Gekoppelte ODEs, die einen Quad-Rotor modellieren

Question

Gekoppelte ODEs, die einen Quad-Rotor modellieren

Physik
Vibrationen
klassische Mechanik
gekoppelte Oszillatoren
Newtonsche Mechanik

verstauben

Ich arbeite daran, die Vibrationen eines Quad-Rotors zu modellieren. Die Arme, die die Rotoren tragen, sind an einer Mittelplatte befestigt; das heißt, es ist so ziemlich ein freitragender Träger mit einer Endlast. Da dies der Fall ist, $m_{eq} = m_{arm} + \frac{m_{motor}}{3}$ Und $k_{eq} = \frac{3EI}{\ell^3}$ Wo $E$ ist der Elastizitätsmodul und $I$ ist das Trägheitsmoment des Balkens, $I = \frac{bh^3}{12}$ . Die Motoren haben 880 U/min/Kv und die Masse des gesamten Systems ist angegeben $m_t$ .

\begin{aligned} M_{e Q} {\ddot{X}}_{1} + k_{e Q} X_{1} + C {\dot{X}}_{1} & = F_{1} (T) \\ M_{e Q} {\ddot{X}}_{2} + k_{e Q} X_{2} + C {\dot{X}}_{2} & = F_{2} (T) \\ M_{e Q} {\ddot{X}}_{3} + k_{e Q} X_{3} + C {\dot{X}}_{3} & = F_{3} (T) \\ M_{e Q} {\ddot{X}}_{4} + k_{e Q} X_{4} + C {\dot{X}}_{4} & = F_{4} (T) \end{aligned}

$\begin{align} m_{eq}\ddot{x}_1 + k_{eq}x_1 + c\dot{x}_1 &= F_1(t)\\ m_{eq}\ddot{x}_2 + k_{eq}x_2 + c\dot{x}_2 &= F_2(t)\\ m_{eq}\ddot{x}_3 + k_{eq}x_3 + c\dot{x}_3 &= F_3(t)\\ m_{eq}\ddot{x}_4 + k_{eq}x_4 + c\dot{x}_4 &= F_4(t) \end{align}$ Die obigen Gleichungen sind die Bewegungsgleichungen für die vier Arme und Rotoren. Meine Absicht ist es, eine Dämpfungskonstante zu bestimmen, die den größten Teil der Dämpfung auflöst, damit ein Video ohne Wackelpudding-Effekt aufgenommen werden kann.

Was wäre der EOM für das gesamte System? $M_{T} {\ddot{X}}_{5} = ???$ $m_t\ddot{x}_5 = \mbox{???}$
Lässt sich für den gegebenen Motor eine theoretische Antriebsfunktion ermitteln?
Wie würde ich vorgehen, um die Dämpfungskonstanten zu bestimmen? Wären sie für jeden Arm gleich?

Benötigen Sie eine Sehhilfe, sieht diese etwa so aus:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Bearbeiten:

Ich betrachte die Arme als Kragträger und $z$ wird als Verschiebung des mit den Armen verbundenen Körpers verwendet.

\begin{aligned} M_{e Q} {\ddot{j}}_{1} & = k_{e Q} (z - j_{1}) + C (\dot{z} - {\dot{j}}_{1}) - M_{e Q} j_{1} + F_{1} (T) \\ M_{e Q} {\ddot{j}}_{2} & = k_{e Q} (z - j_{2}) + C (\dot{z} - {\dot{j}}_{2}) - M_{e Q} j_{2} + F_{2} (T) \\ M_{e Q} {\ddot{j}}_{3} & = k_{e Q} (z - j_{3}) + C (\dot{z} - {\dot{j}}_{3}) - M_{e Q} j_{3} + F_{3} (T) \\ M_{e Q} {\ddot{j}}_{4} & = k_{e Q} (z - j_{4}) + C (\dot{z} - {\dot{j}}_{4}) - M_{e Q} j_{4} + F_{4} (T) \\ M_{B} \ddot{z} & = \sum_{ich} [F_{ich} (T) + k_{e Q} (j_{ich} - z) + C ({\dot{j}}_{ich} - \dot{z})] - M_{B} z \\ (Quadrotorverschiebung) & M_{T} {\ddot{j}}_{5} & = \sum_{ich} F_{ich} (T) \\ (Einschränkungsgleichung) & C Ö M & = \frac{M_{B} z + \sum_{ich} M_{e Q} j_{ich}}{M_{T}} \end{aligned}

$\begin{align} m_{eq}\ddot{y}_1 &= k_{eq}(z - y_1) + c(\dot{z} - \dot{y}_1) - m_{eq}y_1 + F_1(t)\\ m_{eq}\ddot{y}_2 &= k_{eq}(z - y_2) + c(\dot{z} - \dot{y}_2) - m_{eq}y_2 + F_2(t)\\ m_{eq}\ddot{y}_3 &= k_{eq}(z - y_3) + c(\dot{z} - \dot{y}_3) - m_{eq}y_3 + F_3(t)\\ m_{eq}\ddot{y}_4 &= k_{eq}(z - y_4) + c(\dot{z} - \dot{y}_4) - m_{eq}y_4 + F_4(t)\\ m_b\ddot{z} &= \sum_i\bigl[F_i(t) + k_{eq}(y_i - z) + c(\dot{y}_i - \dot{z})\bigr] - m_bz\\ m_t\ddot{y}_5 &= \sum_iF_i(t)\tag{quadrotor displacement}\\ COM &= \frac{m_bz + \sum_im_{eq}y_i}{m_t}\tag{constraint equation} \end{align}$

verstauben

@Qmechanic Dies ist keine Hausaufgabenfrage, und wenn möglich, wird die Lagrange-Mechanik verwendet, um sie zu lösen, damit das Tag Classic passt.

QMechaniker

Hallo Dustin. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, nehmen Sie sich bitte eine Minute Zeit, um die Definition zu lesen, wann das Hausaufgaben-und-Übungen- Tag verwendet werden soll , und die Phys.SE- Richtlinie für hausaufgabenähnliche Probleme.

fibonatisch

Grundsätzlich möchten Sie die Dynamik jedes der vier Arme erfassen. Dazu können Sie die Frequenzgangfunktion/Übertragungsfunktion zwischen Eingang,

F_{i} (t)

$F_i(t)$ , und Ausgabe

x_{i} (t)

$x_i(t)$ . Mit dieser Methode können Sie auch die Massen und die Steifigkeit jedes Arms anpassen, anstatt sich auf theoretisch berechnete Werte zu verlassen.

verstauben

@fibonatic kannst du eine Antwort mit einer längeren Erklärung posten? Können Sie auch mit meinen Gleichungen sprechen? Sehen sie richtig aus (die bearbeiteten)?

fibonatisch

@dustin Ich bin nicht wirklich ein Experte auf diesem Gebiet, ich persönlich habe nur mit Single Input, Single Output gearbeitet, daher könnte ich keine vollständige Antwort geben. Unter robotics.stackexchange.com erhalten Sie möglicherweise eine bessere Antwort . Ich bin mir auch nicht sicher, ob der Versuch, die Dynamik der Arme zu kompensieren, den Jell-O-Effekt beseitigt, da Sie beispielsweise auch einen turbulenten Luftstrom erleben werden. Ich denke, es könnte besser sein, eine Stabilisierung zwischen der Kamera und dem Rahmen hinzuzufügen.

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Gekoppelte ODEs, die einen Quad-Rotor modellieren

@Qmechanic Dies ist keine Hausaufgabenfrage, und wenn möglich, wird die Lagrange-Mechanik verwendet, um sie zu lösen, damit das Tag Classic passt.
Hallo Dustin. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, nehmen Sie sich bitte eine Minute Zeit, um die Definition zu lesen, wann das Hausaufgaben-und-Übungen- Tag verwendet werden soll , und die Phys.SE- Richtlinie für hausaufgabenähnliche Probleme.
Grundsätzlich möchten Sie die Dynamik jedes der vier Arme erfassen. Dazu können Sie die Frequenzgangfunktion/Übertragungsfunktion zwischen Eingang, $F_i(t)$ , und Ausgabe $x_i(t)$ . Mit dieser Methode können Sie auch die Massen und die Steifigkeit jedes Arms anpassen, anstatt sich auf theoretisch berechnete Werte zu verlassen.
@fibonatic kannst du eine Antwort mit einer längeren Erklärung posten? Können Sie auch mit meinen Gleichungen sprechen? Sehen sie richtig aus (die bearbeiteten)?
@dustin Ich bin nicht wirklich ein Experte auf diesem Gebiet, ich persönlich habe nur mit Single Input, Single Output gearbeitet, daher könnte ich keine vollständige Antwort geben. Unter robotics.stackexchange.com erhalten Sie möglicherweise eine bessere Antwort . Ich bin mir auch nicht sicher, ob der Versuch, die Dynamik der Arme zu kompensieren, den Jell-O-Effekt beseitigt, da Sie beispielsweise auch einen turbulenten Luftstrom erleben werden. Ich denke, es könnte besser sein, eine Stabilisierung zwischen der Kamera und dem Rahmen hinzuzufügen.

Benutzer27118 · Answer 1

1) Angenommen, Ihre Koordinaten sind die Bewegungen der Enden der Arme, erlauben die Gleichungen, wie Sie sie geschrieben haben, keine Bewegung des Massenschwerpunkts oder jedenfalls keine COM-Beschleunigung. Lassen Sie die Schwerpunktkoordinaten des Arms einen Bruchteil liegen $a$ der Armlänge $l$ vom Drehpunkt. Für jeden Arm haben Sie:

M_{A R M} (A {\ddot{X}}_{1} + (1 - A) {\ddot{X}}_{5}) + \frac{{ICH}_{A R M 1}}{l^{2}} ({\ddot{X}}_{1} - {\ddot{X}}_{5}) + k_{e Q} (X_{1} - X_{5}) + C ({\dot{X}}_{1} - {\dot{X}}_{5}) = F_{1} (T)

$m_\mathrm{arm}(a\ddot{x}_1 + (1-a)\ddot{x}_5) + \frac{I_{arm1}}{l^2}(\ddot{x}_1 - \ddot{x}_5)+ k_{eq}(x_1-x_5)+c(\dot{x}_1-\dot{x}_5)=F_1(t)$

Wo $x_5$ sind die Koordinaten des Körpers. Die gute alte Newtonsche Summenbildung bezieht sich darauf $x_5$ zu Nettokraft auf die Gelenke:

M_{C e N T e R} {\ddot{X}}_{5} = - \sum_{ich} k_{e Q} (X_{ich} - X_{5}) + C ({\dot{X}}_{ich} - {\dot{X}}_{5})

$m_\mathrm{center} \ddot{x}_5=-\sum_i k_{eq}(x_i-x_5)+c(\dot{x}_i-\dot{x}_5)$

2) Außerhalb meines Fachgebiets muss jemand anderes darauf antworten. Ich stelle mir vor, dass der für Sie relevante Teil die Form eines Geräusches annehmen würde, aber mehr kann ich Ihnen nicht sagen.

3) Der übliche Ansatz ist die Fourier-Transformation. Da die Kräfte jedoch stochastisch sind und Sie wirklich interessiert sind $\langle x_5^2 \rangle$ , das ist komplizierter als das normale "Ableitungen ersetzen durch $i\omega$ " Betrieb. Dieser Beitrag kann Ihnen einige nützliche Hinweise geben. Ich bezweifle, dass Sie einen Wert oder eine Reihe von Werten für finden werden $c$ das minimiert die Reaktion auf eine flache Verteilung für $F(\omega)$ . Wenn $\langle F(\omega) \rangle$ bei einem bestimmten Wert einen Spitzenwert erreicht, können Sie möglicherweise Schwingungen bei diesem Wert unterdrücken. Wenn Sie zum Beispiel davon ausgehen, dass jede Kraft nur eine einfache Schwingung ist $\omega_{rotor}$ mit einem zufälligen Phasenversatz sagen Ihnen Fourier-Transformation und lineare Algebra was $c$ minimiert $x_5(\omega_{rotor})$ .

Mit der ersten ODE, ist das nicht zu sagen $x_5$ Ist der Körpermittelpunkt nicht der Massenmittelpunkt? Dann zeigt die letzte Gleichung keine COM, die sich in Bezug auf die Körpermitte bewegt.
Sie haben Recht, und ich habe den Trägheitstermen nicht genug Aufmerksamkeit geschenkt. Sieht das besser aus?
Ich kam mit einem anderen Satz von Gleichungen. Ich werde es auch posten, damit Sie es sehen können.

verstauben · Answer 2

Von user27118 konnte ich besser verstehen, was getan werden musste, um das System von ODEs einzurichten:

\begin{aligned} M_{e Q} {\ddot{j}}_{1} & = k_{e Q} (z - j_{1}) + C (\dot{z} - {\dot{j}}_{1}) - M_{e Q} G j_{1} + F_{1} (T) \\ M_{e Q} {\ddot{j}}_{2} & = k_{e Q} (z - j_{2}) + C (\dot{z} - {\dot{j}}_{2}) - M_{e Q} G j_{2} + F_{2} (T) \\ M_{e Q} {\ddot{j}}_{3} & = k_{e Q} (z - j_{3}) + C (\dot{z} - {\dot{j}}_{3}) - M_{e Q} G j_{3} + F_{3} (T) \\ M_{e Q} {\ddot{j}}_{4} & = k_{e Q} (z - j_{4}) + C (\dot{z} - {\dot{j}}_{4}) - M_{e Q} G j_{4} + F_{4} (T) \\ M_{B} \ddot{z} & = \sum_{ich} [F_{ich} (T) + k_{e Q} (j_{ich} - z) + C ({\dot{j}}_{ich} - \dot{z})] - M_{B} G z & = 0 \\ j_{5} & = \frac{M_{B} z + \sum_{ich} M_{e Q} j_{ich}}{M_{T}} & = 0 \end{aligned}

$\begin{alignat}{2} m_{eq}\ddot{y}_1 &= k_{eq}(z - y_1) + c(\dot{z} - \dot{y}_1) - m_{eq}gy_1 + F_1(t)\\ m_{eq}\ddot{y}_2 &= k_{eq}(z - y_2) + c(\dot{z} - \dot{y}_2) - m_{eq}gy_2 + F_2(t)\\ m_{eq}\ddot{y}_3 &= k_{eq}(z - y_3) + c(\dot{z} - \dot{y}_3) - m_{eq}gy_3 + F_3(t)\\ m_{eq}\ddot{y}_4 &= k_{eq}(z - y_4) + c(\dot{z} - \dot{y}_4) - m_{eq}gy_4 + F_4(t)\\ m_b\ddot{z} &= \sum_i\bigl[F_i(t) + k_{eq}(y_i - z) + c(\dot{y}_i - \dot{z})\bigr] - m_bgz &&{}= 0\\ y_5 &= \frac{m_bz + \sum_im_{eq}y_i}{m_t} &&{}= 0 \end{alignat}$ wo ich benutze

z

$z$ um die Verschiebung des Körpers des Quad-Rotors zu bezeichnen. Mit den letzten Gleichungen erhalten wir:

\begin{aligned} M_{e Q} \sum_{ich} {\ddot{j}}_{ich} & = \frac{M_{B} + 4 M_{e Q}}{M_{B}} [\sum_{ich} C {\dot{j}}_{ich} + k_{e Q} j_{ich}] + G M_{e Q} \sum_{ich} j_{ich} + \sum_{ich} F_{ich} (T) \\ M_{e Q} {\ddot{j}}_{ich} & = k_{e Q} [j_{ich} + \frac{M_{e Q}}{M_{B}} \sum_{J} j_{J}] + C [{\dot{j}}_{ich} + \frac{M_{e Q}}{M_{B}} \sum_{J} {\dot{j}}_{J}] - M_{e Q} G j_{ich} + F_{ich} (T) \end{aligned}

$\begin{align} m_{eq}\sum_i\ddot{y}_i &= \frac{m_b + 4m_{eq}}{m_b}\Bigl[\sum_ic\dot{y}_i + k_{eq}y_i\Bigr] + gm_{eq}\sum_iy_i + \sum_iF_i(t)\\ m_{eq}\ddot{y}_i &= k_{eq}\Bigl[y_i + \frac{m_{eq}}{m_b}\sum_jy_j\Bigr] + c\Bigl[\dot{y}_i + \frac{m_{eq}}{m_b}\sum_j\dot{y}_j\Bigr] - m_{eq}gy_i + F_i(t) \end{align}$ was dazu führt

\begin{aligned} M_{e Q} {\ddot{j}}_{1} & = k_{e Q} [j_{1} + \frac{M_{e Q}}{M_{B}} \sum_{J} j_{J}] + C [{\dot{j}}_{1} + \frac{M_{e Q}}{M_{B}} \sum_{J} {\dot{j}}_{J}] - M_{e Q} G j_{1} + F_{1} (T) \\ M_{e Q} {\ddot{j}}_{2} & = k_{e Q} [j_{2} + \frac{M_{e Q}}{M_{B}} \sum_{J} j_{J}] + C [{\dot{j}}_{2} + \frac{M_{e Q}}{M_{B}} \sum_{J} {\dot{j}}_{J}] - M_{e Q} G j_{2} + F_{2} (T) \\ M_{e Q} {\ddot{j}}_{3} & = k_{e Q} [j_{3} + \frac{M_{e Q}}{M_{B}} \sum_{J} j_{J}] + C [{\dot{j}}_{3} + \frac{M_{e Q}}{M_{B}} \sum_{J} {\dot{j}}_{J}] - M_{e Q} G j_{3} + F_{3} (T) \\ M_{e Q} {\ddot{j}}_{4} & = k_{e Q} [j_{4} + \frac{M_{e Q}}{M_{B}} \sum_{J} j_{J}] + C [{\dot{j}}_{4} + \frac{M_{e Q}}{M_{B}} \sum_{J} {\dot{j}}_{J}] - M_{e Q} G j_{4} + F_{4} (T) \end{aligned}

$\begin{align} m_{eq}\ddot{y}_1 &= k_{eq}\Bigl[y_1 + \frac{m_{eq}}{m_b}\sum_jy_j\Bigr] + c\Bigl[\dot{y}_1 + \frac{m_{eq}}{m_b}\sum_j\dot{y}_j\Bigr] - m_{eq}gy_1 + F_1(t)\\ m_{eq}\ddot{y}_2 &= k_{eq}\Bigl[y_2 + \frac{m_{eq}}{m_b}\sum_jy_j\Bigr] + c\Bigl[\dot{y}_2 + \frac{m_{eq}}{m_b}\sum_j\dot{y}_j\Bigr] - m_{eq}gy_2 + F_2(t)\\ m_{eq}\ddot{y}_3 &= k_{eq}\Bigl[y_3 + \frac{m_{eq}}{m_b}\sum_jy_j\Bigr] + c\Bigl[\dot{y}_3 + \frac{m_{eq}}{m_b}\sum_j\dot{y}_j\Bigr] - m_{eq}gy_3 + F_3(t)\\ m_{eq}\ddot{y}_4 &= k_{eq}\Bigl[y_4 + \frac{m_{eq}}{m_b}\sum_jy_j\Bigr] + c\Bigl[\dot{y}_4 + \frac{m_{eq}}{m_b}\sum_j\dot{y}_j\Bigr] - m_{eq}gy_4 + F_4(t) \end{align}$

Ich glaube nicht, dass Sie einfach verwenden können $m_{eq}\ddot{y_i}$ ; Der Arm kann sich unabhängig voneinander drehen und verschieben, daher müssen Sie einen Trägheitsterm haben, der so aussieht $\ddot{y_i}$ und einer, der geht wie $\ddot{y_i}-\ddot{z}$ . Wenn $z$ ist die Bewegung des Körpers, Sie können auch die Rotorkräfte nicht aufbringen $F_i$ direkt dazu. Es erfährt nur die Kräfte, die an den Drehpunkten durch die harmonischen und dämpfenden Terme geliefert werden.

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