Vielleicht besser, gibt es eine barrierefreie Version der Principia? Ich suche nach einer Zusammenfassung, die Russells Argumentation hinter seiner berühmten Schlussfolgerung, dass 1 + 1 = 2, zusammenfasst und verdeutlicht.
Eine einführende Darstellung finden Sie in: Richard Zach, Principia Mathematica and the Development of Logic (2010).
Eine ausführlichere Darstellung findet sich in: Ivor Grattan-Guinness, The Search for Mathematical Roots, 1870-1940 , Princeton UP (2000), Ch.7 .
Das Problem ist, dass der "Standard"-Beweis von 1+1=2 aus Peanos Axiomen ziemlich einfach ist: Er benötigt sehr wenige Zeilen, beginnend mit der Definition von 1 und 2 und dem Axiom für + .
In PM hingegen werden die Peano-Axiome selbst von grundlegenderen Prinzipien und Definitionen abgeleitet, und dies ist viel länger.
Wie Sie dem Nachdruck der ersten Kapitel entnehmen können: Alfred North Whitehead & Bertrand Russell, Principia Mathematica to #56 , Cambridge UP (2nd ed 1927), befindet sich die Definition von 1 auf Seite 345: Def 52.01 .
Die Definition an sich ist ganz einfach:
1 = die Klasse aller Klassen α mit α = { x } für ein x (Def).
{ x } ist ein Singleton , dh eine Klasse mit dem einzigen Element x . Somit ist 1 als die Klasse aller Klassen mit genau einem Mitglied definiert.
Das erste daraus bewiesene Resultat ist:
52.1 eine Klasse α ∈ 1 genau dann, wenn α = { x } für ein x .
Wie Sie sehen können, ist der Detaillierungsgrad sehr hoch.
Dann haben wir (Seite 358) die Definitionen von 0 und 2 ; aus ihnen werden mehrere weitere Resultate bewiesen:
54.101 eine Klasse α ∈ 2 genau dann, wenn es x,y gibt mit x≠y und α = { x } ∪ { y } .
54.102 eine Klasse α ∈ 0 genau dann, wenn α die leere Klasse ist.
Schließlich (Seite 360) kommen wir zu:
54.43 Wenn Klassen α, β ∈ 1 , dann ist α ∩ β leer genau dann, wenn α ∪ β ∈ 2 .
Aus diesem Satz folgt, wenn die arithmetische Addition definiert ist [Hervorhebung hinzugefügt], dass 1 + 1 = 2 .
Nicht hier
Frank Hubeny
Mark Andrews
Markus S.