Gelten Newtons Bewegungsgesetze in nicht-trägheitsbezogenen Bezugsrahmen?

Question

Gelten Newtons Bewegungsgesetze in nicht-trägheitsbezogenen Bezugsrahmen?

versucht, bestialisch zu sein

Mein Buch leitete die Formel für die Beschleunigung einer Rakete zu jedem Zeitpunkt folgendermaßen her:

$v_r=$ Geschwindigkeit des aus der Düse freigesetzten Gases relativ zur Rakete

$dt=$ unendliches Zeitintervall

$dm=$ Masse des aus der Düse im Zeitintervall freigesetzten Gases $dt$

$dP=$ Impuls des im Zeitintervall freigesetzten Gases $dt$

$F=$ Schubkraft, die direkt entgegen der Richtung der Gasfreisetzung wirkt

$M=$ Masse der Rakete nach Zeitintervall $dt$

Wir wissen aus Newtons 2. Gesetz,

F = \frac{D P}{D T}

$F=\frac{dP}{dt}$

⟹ F = \frac{D M}{D T} v_{R}

$\implies F=\frac{dm}{dt}v_r$

⟹ A = \frac{1}{M} \frac{D M}{D T} v_{R}

$\implies a=\frac{1}{M}\frac{dm}{dt}v_r$

In dieser Ableitung ist die Geschwindigkeit des freigesetzten Gases, $v_r$ , wurde aus der Perspektive der Rakete berechnet, die ständig beschleunigt, was sie zu einem nicht-trägen Bezugssystem macht. Die Newtonschen Gesetze gelten nicht in nicht-trägheitsbezogenen Bezugsrahmen, aber wir haben das 2. Newtonsche Gesetz in dieser Ableitung verwendet. Also, wie ist diese Ableitung richtig?

PS: Eine ähnliche Herleitung findet sich in Fundamentals of Physics von Halliday, Walker & Resnick

Umaxo

Eigentlich

a

$a$ kann keine Beschleunigung der Rakete im Rahmen der Rakete sein, da diese Beschleunigung trivialerweise Null ist und

d P

$dP$ kann kein Impuls sein, sondern eine Impulsänderung, weil Kraft durch Impulsänderung in einem Zeitintervall und nicht durch Impuls selbst gegeben ist.

Kurt g.

Die erste Raketengleichung von Halliday et.al. kann geschrieben werden als

M a = - \dot{M} ν_{r e l}

$M\,a=-\dot{M}\,\nu_{rel}$ (9-86). Sie leiten es unter der Annahme ab, dass "wir relativ zu einem Trägheitsbezugssystem in Ruhe sind". In diesem Rahmen haben wir

F = \dot{P} = \dot{M} ν + M \dot{ν} = \dot{M} ν + M a = - R ν + R ν_{r e l}

$F=\dot{P}=\dot{M}\,\nu+M\,\dot{\nu}=\dot{M}\,\nu+M\,a=-R\,\nu+R\,\nu_{rel}$ Wo

R

$R$ ist ihre Kraftstoffverbrauchsrate

R = - \dot{M}

$R=-\dot{M}$ Und

ν

$\nu$ ist die Geschwindigkeit der Rakete. Die einzige nicht konstante Größe in dieser Gleichung für

F

$F$ Ist

ν

$\nu$ was zunimmt. Deshalb

F

$F$ negativ wird, wenn

ν

$\nu$ übersteigt

ν_{r e l} .

$\nu_{rel}\,.$ Ich denke, das ist ein interessantes Beispiel für eine scheinbare Kraft. ...

Kurt g.

Die Kraft, die von einem Beschleunigungsmesser in der Rakete gemessen wird, ist

M a = R ν_{r e l} .

$M\,a=R\,\nu_{rel}\,.$ Das ist eine echte Kraft. Die Gleichung ist auch insofern interessant, als sie verlockend ist, daraus zu schließen

F_{r e a l} = M a

$F_{real}=M\,a$ dass diese Kraft im Ruhesystem anhält (weil

a

$a$ tut). Aber das ist falsch.

Antworten (5)

Gelten Newtons Bewegungsgesetze in nicht-trägheitsbezogenen Bezugsrahmen?

Eigentlich $a$ kann keine Beschleunigung der Rakete im Rahmen der Rakete sein, da diese Beschleunigung trivialerweise Null ist und $dP$ kann kein Impuls sein, sondern eine Impulsänderung, weil Kraft durch Impulsänderung in einem Zeitintervall und nicht durch Impuls selbst gegeben ist.
Die erste Raketengleichung von Halliday et.al. kann geschrieben werden als $M\,a=-\dot{M}\,\nu_{rel}$ (9-86). Sie leiten es unter der Annahme ab, dass "wir relativ zu einem Trägheitsbezugssystem in Ruhe sind". In diesem Rahmen haben wir $F=\dot{P}=\dot{M}\,\nu+M\,\dot{\nu}=\dot{M}\,\nu+M\,a=-R\,\nu+R\,\nu_{rel}$ Wo $R$ ist ihre Kraftstoffverbrauchsrate $R=-\dot{M}$ Und $\nu$ ist die Geschwindigkeit der Rakete. Die einzige nicht konstante Größe in dieser Gleichung für $F$ Ist $\nu$ was zunimmt. Deshalb $F$ negativ wird, wenn $\nu$ übersteigt $\nu_{rel}\,.$ Ich denke, das ist ein interessantes Beispiel für eine scheinbare Kraft. ...
Die Kraft, die von einem Beschleunigungsmesser in der Rakete gemessen wird, ist $M\,a=R\,\nu_{rel}\,.$ Das ist eine echte Kraft. Die Gleichung ist auch insofern interessant, als sie verlockend ist, daraus zu schließen $F_{real}=M\,a$ dass diese Kraft im Ruhesystem anhält (weil $a$ tut). Aber das ist falsch.

Andreas · Answer 1

Newtons zweites Gesetz

F = \frac{D P}{D T}

$F = \frac{dp}{dt}$

gilt nur in Inertialrahmen.

Während $v_r$ ist definiert als die Geschwindigkeit des freigesetzten Gases relativ zur Rakete, sie ist auch gleich der Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$ des Kraftstoffs, wie von allen Trägheitsrahmen beobachtet. Dies ist eine Folge der Galileischen Relativitätstheorie, die bei niedrigen Geschwindigkeiten gilt. So die Formel

F = \frac{D M}{D T} v_{R}

$F = \frac{dm}{dt}v_r$ wird in einem Trägheitsbezugssystem geschrieben.

Jawi · Answer 2

Diese Ableitung verwendet tatsächlich $v_{rel}$ weil der Autor es bequemer fand, die Gleichungen auf diese Weise zu schreiben. Dies bedeutet jedoch nicht, dass das System vom Raketenbezugssystem aus beschrieben wird.

versucht, bestialisch zu sein · Answer 3

Was Sie also verstehen müssen, ist, dass die Berechnungen alle von einem beliebigen Trägheitsreferenzrahmen aus durchgeführt werden. Wir rechnen nicht $a$ oder Beschleunigung der Rakete aus dem Referenzrahmen der Rakete (einem nicht trägen Referenzrahmen) selbst. Es ist einfach einfacher, die Geschwindigkeiten der Rakete und des freigesetzten Gases durch die relative Geschwindigkeit des freigesetzten Gases in Bezug auf die Rakete auszudrücken.

Siehe außerdem die Herleitung von Halliday. Es ist viel besser.

fischnah · Answer 4

Die Ableitung, die Sie zeigen, wird nicht aus der Perspektive der Rakete berechnet. Sie wird aus der Perspektive eines stationären Außenbeobachters berechnet. Die Berechnung verwendet einfach die Relativgeschwindigkeit des Gases, um zu berechnen, welche Kraft die Rakete erfahren wird.

Die Newtonschen Gesetze gelten auch in nicht-trägheitsbezogenen Bezugsrahmen (mit den üblichen nicht-relativistischen Einschränkungen), solange Sie die Bezugsrahmenbeschleunigung als eine schwerkraftähnliche, äußere Kraft auf alle Massen behandeln.

In Ihrem speziellen Beispiel wäre das nicht sehr praktisch, da der Zweck der Berechnung darin besteht, die Größe dieser externen Kraft zu bestimmen. Aber Sie können die Newtonschen Gesetze verwenden, um zu bestimmen, was mit Objekten in der Rakete passiert, während sie beschleunigt wird. Wenn Sie beispielsweise die Flugbahn eines Balls berechnen möchten, der von einem Astronauten in der Rakete geworfen wird, aus der Perspektive dieses Astronauten.

Edgar Bonnet · Answer 5

Am sinnvollsten ist diese Ableitung in einem momentan mitbewegten Bezugssystem .

Angenommen, Sie möchten die Gleichung zu einem beliebigen Zeitpunkt herleiten $t$ . Zu diesem bestimmten Zeitpunkt existiert ein Trägheitsbezugssystem, in dem die Geschwindigkeit der Rakete genau null ist. In diesem Bezugsrahmen bewegte sich die Rakete rückwärts und wurde zeitweise abgebremst $t'<t$ , und wird sich zeitweise mit zunehmender Geschwindigkeit vorwärts bewegen $t'>t$ .

Da dieser Rahmen inertial ist, gilt das zweite Newtonsche Gesetz

F = \frac{D P}{D T}

$F = \frac{dP}{dt}$

hält. Hier ist die Impulsänderung

D P = v_{R} D M

$dP = v_r dm$

Wo $v_r$ die Geschwindigkeit des freigesetzten Gases. Aber da die Geschwindigkeit der Rakete Null ist, $v_r$ kann auch als Geschwindigkeit des Gases relativ zur Rakete interpretiert werden .

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Kurt g.

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Andreas

Jawi

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fischnah

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