dass die Masse absinken muss, um die Saiten straff zu machen, aber die zusammenziehenden Federn machen den größten Teil der Bewegung, um die Saiten zu straffen).

Angenommen, die Saiten haben keine Masse.

Nach dem Schneiden, aber vor straffen Saiten, ist die [untere Feder / das hängende Gewicht] ein freies System, das nicht durch die obere Feder oder schwerelose, nicht gespannte Saiten beeinflusst wird. Betrachten wir dieses System während dieser Zeit:

Auf das System als Ganzes wirkt nur die Schwerkraft ein, so dass es, wie von Alephzero erwähnt, herunterfällt - sein Massenschwerpunkt wird mit F / M = g, der Erdbeschleunigung, nach unten beschleunigt, wobei M = m_spr + m_hw (Feder und hängendes Gewicht ).

Außerdem zieht sich die Feder (die Masse hat) zusammen. Wie Alephzero sagte, wenn das hängende Gewicht eine viel viel höhere Masse als die untere Feder hat, sinkt die Masse, wenn dieses System fällt (bis die Saiten straff sind).

Was aber, wenn die Feder keine Masse hat, die im Vergleich zum hängenden Gewicht vernachlässigbar ist? Es gibt Fälle, in denen die Federkonstante und/oder die Federmasse hoch genug sind, dass die Masse niemals (auch nicht sofort) eine nach unten gerichtete Geschwindigkeitsbeschleunigung aufweist. Die Feder zieht sich mit einer ausreichenden Trägheitskraft zusammen, sodass ihre Momentankraft auf das Gewicht größer als m_hw g ist.

Um sicherzugehen, dass es solche Fälle gibt, nehmen Sie einen Extremfall, in dem die Masse des hängenden Gewichts im Vergleich zur Masse der Feder vernachlässigbar ist und die Federkonstante hoch ist. Die Feder beginnt unter ihrem eigenen Gewicht zu fallen, während sie sich schnell um ihre Mitte zusammenzieht und ihr unteres Ende nach oben geht (daher das hängende Gewicht).

Betrachten Sie die untere Feder und die Masse als ein einziges System.

Wenn die blaue Schnur durchtrennt wird, wirkt eine äußere Nettokraft auf die untere Feder + Masse, die ihrem Gewicht entspricht. Daher beginnt sich der Schwerpunkt der unteren Feder + Masse mit der Beschleunigung nach unten zu bewegen$g$.

Allerdings gibt es auch die inneren Kräfte in der Feder, die nicht mehr durch die Kraft der blauen Saite ausgeglichen werden.

Unter der Annahme, dass die Masse der Feder im Vergleich zum Gewicht gering ist, führt dies dazu, dass sich die Oberseite der Feder mit einer viel größeren Beschleunigung nach unten bewegt als$g$, und die Masse nach unten mit einer Beschleunigung etwas kleiner als zu bewegen$g$.

In ähnlicher Weise bewegt sich die Unterseite der oberen Feder nach oben, mit einer viel größeren Beschleunigung als$g$.

Wenn die grünen und/oder roten Saiten gespannt werden, ändert sich die Situation aufgrund der Spannung in diesen Saiten.

In dem Experiment, in dem die blaue Schnur durchgeschnitten wird, geschieht dies alles so schnell, dass Sie die kleine Bewegung des Gewichts nach unten nicht sehen können , bevor es beginnt, sich nach oben zu bewegen. Ein Hochgeschwindigkeitsvideo würde es zeigen, wenn auch eine feste vertikale Skala sichtbar wäre, um die Position des Gewichts genau zu messen.

Das ist eine gute Frage.

Die Antwort scheint zu sein, was zwischen 55 und 56 Sekunden auf dem Video passiert.

Bei 55 Sekunden zeigt es die rote Schnur wie das linke Bild unten.

Aber überraschenderweise ist die Schnur nur etwa 0,5 cm länger als das rechte Bild - Sie können dies testen, indem Sie ein etwa 30 cm langes Stück Schnur verwenden.

Das Gewicht fällt also, aber nur um etwa 0,5 cm, bis die Saite straff wird und das Gewicht wieder nach oben springt.

Das Video zeigt es nicht (es scheint nur möglich zu sein, es in 1-Sekunden-Intervallen zu stoppen), aber wie lange würde es dauern?

Verwendung der Bewegungsgleichung

Wenn die blaue Schnur durchtrennt wird, passieren mehrere Dinge sehr schnell. In dem Moment, in dem die blaue Schnur durchtrennt wird, werden die beiden in Reihe geschalteten Federn entlastet und ziehen sich schnell zusammen, bis die roten und grünen Schnüre straff werden. An diesem Punkt werden die Federn wieder belastet und ihre Kontraktionsrate würde sich je nach Gewicht auf komplizierte Weise ändern.

Während sich die Federn zusammenziehen und bevor die roten und blauen Schnüre straff werden, fällt das Gewicht frei, bewegt sich also unter der Erdbeschleunigung nach unten. Wenn die roten und blauen Schnüre straff werden, „fangen“ die Federn das fallende Gewicht auf. Da das Zeitintervall für diesen Fang so kurz ist, hat das Gewicht eine sehr geringe Abwärtsgeschwindigkeit, und diese Geschwindigkeit muss immer noch gestoppt und umgekehrt werden, um das Gewicht nach oben zu ziehen. Da das Gewicht Trägheit hat, bedeutet dies, dass die Aufwärtskontraktion der Federn für einen Moment um einen sehr kleinen Betrag umgekehrt wird. Nach diesem Moment ziehen sich die beiden Federn weiter nach oben mit einer Geschwindigkeit zusammen, die etwas langsamer ist, als wenn das Gewicht im freien Fall war.

Beachten Sie, dass Hochgeschwindigkeitsvideos (z. B. 100.000 Bilder pro Sekunde) erforderlich wären, um diese Änderungen in den Kabeln, Federn und dem Gewicht zu beobachten, sodass diese Änderungen in dem veröffentlichten Video nicht beobachtbar sind.

Dies ist eine ausgezeichnete Frage, und ihre wirkliche Antwort dreht sich alles darum, wie sich die Federn zusammenziehen.

Um diese Frage zu beantworten, können wir uns die Federn tatsächlich nicht idealisierend vorstellen, wir müssen bedenken, dass die Federn ausgedehnte Körper mit Masse und Spannung sind . Wenn also das blaue Seil durchtrennt wird, erfolgt die Entspannung der Federn in Form einer Entspannungsstoßwelle, die Zeit braucht, um von einem Ende der Feder zum anderen zu wandern. Diese Entspannungsstoßwelle hat die Eigenschaft, dass die vor ihr liegenden Federwindungen perfekt gespannt bleiben, bis sie von der Stoßfront erreicht werden. Für diese Teile der Feder ist es, als ob das Seil überhaupt nicht geschnitten worden wäre. Wenn die Stoßdämpferfront eine Federwindung passiert, entspannt sie sich vollständig und wandelt ihre Spannungsenergie in kinetische Energie um. Sobald es vollständig entspannt ist, bewegt es sich zusammen mit dem Rest der bereits entspannten Federwindungen mit konstanter Geschwindigkeit. Der Ablauf sieht ungefähr so ​​aus:

\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/ fully extended, no movement
\/\/\/\/\/\/\/\/\/V
\/\/\/\/\/\/\/\/VV   relaxation shock wave traveling left
\/\/\/\/\/\/\/VVV
\/\/\/\/\/\/VVVV
\/\/\/\/\/VVVVV
\/\/\/\/VVVVVV
\/\/\/VVVVVVV
\/\/VVVVVVVV
\/VVVVVVVVV
VVVVVVVVVV          fully relaxed, moving left
NVVVVVVVV
NNVVVVVV            compression shock wave traveling right
NNNVVVV
NNNNVV
NNNNN               fully compressed, not moving

Die Schlüsselerkenntnis ist, dass, während sich die Federn entspannen und kürzer werden, das andere Ende der Federn die Entspannungswelle, die sich nähert, völlig ignoriert . Die Folge ist, dass die langen Seile gespannt werden, bevor das Gewicht am anderen Ende der unteren Feder merkt, was los ist .

Mit diesen Erkenntnissen können wir nun vollständig beschreiben, was passieren wird:

1. Wenn das Seil durchtrennt wird, bleibt das Gewicht unter der unteren Feder hängen.

2. Wenn sich die Entspannungsstoßwelle die obere Feder hinaufbewegt, wird das rote Seil gespannt. Die zusätzliche Kraft entlang des roten Seils bewirkt, dass das Gewicht nach oben beschleunigt wird.

3. Die plötzlich einsetzende Kraft von den roten und grünen Seilen bewirkt, dass eine zweite Schockwelle beginnt, sich über die Federn zu bewegen. Diesmal stoppt die Stoßwelle die Bewegung der Federn und wandelt ihre kinetische Energie wieder in Spannung um.

4. An jeder Feder bewegt sich eine Welle eines entspannten Teils zu den äußeren Enden, beide Seile werden mit genügend Spannung gespannt, um das Gewicht von selbst zu halten, und das Gewicht beschleunigt nach oben$1g$.

5. Die Entspannungsstoßwellen treffen auf die Enden der Federn und werden von diesen reflektiert und werden dabei zu Kompressionsstoßwellen.

6. Während die Druckstoßwelle die untere Feder nach oben bewegt und die nachfolgende Zugwelle ihr unteres Ende noch nicht erreicht hat, drückt die untere Feder das Gewicht nach unten. Dadurch wird die Kraft des roten Seils aufgehoben und das Gewicht in den freien Fall versetzt.

7. Die schnell folgende Spannungsstoßwelle stellt die Kraft auf das Gewicht wieder her, sodass es seine Beschleunigung nach oben fortsetzen kann.

8. Wenn die Wellen die Federn auf und ab wandern, werden sie weniger scharf und leiten ihre überschüssige Energie ab, wodurch die Federn sanfter gespannt werden. Gleichzeitig schwingt das Gewicht um seine Endlage.

9. Alle diese Schwingungen vernichten ihre verbleibende Energie und klingen ab, bis das System in sein neues Gleichgewicht eintritt.

TL;DR:
Durch die Verzögerung des Signals über den durchtrennten Draht entlang der unteren Feder bekommt das Gewicht zuerst das Signal des gespannten roten Seils und beginnt seine Bewegung mit Beschleunigung nach oben.

Im Video zeigt er, was passiert, wenn er das blaue Seil langsam loslässt. Sie können sehen, dass die Federn immer noch in Reihe sind und das Gewicht sinkt, bis die roten und grünen Schnüre straff werden.