Gibt es eine Möglichkeit, die Konsonanz oder Dissonanz eines Akkords zu messen?

Ja, es gibt Möglichkeiten, es zu messen, obwohl es viele verschiedene Algorithmen gibt, die behaupten, korrekter zu sein als die anderen. Diese Formel von Vassilakis ist neu (2007).

Diese messen „ Rauigkeit “, die der Dissonanz ähnelt. (Dissonanz ist im Grunde Rauheit, aber aufgrund kultureller Konditionierung auf bestimmte Intervalle gewichtet, was offensichtlich schwer quantitativ zu messen ist.) Für zwei Sinustöne sieht die Differenz zwischen Rauheit und Frequenz so aus:

(Quelle: William A. Sethares )

Für komplexere Signale, die aus mehreren Tönen bestehen:

Die Rauhigkeit von Signalen, die Spektren mit mehr als zwei Sinuskomponenten entsprechen, wird durch Summieren der Rauhigkeit aller Sinuspaare im Spektrum berechnet.

Bei Tönen mit harmonischen Spektren erzeugt der Nettoeffekt der Rauheit zwischen allen vorhandenen Harmonischen Graphen mit Konsonanzkerben in Intervallen, mit denen wir vertraut sind, wie z. B. 3:2 perfekte Quinte:

Die schwarze Kurve stammt aus dem älteren Plomp-Levelt- Papier von 1965 mit dieser Beschreibung:

Wir nehmen an, dass die Gesamtdissonanz eines solchen Intervalls gleich der Summe der Dissonanzen jedes Paares benachbarter Teiltöne ist ... diese Annahmen sind eher spekulativ ... Auf diese Weise wurden die Kurven ... für komplexe Töne bestehend berechnet von 6 Harmonischen. ... zeigt, wie die Konsonanz einiger Intervalle, gegeben durch einfache Frequenzverhältnisse, von der Frequenz abhängt.

(Die Plomp-Levelt-Kurve basiert also auf der Summierung der Rauhigkeit benachbarter Teiltöne, während Vassilakis " alle Sinuspaare" summiert". (Sethares schrieb mir und sagte, das "Angrenzende" sei nur darauf zurückzuführen, dass die Rechenleistung in den 60er Jahren begrenzt war. Vergleichen Jedes Paar ist besser geeignet.))

Weitere Beschreibungen dieser Kurve finden sich in Marc Leman - Foundations of Musicology as Content Processing Science (der auch über die Ableitung der Slendro- und Pelog - Skalen aus demselben Algorithmus spricht, der auf unharmonische Gong-Instrumente angewendet wird) und Plomp und Levelt's Hidden Ratio

Die blaue Kurve stammt von Sethares Relating Tuning and Timbre , das diese MATLAB-Berechnung verwendet , die ebenfalls auf den Plomp-Levelt-Kurven basiert. (Und hier ist meine Python-Übersetzung .) Hier ist eine MATLAB-basierte App , die das Vassilakis-Modell von 2007 verwendet, um dieselbe Kurve auch für 6 Harmonische zu berechnen (und M3 als konsonanter als M3 hat).

Sie können sehen, dass die beiden Kurven nicht übereinstimmen, ob m3 oder M3 konsonanter ist. Ich bin mir nicht sicher, ob dies daran liegt, dass nur benachbarte Teiltöne im Vergleich zu allen Teiltönen berechnet werden oder ob die Teiltöne unterschiedliche Amplituden haben oder was. Natürlich erzeugen echte Instrumente viele Variationen in ihren harmonischen Spektren, selbst wenn sie dieselbe Note auf demselben Instrument spielen, daher sind diese Kurven alle von Natur aus Annäherungen. Hier ist ein Diagramm, das ich von Violine vs. Klarinette erstellt habe und das zeigt, dass das M3 konsonanter ist, wenn die Violine die höhere Note spielt, da Klarinetten hauptsächlich ungerade Obertöne erzeugen.

Außerdem stuft der Sethares-Algorithmus bei mehr als 2 Tönen Moll- und Dur-Akkorde als gleich konsonant ein, was nicht der üblichen Interpretation entspricht. So interpretieren Erlich und Monzo die Zahl von Sethares nur als Maß für "Rauheit" und verlangen, dass "Dissonanz" sowohl "Rauheit" als auch "Tonalität" umfasst , wobei Dur-Akkorde konsonanter sind, weil sie näher an der Wurzel einer harmonischen Reihe liegen ( 4:5:6), während Moll-Akkorde weiter entfernt sind (10:12:15). Ich kenne jedoch keine Möglichkeit, dies für beliebige Frequenzen zu quantifizieren.

Ja. Es hat mit dem Verhältnis ihrer Frequenzen zu tun. Grundsätzlich gilt: Je kleiner die beteiligten Zahlen, desto besser.

Das perfekte Unisono mit einem Verhältnis von 1:1 (z. B. C gespielt mit demselben C) hat perfekte Konsonanz. C zum nächsten G hat ein Verhältnis von 2:3; Die perfekte Quinte ist die nächstkonsonanteste. Die kleine Sekunde (z. B. C zu C#) ist in westlichen Tonleitern mit einem Frequenzverhältnis von 15:16 am dissonantesten.

Dies stellt dar, wie oft die Schallwellen "übereinstimmen". Jeder dritte Zyklus eines C passt zu jedem zweiten Zyklus eines G und umgekehrt; dh die Spitzen der Wellen treten gleichzeitig alle zwei Zyklen (oder drei Zyklen, je nachdem, welche Note Sie als Basis wählen) auf. Das ist oft! Insgesamt nimmt Ihr Ohr die Klänge also als synchron und melodisch wahr. Im Gegensatz dazu sind Wellen, die selten übereinstimmen, wie die kleine Sekunde, bei der nur der 15. (16.) Zyklus übereinstimmt, weitgehend asynchron und daher dissonant.

Der Geist ist seltsam, und was einer als Dissonanz wahrnimmt, ist nicht unbedingt das, was ein anderer als Dissonanz wahrnehmen würde. Allerdings kommen Sie einem absoluten, objektiven Maß am nächsten, wenn Sie den Logarithmus zur Basis 2 des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Seiten des Verhältnisses verwenden. Z.B:

    lg(LCM(15, 16)) = lg(240) ~= 7,9

Dies ist etwa 3 mal mehr als

    lg(LCM(2, 3)) = lg(6) ~= 2,6

Ordentlich,

    lg(LCM(1, 1)) = lg(1) = 0

dies spiegelt also auch die Tatsache wider, dass das perfekte Unisono keine Dissonanz hat. Interessanterweise schien Euler zu glauben, dass das LCM auch der Weg sei, dies zu tun ¹ .

(Beachten Sie, dass LCM(x, y) = x*yfür vollständig reduzierte Verhältnisse; z. B. 2:3 statt 4:6.)

[1]: Knobloch, Eberhard (2008). Euler Grenzüberschreitung: Das Unendliche und die Musiktheorie . Quaderns d'Història de l'Enginyeria, IX , 9-24. Online verfügbar: http://upcommons.upc.edu/revistes/bitstream/2099/8052/1/article2.pdf

Ja, es gibt einen Weg. Es gibt einige brillante Forschungen von Norman D Cook, die sich speziell mit den akustischen Eigenschaften von Triaden befassen. Er summiert verschiedene Teiltöne beliebiger drei Töne und bildet sie auf den dreidimensionalen Raum ab. Um Dreiklänge in den 2-D-Raum einzupassen, berechnet er die Intervalldifferenz zwischen der ersten und zweiten Note und trägt diese auf eine Achse, die Differenz zwischen der zweiten Note und der dritten auf die y-Achse. Anschließend führt er die mathematischen Berechnungen für verschiedene Eigenschaften wie Konsonanz, Spannung, Modalität und Instabilität durch. Er platziert dies auf dem, was er das triadische Gitter nennt, wobei M für Dur-Dreiklang, m für Moll, s für Sus und a für Augmented steht. Diese Theorie modelliert, wie wir diese Akkorde in der Reihenfolge wahrnehmen, in der wir wissen, dass sie konsonant sind, aber das wir bisher nicht mathematisch erklären konnten.Hier ist einer von Cooks Artikeln zu diesem Thema .

Das Papier ist ziemlich dicht, wenn Sie sich nicht mit Mathematik und Musiktheorie beschäftigen, würde ich vorschlagen, sich dieses Video anzusehen, in dem er seine Theorie diskutiert. Es ist revolutionär, denke ich, denn diese Antwort ist, glaube ich, bisher allen entgangen. Es scheint, als sollte es darauf basieren, wie Verhältnisse rein mathematisch wirken, aber es ist tatsächlich komplexer als das, weshalb er es ein psychophysisches Modell der Harmoniewahrnehmung nennt. https://www.youtube.com/watch?v=CrmnaiyS5EE[![N . D. Cooks Video über sein musikalisches Dissonanzmodell für Dreiklänge] 2 ] 2

Es gibt eine kurze Antwort und eine längere, kompliziertere Antwort; Ich gebe hier nur die kurze Antwort zusammen mit den einfachsten Grundlagen der langen Antwort.

Die kurze Antwort lautet: Ja, das gibt es, irgendwie. Wenn Sie das Verhältnis der Frequenzen der beiden Tonhöhen nehmen, erhalten Sie in niedrigsten Termen einen Bruchteil. Je kleiner die Zahlen in diesem Bruch sind, desto konsonanter ist das Intervall. Beispielsweise haben zwei Tonhöhen im Unisono ein Verhältnis von 1:1. Eine Oktave hat ein Verhältnis von 2:1. Eine perfekte Quinte (wie C zu G) hat ein Verhältnis von 3:2 usw. Matthew leistet in seiner Antwort gute Arbeit und erklärt, warum Verhältnisse mit kleineren Zahlen konsonanter klingen als Verhältnisse mit größeren Zahlen.

Aber das alles wird noch komplizierter durch das Temperament, also die Art und Weise, wie Tonhöhen relativ zueinander gestimmt werden. Angenommen, Sie stimmen Ihr A auf 440 Hz und fangen dann an, die anderen Noten relativ zu diesem A zu stimmen, wobei Sie die ganzzahligen Verhältnisse als Richtlinie verwenden. Sie stimmen E beispielsweise auf 660 Hz. Für die ersten paar Noten wird alles großartig klingen, aber es wird nicht zu lange dauern, bis Sie beginnen, einige seltsame Intervalle zu hören. Einige Intervalle haben schöne, ganzzahlige Verhältnisse, aber andere, von denen Sie denken, dass sie gut klingen sollten, wie die große Terz von Eb bis G, klingen wirklich schlecht. Um es kurz zu machen, es stellt sich als unmöglich heraus , alle zwölf chromatischen Töne mit ganzzahligen Frequenzverhältnissen zu stimmen und alles richtig hinzubekommen. Mathematisch geht das einfach nicht.

Irgendwo muss man also Abstriche machen. Es gibt viele, viele verschiedene Möglichkeiten, einen solchen Kompromiss einzugehen, und ich werde sie hier nicht im Detail beschreiben. Aber in den letzten zweihundertfünfzig Jahren haben wir uns auf ein Stimmungssystem namens Equal Temperament festgelegt . In diesem System beginnen Sie mit einer Referenztonhöhe (z. B. A440), und dann beträgt die Frequenz jeder zweiten Note 2 ^n/12 , wobei n die Anzahl der Halbtöne über der Referenztonhöhe ist.

In diesem System hat keines der Intervalle ganzzahlige Verhältnisse. Aber alle Intervalle sind konsistent (einige würden sagen, dass sie durchweg unvollkommen sind), und so können Sie in jeder Tonart spielen. Es ist ein effektiver Kompromiss, aber Sie verlieren die Reinheit echter ganzzahliger Verhältnisintervalle. Und so stellt sich heraus, dass die kurze Antwort, die ich oben gegeben habe, nur irgendwie richtig ist, weil die Konsonantenintervalle Verhältnisse haben, die fast , aber nicht wirklich, schöne kleine ganzzahlige Verhältnisse sind.

Die Verwendung der empirischen Formel A + B geteilt durch AB, wobei A und B das Frequenzverhältnis der beiden Noten dieses Intervalls darstellen, scheint ein absolutes Maß für die Größe des Konsonanzgrades wie folgt zu geben

Unisono-Frequenzverhältnis 1:1 ergibt den Wert 2

Oktav-Frequenz-Verhältnis 2:1 ergibt einen Wert von 1,5

Das perfekte 5. Frequenzverhältnis 3:2 ergibt einen Wert von 0,833

Das perfekte 4. Frequenzverhältnis 4:3 ergibt einen Wert von 0,583

Das Verhältnis der großen Sexten von 5:3 ergibt einen Wert von 0,533

Großes Terzverhältnis 5:4 ergibt einen Wert von 0,45

Kleines Terzverhältnis 5:6 ergibt einen Wert von 0,366

Moll-6.-Frequenzverhältnis 5:8 ergibt einen Wert von 0,325

Großes 2. Frequenzverhältnis 8:9 ergibt einen Wert von 0,236

Das große 7. Frequenzverhältnis 8:15 ergibt einen Wert von 0,192

Kleines 7. Frequenzverhältnis 9:16 ergibt einen Wert von 0,174

Moll 2. Frequenzverhältnis 15:16 ergibt einen Wert von 0,129

Obwohl die verwendete Formel empirisch ist, halten sich die Ergebnisse bemerkenswert genau an die akzeptierte Ordnung des Konsonanzgrades der harmonischen Intervalle innerhalb einer Oktave

nur ein paar ergänzende Anmerkungen:

1. Um ein Dissonanzmaß zu berechnen, sollte man Harmonische berücksichtigen, dh alle paarweisen Beiträge zum Maß berechnen und sie zusammenfassen (nicht allzu schwer zu tun).
2. Für Akkorde mit mehr als zwei Tonhöhen summieren Sie einfach alle paarweisen Beiträge zu Takt, Grundtönen und Obertönen.
3. Die Dissonanz nimmt mit der Entfernung ab: Oktaväquivalenz funktioniert in dieser Hinsicht nicht wirklich. Eine kleine Sekunde ist dissonanter als eine kleine Neun, die wiederum dissonanter ist als eine kleine 17.

Nehmen Sie die ganze Theorie mit einem Körnchen Salz. Sie können Peperoni lieben oder Peperoni hassen.

Sie denken vielleicht, dass der Dur-Septakkord (zum Beispiel CEGB), der viele Jazzkompositionen und Darius Milhauds „La Création du Monde“ beendet, die schönste Konsonanz ist, die man sich vorstellen kann, weitaus interessanter als ein einfacher Dreiklang. Oder Sie denken vielleicht, es ist die schrecklichste Dissonanz.

Konsonanz und Dissonanz können objektiv definiert werden, wie Sie in den anderen Antworten sehen, aber die meisten Menschen betrachten sie als subjektive Begriffe. Als solche hängen sie von den Ohren, dem Geschmack und der Geschichte des Hörers ab.

Das Problem mit der Harmonic Distance-Formel von Tenney und anderen Formeln besteht darin, dass für höhere Primes und Composites in Verhältnissen, die nahe an einfachen Verhältnissen klingen, gemessen wird, dass sie ein größeres HD haben, zum Beispiel 3001/2000 klingt unglaublich nah an einer perfekten Quinte, hat aber a sehr großes HD, obwohl es konsonant wäre. Hier ist ein Artikel über Harmonizität, in dem die Formel für viele Situationen funktioniert, aber wahrscheinlich das gleiche Problem hat: https://www.mat.ucsb.edu/Publications/Quantification_of_Harmony_and_Metre.pdf

Sie haben "Akkord" geschrieben, aber nur über zwei Notenkombinationen gesprochen, und die Antwort ist bereits markiert. Vergessen Sie auch nicht, dass wir hier über Musik sprechen. Gemessen wird nicht der körperliche Ton, sondern die Wahrnehmung des Zuhörers.

Ich wollte trotzdem antworten, dass für 'echte' Akkorde mit drei oder mehr Gliedern die einfache Mathematik nicht mehr gilt. Die psychologische Komponente wird wichtiger. Ein erweiterter Akkord (ceg#) ist eine (unvollkommene) Konsonanz für alle Kombinationen, wird jedoch als einer der dissonantesten Akkorde wahrgenommen.

Auch bei Zwei-Noten-Kombinationen spielt es eine Rolle, in welcher Oktave man sie spielt. Dissonante Intervalle sind weniger dissonant, wenn Sie sie eine Oktave auseinander spielen, während konsonante Intervalle weniger konsonant sind, wenn sie auseinander gespielt werden, beides psychologische Effekte.

Es gibt andere Parameter außer der Tonhöhe, die übernehmen können. Selbst mit nur Abstimmungsintervallen am unteren Ende unseres Hörspektrums klingen sie nicht annähernd so "gut" wie im mittleren Bereich. Unser Gehör ist nicht linear, es hat bevorzugte Bänder im Audiospektrum, wo sich die gesprochene Sprache befindet.

Ich würde dies eher aus einer rein musiktheoretischen Perspektive als aus einer Signalverarbeitungs- oder EE- oder Audiotechnik-Perspektive beantworten. Das Problem, wenn Sie diesen Weg einschlagen (IMO), besteht darin, dass Sie auf alle möglichen Signale stoßen, die auf einem Oszilloskop beobachtet oder durch eine FFT geleitet werden können, die überhaupt nicht musikalisch sind, es könnte der Klang des Metalls sein Metallkreischen eines Schienenfahrzeugs auf den Gleisen. Musikalisch alle Arten von Halbtönen, die nicht auf der diatonischen oder chromatischen Tonleiter vorkommen.

Aus musiktheoretischer Sicht wird die Dissonanz durch die Anzahl der ALTERED-Noten im Akkord gemessen. Veränderte Noten sind einfach b5, #5, b9 und #9. In C-Dur sind dies Gb, G#, Db bzw. D#. Beachten Sie, dass dies alles einen 1/2-Schritt über und unter der 5 und dem Tonikum (Grundton) des Akkords ist. Der Grundton und die 5 sind die am stärksten konsonant klingenden Noten. Wenn Sie also Noten nur 1/2 Schritt entfernt spielen, erhalten wir den dissonanten Klang.

Gehen Sie zu einem Klavier oder einer Gitarre und spielen Sie einen Akkord nur mit diesen Noten – G, C#, G#, C – der 5, b9, #5 und dem Grundton in aufsteigender Tonhöhe. Das ist ungefähr so ​​dissonant, wie Sie es hören wollen.

Vielleicht relevant nach neun Jahren :-) Wie sortiert man nach Tonhöhenähnlichkeit?

Die oben beschriebene Methode beruht auf der Annahme, dass zwei Töne im Verhältnis $a/b$ konsonant klingen, wenn $a,b$ kleine Zahlen sind.

Ich habe die Funktion $k(a,b) = \frac{\gcd(a,b)^2}{ab}$ verwendet, um die Einfachheit des Verhältnisses und damit die angenommene Konsonanz zu messen. Wenn die Funktion einen Wert nahe eins annimmt, klingen die beiden Tonhöhen konsonant (wieder müssen Sie Lautstärke und Dauer subjektiv gewichten), andernfalls klingen sie dissonant, wenn sie einen Wert nahe Null annimmt.

Da Sie den Computer nutzen möchten, könnte auch dieser Link zu einem Notizen-Datensatz im Vektorformat hilfreich sein:

https://www.kaggle.com/musescore1983/measuring-note-consonance-with-psd-kernel

Ja, es gibt eine neue Methode, die ich entwickelt habe:

Es basiert auf einem Dissonanzindex basierend auf der Modulator-Träger-Gleichung und der Anzahl der Spitzen und Amplitudenvariationen der aus Akkorden resultierenden Schallwelle (einschließlich des Modulationseffekts).

Eine Zunahme der Anzahl von Amplitudenspitzen und deren Schwankungen erzeugt mehr Stress und ein unangenehmes Gefühl für die Ohren. Das Verfahren beinhaltet einige Überlegungen zur zeitlichen Auflösung und der zeitlichen Modulationsfunktion.

Basierend auf diesem neuen Konzept wurde eine neue Musikskala mit den besten konsonanten Zwei-Noten-Akkorden konstruiert, die aus Brocot-Sequenzen extrahiert wurden, und sie kann auf eine beliebige Anzahl von Noten erweitert werden, so dass eine Tabelle mit allen konsonanten Akkorden (bis zu 6 Noten) für diese Tonleiter ist enthalten. Es muss angemerkt werden, dass es auf eine beliebige Anzahl von Noten erweitert werden kann.

Diese neue Skala basiert nicht auf dem alten Octave-Mythos, sondern nur auf wissenschaftlichen Grundlagen.

Sehr kurze Erklärung: Es ist notwendig, nach einem anderen Weg zu suchen, Konsonanz zu definieren und zu messen, und von oben her darf die Konsonanz, die das Grundprinzip der Musik sein muss, weder das geometrische Verhältnis als erzeugendes Prinzip noch der alte Oktavmythos durchsetzen ' als das herrschende Prinzip für die Aufteilung der ganzen Reichslaute und die Aufstellung von Gesetzen über ihre Gleichheit, noch das Konzept von Bs und Kreuzen infolge der Inkongruenzen in der Konstruktion der Tonleitern, noch die Gleichheit der Intervalle zwischen den Verhältnissen zu erfüllen Anforderungen an Musikinstrumente.

Wir alle haben viele Kompositionen gehört, die wir sehr angenehm finden, aber wir haben auch klassische Stücke mit vielen dissonanten und unangenehmen Akkorden gehört, und zwar nicht gerade, weil sie absichtlich konstruiert oder ausgeführt wurden, um einen emotionalen Zustand in der Komposition darzustellen, sondern einfach deshalb es sind sehr dissonante Akkorde, die diese Tonleitern bewohnen, und andere Musiker ziehen es vor, sie nicht in ihren Musikstücken zu verwenden.

Diese Arbeit zielt darauf ab, einen wissenschaftlichen Weg zu finden, um einen Index zur Messung von Dissonanzen zu erstellen. Auf diese Weise werden wir zunächst mit der Geometrie der Eingabe von zwei Lauten arbeiten, später kommentieren wir, wie diese Analyse auf eine beliebige Anzahl von Lauten erweitert werden kann.

Das folgende Bild ist aus mehreren Gründen sehr wichtig,

hier sieht man verschiedene wellenarten, entsprechend den verhältnissen 7/1, 3/1, ich meine von oben nach unten, 7/1, 3/1, 5/2, 2/1 das ist die oktave, 4/3 , und 9/8.

Welcher hat Ihrer Meinung nach das einheitlichste Aussehen? Das Verhältnis 3/1 sieht gleichmäßiger aus, da seine Amplitudenspitzen alle gleich sind, es keine Verformung oder Wellenmodulation gibt und die Spitzenverteilung völlig gleichmäßig ist.

Wenn wir von 9/8 aufwärts gehen, können wir sehen, dass 9/8 eine modulierte Welle ist, und das passiert, wenn die Frequenzen sehr nahe beieinander liegen. Der Modulationseffekt nimmt nach oben zur Oktave hin ab, und an diesem Punkt ist die Modulation noch nicht verschwunden, was bedeutet, dass das Verhältnis 2/1 – der Oktav-Akkord – zur Modulationszone gehört, 2/1 ist es sicherlich eine weitere modulierte Welle.

Weiter nach oben tendiert die Modulation dazu, zu verschwinden, bis wir das Verhältnis 3/1 erreichen, wo es keine Spur mehr davon gibt, die Welle ist völlig gleichmäßig.

Ab 3/1 aufwärts hat die Welle immer diese sinusförmige Form, sie scheint durch zwei imaginäre Hüllkurven begrenzt oder begrenzt zu sein, wie im Bild oben zu sehen ist, zwei parallele sinusförmige Hüllkurven, die der Welle eine Art konstante Dicke verleihen .

Andererseits gibt es in der Zone oberhalb des Verhältnisses 3/1 nicht die gleiche Vielfalt an Wellenformen wie in der unteren Zone. Im Fall des Verhältnisses 3/1 scheinen diese Hüllkurven zu zwei parallelen geraden Linien zu werden.

Wenn wir von 3/1 nach unten in Richtung 1/1 gehen, scheinen sich diese imaginären sinusförmigen Hüllkurven relativ zueinander zu verschieben, und die Phasenverschiebung setzt sich fort, bis sie die typischen Paketformen (Modulation) erzeugt und diese Hüllkurven nicht mehr parallel sind, sondern symmetrisch zueinander wie im Fall von 9/8.

Aus dem obigen Bild lassen sich zwei Schlüsse ziehen:

Erstens gibt es zwei bestimmte Zonen, die den Akkordbereich unterteilen, die obere Zone über dem Verhältnis 3/1 und die untere Zone unter 3/1, die wir als Modulationszone bezeichnen könnten.

Somit ist das Verhältnis 3/1 ein wahrer Meilenstein für die Definition der Akkordkonsonanz, noch wichtiger als die Oktave.

Die zweite Schlussfolgerung ist, dass es innerhalb des Intervalls [1,3] zwei gemischte Arten von Konsonanz gibt, die erste, die durch die Anzahl der Spitzen und ihre Amplituden bestimmt wird, und eine andere Dissonanz, die durch die Wellenpackung eingeführt wird, dh die Modulation.

In Anbetracht dessen sollte die unmittelbare Handlung darin bestehen, einen Dissonanzindex basierend auf dem Wert der Akkordfrequenzen zu konstruieren. Auf diese Weise wurde ein Programmiercode entwickelt, um irreduzible rationale Zahlen gemäß den bekannten Brocot-Folgen zu erzeugen, die verwendet werden als Frequenzverhältnisse in der Carrier-Modulator-Gleichung, um schließlich die benötigten Parameter für den Dissonanzindex zu erhalten.

Durch die Verwendung eines solchen Dissonanzindex werden wir die konsonantesten Verhältnisse auswählen, um die „Triplice“ genannte Tonleiter zu erstellen, die ausschließlich auf den konsonantesten Zwei-Noten-Akkorden basiert, ein ganz anderes Prinzip als das, das in traditionellen Tonleitern verwendet wird.

Natürlich stimmen einige Werte dieser neuen Skala mit einigen Verhältnissen von benutzerdefinierten Musikskalen überein, da es offensichtliche Konsonanzen gibt, andere jedoch nicht.

Folgt der Summengleichung zweier Sinuswellen

ausgedrückt als das Produkt einer modulierenden Funktion Kosinus und einer anderen Sinusfunktion namens Träger, deren Frequenz der Durchschnitt der Frequenzen des Zwei-Klang-Akkords ist

(Die resultierende Welle wird durch die dickste Kurve dargestellt)

Neben der resultierenden Welle sind der Modulator und die Trägerwellen enthalten: Kosinus und Sinus.

Das wichtigste Element hierbei ist das Verhältnis einer halben Modulatorperiode zur gesamten Trägerperiode.

Im Fall des Verhältnisses 3/1 umfasst eine halbe Modulatorperiode nur eine Trägerperiode, und das ist wichtig, weil es erklärt, warum das Verhältnis 3/1 eine Art Grenze für Akkordtypen darstellt, da das Verhältnis von 3/ absteigt. 1 in Richtung 1/1, überspannt eine halbe Modulatorperiode viele Trägerperioden. Andererseits tritt in der oberen Zone, die allen Verhältnissen größer als 3/1 entspricht, das Gegenteil ein, die Trägerperiode ist immer größer als eine halbe Modulatorperiode.

Nun stellt sich die Frage: Wie wirkt der Modulator auf den Träger, um die resultierende Welle zu erzeugen? Für das Verhältnis 3/1 und innerhalb der Grundperiode der resultierenden Welle schneiden sich der Modulator und der Träger gleichzeitig auf der horizontalen Achse, auf beiden Seiten dieses Punktes ändert der Modulator sein Vorzeichen und da er das Produkt von ist den Kosinus durch den Sinus, dann ändert auch die ganze Trägerspitze ihr Vorzeichen.

Außerdem skaliert der Modulator auch die Trägerspitzenamplitude, jedoch ohne deren Form zu verändern (siehe Anmerkungen) und als Ergebnis schließlich eine so gleichmäßige Wellenform.

Im Fall des Verhältnisses 2/1 fällt der Träger nicht mit dem Modulator zusammen, wenn er die horizontale Achse schneidet, und an diesem Punkt modifiziert der Modulator aufgrund seines Vorzeichenwechsels die Form der Trägerwelle und eine neue zusätzliche Spitze entsteht in der resultierenden Welle. Daher skaliert der Modulator nicht nur die Trägerspitze, sondern modifiziert auch die Trägerwellenform (siehe Anmerkungen).

Wie ich bereits für Verhältnisse näher an 1/1 sagte, überspannt eine halbe Modulatorperiode viele Trägerperioden, und so werden ihre Amplitudenspitzen nur allmählich gemäß der Kosinusfunktion gepackt, dh wie im Fall von 9/8, den wir gesehen haben vorhin.

An dieser Stelle ist es wichtig, das Problem mit der Genauigkeit der Ohren beim Decodieren und Verarbeiten der Eingabe zu erwähnen, ich meine unter anderem die zeitliche Auflösung der Ohren und die zeitliche Modulationsfunktion, mit denen sich Spezialisten auf diesem Gebiet einig sind, dass es für niedrige Frequenzen wird leichter für das Ohr, den Unterschied in der Modulationsamplitude wahrzunehmen, während bei hohen Frequenzen diese Art der Wahrnehmung abnimmt, daher kann bei niederfrequenten Akkorden die Modulationsdissonanz teilweise wahrgenommen werden, was zu beachten ist dies tritt sogar bei der Oktave auf, nicht jedoch beim Verhältnis 3/1.

Daher sollten die Ausdrücke „rein“ und „perfekt“, neben vielen anderen, die üblicherweise in der Musik verwendet werden, nicht verwendet werden, um Verhältnissen unter 3/1 Bedeutung zu verleihen. Für die Verhältnisse 4/3 und 5/4 benötigen Sie keine sehr tiefen Frequenzen, um die Modulationsdissonanz wahrzunehmen.

All dies ist im Buch ausführlich beschrieben, und für den Fall eines Konsonanzvergleichs zwischen verschiedenen Akkorden ist eine Tabelle mit den entsprechenden Parametern enthalten. Beachten Sie in den auf dem Bildschirm angezeigten Bildern, dass alle Trägerspitzen mit den resultierenden Wellenspitzen übereinstimmen.

Das Verhältnis zwischen einer halben Modulatorperiode und der gesamten Trägerperiode, das im obigen Bild als Verhältnis 'r' dargestellt ist, erleichtert es zu verstehen, wie die Wellenform erzeugt wird, und ermöglicht auch die Berechnung der Anzahl der Spitzen und ihrer Amplituden.

Es bestätigt, dass die Ratio 3/1 ein Meilenstein ist, der einen ganz besonderen Punkt für die Ratio 'r' darstellt, außerdem bringt sie die Grenze zwischen zwei Zonen, zwei Akkordkategorien oder Wellenformtypen zum Vorschein. Interessant ist die Verteilung der Trägerspitzen innerhalb der Intervalle [2,3] und [1,2].

Das folgende Bild zeigt die y-Achse, die die Anzahl der Trägerspitzen darstellt, und die x-Achse, die die Frequenzverhältnisse darstellt.

Der Name: Harmonies Garden ist nur eine Abstraktion, aufgrund der Ähnlichkeit dieses Bildes mit einem Wald oder einem Garten. Dieses Bild zeigt viele merkwürdige Eigenschaften. hauptsächlich beim Zoomen und Detaillieren am unteren Ende der Büsche, die dort natürlich erscheinen, wenn ich sie so nennen darf.

Ein Programmiercode wurde entwickelt, um die Brocot-Sequenzen zu erzeugen, und durch Verarbeitung der Parameter der resultierenden Welle sowie unter Verwendung der Carrier-Modulator-Gleichung wird ein geometrischer Dissonanzindex berechnet.

Dieser geometrische Dissonanzindex wird mit dem Akronym Idm bezeichnet und beruht auf verschiedenen Faktoren.

Wie Sie sehen können, erscheint der Idm in der letzten Spalte der Tabelle, von der hier nur ein kleiner Ausschnitt gezeigt wird. Außerdem gibt es zwei Idm-Verteilungsgraphen für die Intervalle [1,2] und [2,3], die der besseren Sichtbarkeit wegen getrennt auf dem Bildschirm erscheinen.

Beachten Sie nur, dass sie miteinander verbunden werden sollten, da wir es mit der gesamten Tonleiter zu tun haben [1,3].

Diese beiden Diagramme ermöglichen es uns, die Verhältnisse mit den niedrigsten Dissonanzindizes auszuwählen, ich meine die Verhältnisse, die in beiden Diagrammen neben den niedrigsten Scheitelpunkten angezeigt werden.

Die y-Achse gibt den Dissonanzindex an, und die x-Achse repräsentiert die entsprechenden Frequenzverhältnisse.

Das sind die gewählten Verhältnisse für die neue Skala namens: The Triplice, natürlich steht es jedem frei, Verhältnisse von anderen Scheitelpunkten hinzuzufügen oder andere nach beliebigen Kriterien zu eliminieren.

Es geht darum, eine Grenze für den Dissonanzindex festzulegen. Es ist auch die Modulator-Träger-Gleichung für mehr als zwei Sinuswellen enthalten, sodass der Dissonanzindex für eine beliebige Anzahl von Klängen berechnet werden kann.

In diesem Fall hat der Ausdruck grundsätzlich die gleiche Struktur, er hat mehrere modulierende Kosinusfunktionen, die sich mit einer Trägersinusfunktion multiplizieren, und unter Verwendung dieser Gleichung kann ein ähnliches Verfahren leicht befolgt werden, um den Dissonanzindex zu berechnen.

Eine andere Möglichkeit, die Dissonanz zu bestimmen, besteht darin, die Klänge in Zwei-Noten-Sätzen zu gruppieren und dann die Summe oder den Durchschnitt für alle diese Sätze zu berechnen.

Es sollte auch beachtet werden, dass es notwendig ist, eine Spektralanalyse durchzuführen, um Vergleiche zwischen Harmonischen anstellen zu können, und dass dies für manche Menschen eine Unannehmlichkeit darstellen könnte. Daher wird allgemein argumentiert, dass zur Bestimmung der Konsonanz die Wellen dissonant sind, deren Harmonische keine übereinstimmenden Knoten haben. Das Problem besteht jedoch darin, dass beim Vergleichen von Akkorden nicht alle Knoten der Harmonischen mit maximaler Amplitude übereinstimmen es wird sehr schwierig zu bestimmen, was dissonanter ist und in welchem ​​Ausmaß. Mit dem Modulationsdissonanzindex gibt es kein solches Problem.

Hinweis: Anwendungen für Statik (Structural Engineering)

Schließlich ist das Konsonanzfach zwar immer künstlerisch orientiert, könnte aber auch für die Ingenieurwissenschaften von Bedeutung sein. Für einen Statiker oder Maschinenbauer sind die Schwingungsmoden einer Struktur, die in der Musik meist als „Harmonische“ bezeichnet werden, das Rückgrat der Strukturanalyse, also neben der Berücksichtigung der Resonanzphänomene auch die Beteiligung der Massen in den Kräften, die auf die Struktur einwirken, aufgrund dieser Obertöne, wie es üblicherweise in der Strukturanalyse gemacht wird, dann würde es auch in die Analyse einbeziehen, was ich die Konsonanz der Massen oder die Musik der Strukturen nennen könnte, dann den Dissonanzindex Idm könnte verwendet werden, um den Verdrängungsbedarf an der Struktur im Voraus abzuleiten.

Denken Sie daran, dass ein Konsonantenakkord eine kleine Anzahl von Amplitudenspitzen, weniger wellengeometrische Komplexität, geringe Anforderungen an die Ohren und minimalen Energiedissipationsbedarf hat.

Vollständige Informationen zu dieser Methode finden Sie unter: https://numbermusicrevolution.com/musicrevolution/

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