Gerader Draht mit konstantem elektrischem Strom und quadratischer Schleife im Schwerefeld

Question

Gerader Draht mit konstantem elektrischem Strom und quadratischer Schleife im Schwerefeld

Opisthofulax

Ich habe versucht, diese Übung zu lösen, aber ich habe einige Schwierigkeiten in der vorgeschlagenen Lösung gefunden ... Der Text lautet:

Eine quadratische Drahtschleife (Seite $l$ , Masse $m$ , Widerstand $R$ ) liegt auf der $xz$ Ebene, darunter ein sehr langer idealer gerader Draht, der einen Strom führt $i_0$ , auf Distanz $d$ . Da wir auf der sind $xz$ Ebene, das ist die Schwerkraft, mit Beschleunigung $g$ . Damals $t_0$ die Schleife wird fallen gelassen.
Schreiben Sie die Bewegungsgleichung der Schleife.

LÖSUNG: Der Fluss durch die Schleife ist

Φ (\vec{B_{{ICH}_{0}}}) = \int_{S} \vec{B_{{ICH}_{0}}} \cdot \hat{N} D S = \int_{D}^{D + l} \frac{l μ_{0} {ICH}_{0}}{2 π R} D R = \frac{l μ_{0} {ICH}_{0}}{2 π} \ln \frac{D + l}{D}

$\Phi(\vec{B_{I_0}}) = \int_S\vec{B_{I_0}}\cdot\hat{n}\ \mathrm{d}S = \int_d^{d+l}\frac{l\mu_0I_0}{2\pi r}\ \mathrm{d}r = \frac{l\mu_0I_0}{2\pi}\ln{\frac{d+l}{d}}$

Jetzt für das Faradaysche Gesetz kann ich das berechnen $emf$ in der quadratischen Schleife induziert, um die Lorentz-Kraft zu berechnen, um das zweite Newtonsche Gesetz einzusetzen

\vec{F} = M \vec{A}

$\vec{F} = m\vec{a}$

Die $emf_i$ , aufgrund des Faradayschen Gesetzes ist (wobei a genannt wird $d \equiv d(t) \equiv y(t)$ )

e M F_{ich} = - \frac{D Φ (\vec{B_{{ICH}_{0}}})}{D T} = + \frac{l^{2} μ_{0} {ICH}_{0}}{2 π} \frac{1}{j (T) (l + j (T))} \cdot \frac{D j (T)}{D T}

$emf_i = -\frac{\mathrm{d}\Phi(\vec{B_{I_0}})}{\mathrm{d}t} = + \frac{l^2\mu_0I_0}{2\pi}\frac{1}{y(t)(l + y(t))}\cdot\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}$

der induzierte Strom ist daher:

{ICH}_{l Ö Ö P} = \frac{e M F_{ich}}{R} = \frac{l^{2} μ_{0} {ICH}_{0}}{2 π R} \frac{1}{j (T) (l + j (T))} \cdot \frac{D j (T)}{D T}

$I_{loop} = \frac{emf_i}{R} = \frac{l^2\mu_0I_0}{2\pi R}\frac{1}{y(t)(l + y(t))}\cdot\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}$

und dreht sich im Uhrzeigersinn (wenn ich mich nicht irre...).

Ok, jetzt kommt das eigentliche Problem. Da ich nicht wusste, wie man das Lorentz-Gesetz berechnet, habe ich mir die vorgeschlagene Lösung des Problems angesehen, die lautet

Die Lorentz-Kraft auf den beiden vertikalen Seiten ist gleich und entgegengesetzt, also hebt sie sich auf.

Seitdem keine Probleme...

Auf den horizontalen Seiten ist es durch gegeben

$F = \frac{l^{2} μ_{0} {ICH}_{0} {ICH}_{l Ö Ö P}}{2 π} \frac{1}{j (T) (l + j (T))} \hat{j}$ $F = \frac{l^2\mu_0I_0I_{loop}}{2\pi}\frac{1}{y(t)(l + y(t))}\hat{y}$

Wie ist es nun möglich, wenn das Magnetfeld senkrecht zur Schleife eintritt? Sollte es nicht das umgekehrte Vorzeichen haben? Und außerdem, wie hat er diese Kraft berechnet? Ich meine, Lorentz' Kraft sieht aus wie

F = Q \vec{v} \times \vec{B}

$F = q\vec{v}\times\vec{B}$

aber ich kann weder das Magnetfeld noch die Geschwindigkeit in dieser Formel sehen ...

Hoffe das jemand die Antwort weiß! Danke!

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Gerader Draht mit konstantem elektrischem Strom und quadratischer Schleife im Schwerefeld

Höhlenmensch · Answer 1

$\newcommand{\vect}[1]{{\bf #1}}$ $\newcommand{\dd}{{\rm d}}$ $\newcommand{\uvect}[1]{\hat{\vect{#1}}}$ Die Kraft auf einen Strom $I$ kann berechnet werden als

\begin{matrix} (1) & D F = ICH D l \times B \end{matrix}

$\dd\vect{F} = I\dd \vect{l}\times \vect{B} \tag{1}$

Wo $\dd\vect{l}$ geht am Strom entlang $I$ . Dies ist eigentlich die gleiche Lorentz-Kraft, aber etwas anders geschrieben als die Gleichung, die Sie oben haben. Grob gesagt, wenn Sie eine kleine Ladung nehmen $\Delta q$ Reisen durch einen Draht, so dass seine Geschwindigkeit ist $\Delta \vect{l}/\Delta t$ , das ist die Lorentzkraft, die diese Ladung erfährt

\begin{matrix} (2) & Δ F = Δ Q \frac{Δ l}{Δ T} \times B = (\frac{Δ Q}{Δ T}) Δ l \times B = ICH Δ l \times B \end{matrix}

$\Delta \vect{F} = \Delta q \frac{\Delta \vect{l}}{\Delta t}\times \vect{B} = \left( \frac{\Delta q}{\Delta t}\right)\Delta \vect{l}\times \vect{B} = I \Delta \vect{l}\times\vect{B} \tag{2}$

das ist Gl. (1). Nun, wie Sie darauf hinweisen, tragen die vertikalen Segmente der Schleife nicht zur Kraft bei, sondern nur die horizontalen, und für diesen Fall trägt Gl. (1) wird

\begin{array}{rcl} F & = & \int D F = {ICH}_{l Ö Ö P} \int D l \times B \\ = & {ICH}_{l Ö Ö P} (\int_{u P} D l \times B + \int_{D Ö w N} D l \times B) \\ = & {ICH}_{l Ö Ö P} l (\frac{μ_{0} {ICH}_{0}}{2 π} \frac{\hat{j}}{j} - \frac{μ_{0} {ICH}_{0}}{2 π} \frac{\hat{j}}{j + l}) \\ = & \frac{μ_{0} {ICH}_{l Ö Ö P} {ICH}_{0} l^{2}}{2 π} \frac{\hat{j}}{j (j + l)} \end{array}

$\begin{eqnarray} \vect{F} &=& \int\dd\vect{F} = I_{\rm loop}\int\dd\vect{l}\times\vect{B} \\ &=& I_{\rm loop} \left(\int_{\rm up}\dd\vect{l}\times \vect{B} + \int_{\rm down}\dd\vect{l}\times \vect{B} \right) \\ &=& I_{\rm loop}l \left(\frac{\mu_0 I_0}{2\pi}\frac{\uvect{y}}{y} - \frac{\mu_0 I_0}{2\pi}\frac{\uvect{y}}{y + l} \right) \\ &=& \frac{\mu_0 I_{\rm loop}I_0l^2}{2\pi} \frac{\uvect{y}}{y(y + l)} \end{eqnarray}$

Gerader Draht mit konstantem elektrischem Strom und quadratischer Schleife im Schwerefeld

Opisthofulax

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Höhlenmensch

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