Gibt es eine SU(∞)SU(∞)SU(\infty)-Eichtheorie in der Quantenfeldtheorie?

Die Gruppen U ( N ) Und S U ( N ) sind die wichtigsten Lie-Gruppen in der Quantenfeldtheorie. Am beliebtesten sind die U ( 1 ) , S U ( 2 ) , S U ( 3 ) Gruppen (diese Spurweitengruppen bilden das Standardmodell). Aber wird dort erwähnt a S U ( ∞ ) Eichtheorie in der physikalischen Literatur?

Ein Beispiel für eine solche Theorie könnte das folgende sein: Kann sein G ∈ S U ( ∞ ) glatt und für eine Funktion F ( X , j ) mit Raumzeitkoordinate X und das neue S U ( ∞ ) Freiheitsgrad j es hält G F ( X , j ) = ∫ D 4 j ( G ( X , j , j ' ) F ( X , j ' ) ) . Jetzt ist es einfach, einen Eichanschluss und die Eichfeldstärke zu definieren.

Mit weniger theoretischen Worten: Einige Quantenzustände haben Entartungen und diese Entartungen basieren auf einer speziellen Symmetrie (Operator), die in einem Quantensystem existiert. Wenn nun der Entartungs-Symmetrie-Operator unitär und lokale Symmetrie ist, kann man eine Eichtheorie definieren. Wurde dieses Konzept in der Quantenmechanik verwendet oder ist ein solches Konzept sinnvoll?

Ein weiterer interessanter Fall ist dieser: Man kann den folgenden Koordinatentausch durchführen G ( X , j , j ' ) = G ( X , X − j , X − j ' ) und damit die Generatoren T A ( j , j ' ) definiert von G ( X , j , j ' ) = ∑ A G A ( X ) T A ( j , j ' ) abhängig von der Raumzeitkoordinate werden. Eine andere Frage: Ist es möglich, raumzeitabhängige Generatoren einer Lie-Algebra zu definieren?

Wie schlagen Sie vor zu definieren S U ( ∞ ) ?
Hier die internen Variablen j ∈ R 4 einen unendlichdimensionalen Vektorraum darstellen; dieser Vektorraum ist ein Hilbertraum.
S U ( N ) ist nicht einmal ein Vektorraum.
Außerdem ergibt Ihr Satz für mich im Allgemeinen keinen Sinn. Könnten Sie versuchen, es umzuformulieren?
Ich gehe davon aus, dass die G ist ein unitärer Operator, der auf den internen Freiheitsgrad wirkt j . Da lineare Operatoren als unendlich dimensionale Matrizen betrachtet werden können, während Vektoren Funktionen sind, habe ich über die Matrixdarstellungen gesprochen S U ( ∞ ) .
Bevor Sie eine Darstellung definieren, können Sie definieren S U ( ∞ ) ?
Der Raum S U ( ∞ ) ist definiert als die Menge aller Operatoren e X P ( ich Λ ) Wo Λ ein Operator auf dem Hilbert-Raum ist und gilt T R ( Λ ) = ∫ D 4 j Λ ( j , j ) = 0
ich bin ziemlich sicher S U ( ∞ ) ist kein Ding, aber in der konformen Feldtheorie haben Sie es mit Dingen zu tun, die Kac-Moody (Affine Lie) Algebren genannt werden, die unendliche dimensionale Erweiterungen Ihrer üblichen Algebren sind. Allgemein geschrieben wie U ^ ( 1 ) , S U ^ ( 2 ) , usw.

Antworten (2)

Kommentare zur Frage (v2):

  1. Die Idee, das Planare als groß zu betrachten N C → ∞ eingrenzen _ S U ( N C ) QCD geht zurück auf Ref. 1.

  2. In der Lichtkegelmembran -Theorie , bahnbrechend in Ref. 2, die Gruppe S U ( ∞ ) wird natürlicherweise mit flächenerhaltenden Diffeomorphismen identifiziert S D ich F F 0 ( T 2 ) auf dem Torus T 2 mit der Identität verbunden.

  3. Konkret ähnelt der Vorschlag von OP einer Fourier-Reihenerweiterung einer zusätzlichen (kompakten) Raumzeitdimension. Solche Übungen sind in der Stringtheorie üblich.

Verweise:

  1. G. 't Hooft, Eine planare Diagrammtheorie für starke Wechselwirkungen, Nucl. Phys. B72 (1974) 461 .

  2. J. Goldstone, unveröffentlicht; J. Hoppe, MIT Ph.D. Dissertation, 1982.

Auf arxiv.org gibt es anscheinend mehrere tausend Verweise auf "SU(\infty)", und einige von ihnen sprechen definitiv von Pegelfeldern oder Yang-Mühlen.

Ich vermute, dass dies manchmal nur eine Art sein wird, über die große N-Grenze von SU(N) zu sprechen, dh nicht auf eine wörtliche SU(∞)-Feldtheorie zu verweisen, sondern eher auf die N→∞-Grenze von einigen Größe in der SU(N)-Feldtheorie.

Danke für deine Antwort. Ich habe gefragt, ob es möglich ist, dass die Generatoren der lim N ↦ ∞ S U ( N ) Gruppe sind explizit raumzeitabhängig. Generatoren von Yang-Mills-Theorien wie QCD sind konstante Matrizen (Gell-Mann-Matrizen), aber ist es für eine Feldtheorie möglich, dass Generatoren explizit von der Raumzeitkoordinate abhängig sind?
@kryomaxim Ich denke, die Tatsache, dass Sie eine Basis für eine endliche Gruppe wählen, liegt daran, dass sie endlich ist. Sie müssten jede Theorie berücksichtigen, an der Sie arbeiten, ohne die Grundlage zu berücksichtigen. Wenn alles gut geht, denke ich, dass es funktioniert. Ich mache diese Analogie mit der Art und Weise, wie Mathematiker mit unendlich dimensionalen Vektorräumen umgehen.
Sogar für die Lorentz-Gruppe, mit der Sie, wie ich vermute, wollen, dass Ihre verallgemeinerte SU(N) pendelt, hängen die Matrizen selbst nicht von Koordinaten ab, obwohl sie natürlich koordinatenabhängige Generatoren darstellen. Ich frage mich, ob Ihre Frage auf die Tatsache zurückzuführen ist, dass unendlich N normalerweise unendliche Mengen von ganzen Zahlen abgrenzt, die bei Fourier-Transformation zu kontinuierlichen Flächen vom Typ Phasenraum führen, vgl. , als Antwortadressen von Qmechanic in 2 & 3; aber solche Oberflächen sind untergeordnete Konstrukte aus Weltschichten und nicht unsere Raumzeit.
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