Gekoppelte Pendel auf halber Höhe

Geben Sie hier die Bildbeschreibung einAngenommen, wir haben das unten beschriebene System (schlechte Qualität, aber es reicht). Wir haben zwei Massenpendel M gekoppelt durch eine Reihe von Konstanten k auf einer Höhe platziert A von oben (wie abgebildet). Meine Aufgabe ist es, die normalen Schwingungsmodi zu finden.

Mein Versuch: Für einen kleinen Winkel ist die Bewegung der Massen in sehr guter Näherung linear, die von der Saite ausgeübte Kraft ist proportional zur Höhe, die modelliert werden könnte F = k A L und die Rückstellkraft durch das Gewicht des Pendels ist F 1 = M G L . Damit können wir die Bewegungsgleichungen wie folgt schreiben:

M X ¨ 1 = − M G L X 1 − k A L ( X 1 − X 2 ) M X ¨ 2 = − M G L X 2 − k A L ( X 2 − X 1 )

Damit stecken wir einfach die Matrixgleichung ein M X ¨ = K X und finde die Eigenwerte (wobei M ist die Massenmatrix, X die Positionsmatrix und K die Konstantenmatrix), die die folgenden Schwingungsmodi ergibt:

ω + 2 = G L + 2 k A M L ω − 2 = G L

Und das machte Snese und scheint mir richtig zu sein, aber dann sah ich eine Lösung, die die Bewegung in Bezug auf die Winkelverschiebung berücksichtigte, wobei die Bewegungsgleichungen wie folgt geschrieben würden:

M L 2 θ ¨ 1 = − M G L θ 1 − k A 2 ( θ 1 − θ 2 ) M L 2 θ ¨ 2 = − M G L θ 2 − k A 2 ( θ 2 − θ 1 )

mit den normalen Frequenzen:

ω + 2 = G L + 2 k A 2 M L 2 ω − 2 = G L

Es gibt eine deutliche Ähnlichkeit zwischen beiden Antworten, obwohl beide richtig sind? Der erste scheint für kleine Winkel richtig zu sein, und der zweite scheint mir fehlerhaft zu sein, weil ich nicht glaube, dass die von der Feder ausgeübte Kraft (obwohl sie durch das Hookesche Gesetz modelliert wird) direkt proportional zur Winkelverschiebung ist. Könnte hier jemand Licht ins Dunkel bringen?

Antworten (1)

Das Problem bei der Ableitung der Bewegungsgleichung aus einem Kräftegleichgewicht besteht darin, dass Sie die am Drehpunkt wirkenden Reaktionskräfte einbeziehen müssen. Diese Reaktionskräfte sind jedoch Unbekannte, die eliminiert werden müssen, und daher wird das Kräftegleichgewicht beim Auflösen nach diesen Reaktionskräften „verschwendet“. Aus diesem Grund ist eine Momentenbilanz zu berücksichtigen, bei der Momente um den Drehpunkt gemessen werden: Auf diese Weise sind die unbekannten Reaktionskräfte nicht beteiligt.

Der 1. Satz von Gleichungen enthält einen Fehler in einem der Terme, wobei k A L ( X 1 − X 2 ) sollte durch ersetzt werden k A 2 L 2 ( X 1 − X 2 ) . Der 2. Satz ist richtig. Beachten Sie, dass die Terme im 2. Satz den Momenten entsprechen, die von den Kräften ausgeübt werden.

Für gegebene Umdrehungen θ 1 Und θ 2 , die Durchbiegung der Feder ist A ( θ 2 − θ 1 ) , also die auf das Pendel 1 wirkende Federkraft k A ( θ 2 − θ 1 ) . Mit dem Hebelarm der Federkraft um den Drehpunkt herum A cos ⁡ θ 1 , das Moment, das die Federkraft auf das Pendel 1 ausübt, gleich ist k A 2 ( θ 2 − θ 1 ) cos ⁡ θ 1 . Linearisiert wird dies k A 2 ( θ 2 − θ 1 ) . Dies ist der Term, der im 2. Satz von Gleichungen vorkommt.

Beide Sätze von Gleichungen werden einander äquivalent sein. Der korrigierte erste Satz kann durch die Substitutionen erhalten werden X 1 = L θ 1 Und X 2 = L θ 2 .

In Bezug auf die Federkraft als Antwort auf Kommentare

Schauen wir uns die Federkraft genauer an.

Dazu muss eine zusätzliche Dimension hinzugefügt werden (die verschwindet, sobald das System linearisiert ist). Dies ist der Abstand zwischen den Drehpunkten der Pendel, den ich nennen werde B .

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Wir können sehen, dass die Positionen der Verbindungspunkte A 1 Und A 2 der Federn sind bei ( A Sünde ⁡ θ 1 , − A cos ⁡ θ 1 ) Und ( B + A Sünde ⁡ θ 2 , − A cos ⁡ θ 2 ) wobei der erste Drehpunkt als Ursprung behandelt wird. Die Position des ersten Punktes relativ zum zweiten kann geschrieben werden als

A 1 A 2 → = [ A Sünde ⁡ θ 1 − A Sünde ⁡ θ 2 − B − A cos ⁡ θ 1 + A cos ⁡ θ 2 ]

Die Länge dieses Vektors ergibt die Länge der gestreckten Saite (natürliche Länge B + Verlängerung Δ X ). Unter Beachtung der folgenden Taylor-Entwicklungen

Sünde ⁡ X = X − X 3 3 ! + X 5 5 ! + ⋯ = X + Ö ( X 3 )

cos ⁡ X = 1 − X 2 2 ! + X 4 4 ! + ⋯ = 1 + Ö ( X 2 ) ,

Der relative Positionsvektor kann dargestellt werden als

A 1 A 2 → = [ A ( θ 1 − θ 2 ) − B + Ö ( θ 1 3 ) + Ö ( θ 2 3 ) Ö ( θ 1 2 ) + Ö ( θ 2 2 ) ]

Wenn das System durch Kleinwinkelnäherungen linearisiert wird, finden wir das Ö ( θ 1 2 ) Und Ö ( θ 2 2 ) kann im relativen Positionsvektor vernachlässigt werden und nähert sich daher an

A 1 A 2 → = [ A ( θ 1 − θ 2 ) − B 0 ]

Wir können sehen, dass der obige relative Positionsvektor ungefähr horizontal ist, dh die Feder ist ungefähr horizontal, und daher ist die Kraft, die sie ausübt, ungefähr horizontal – die vertikale Komponente der Kraft kann vernachlässigt werden.

Die Länge des relativen Positionsvektors ist A ( θ 1 − θ 2 ) + B , und daher ist die Verlängerung der Feder Δ X = A ( θ 1 − θ 2 ) . Wir wissen, dass die Federkraft ist F = k Δ X , also die Federkraft F = k A ( θ 1 − θ 2 )

Ich hatte die Substitution nicht bemerkt, aber damit können wir das wieder sehen θ 1 = X 1 L Und θ 2 = X 2 L , was einer Kleinwinkelnäherung entspricht ( Sünde ⁡ θ 1 ≈ θ 1 , was Sinn macht, jetzt der zweite Satz, das Problem, das ich sehe (ich kann mich irren), ist, dass die Kraft proportional zur Verschiebung "quer zur Verdrillung ihres Drahtes" ist, das heißt, wenn L θ 1 entspricht dem vom Pendel zurückgelegten Weg ( 0 , 0 ) Zu ( X , j ) das sollte die Endkraft auf der Feder sein F = k X 2 + j 2 und nicht F = k L θ 1 .
Es ist diese "implizite" Linearität, die mich verwirrt
Andererseits habe ich nur ein bisschen mehr nachgedacht, und diese Substitution wird nicht ausreichen ...
Wenn die Federkraft am Pendel 1 war F = k X 1 2 + j 1 2 , das würde einer Feder entsprechen, die zwischen dem Pendelkörper und einem Fixpunkt am tiefsten Ausschlagpunkt des Pendelkörpers angebracht ist. Ich werde meine Antwort bearbeiten, um einen detaillierteren Hinweis zur Federkraft aufzunehmen.
Gekoppelte Pendel auf halber Höhe
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v