Was ist der Unterschied zwischen Identität und Äquivalenz?

Klassisch gibt es keinen Unterschied. Identität ist ein zweistelliges Prädikat, das den Wert wahr hat, wenn seine Argumente numerisch identisch sind, und andernfalls falsch. Man kann ein solches Prädikat als Identisch(x,y) schreiben oder man kann es als x=y schreiben. Letzteres ist nur „syntaktischer Zucker“, der Sätze leichter lesbar macht, aber dasselbe ausdrückt. Auf diese Weise wird Identität in der Logik verwendet, insbesondere in der Prädikatenlogik und im weiteren Sinne in der Mathematik.

Zu sagen, 1=1 drückt keine Identität aus, weil es einen räumlichen Unterschied zwischen links und rechts gibt, und verwechselt das Ding mit dem Symbol, das es bezeichnet. Die Zahl Eins ist mit sich selbst identisch. Natürlich ergibt sich eine ernsthafte Frage darüber, wie Symbole Dinge bezeichnen, und darüber wird viel diskutiert. Frege vertrat die Auffassung, dass Namen eine Art abgekürzter eindeutiger Beschreibung sind, aber dies ist nur eine von vielen Darstellungen der Bedeutung von Namen.

Es gibt viele Kontexte (intensionale Kontexte), in denen Identitätsbeziehungen die Ununterscheidbarkeit von Identischen zu verletzen scheinen. Zum Beispiel könnte „Mary weiß, dass George Orwell 1984 schrieb“ wahr sein, während „Mary weiß, dass Eric Blair 1984 schrieb“ falsch sein könnte (obwohl George Orwell = Eric Blair). Im Allgemeinen bedeutet dies, dass, während eine bestimmte Identitätsbeziehung einer rein extensionalen Äquivalenz in einer bestimmten Logik entsprechen könnte, es eine ausdrucksstärkere Logik geben könnte, in der diese Identitätsbeziehung nicht extensional ist.

Frege, Quine, Geach und Dummett sind es alle wert, zu diesem Thema studiert zu werden. Der SEP-Artikel über Identität ist eine hilfreiche Einführung.

Äquivalenz ist ein Grundbegriff der Mathematik, möglicherweise sogar der elementarste Grundbegriff. Zur Abstraktion wird die Äquivalenzrelation verwendet:

Man hat eine Menge von Objekten und möchte sie in Klassen gruppieren, wobei alle Mitglieder jeder Klasse die gleiche Eigenschaft haben. Alle Mitglieder einer Klasse sind bezüglich der gegebenen Eigenschaft gleichwertig, aber sie sind nicht gleich.

Ein einfaches Beispiel ist die Klasse der geraden Zahlen und die Klasse der ungeraden Zahlen. Jede ganze Zahl fällt in genau eine Klasse. Nun bildet man mit diesen beiden Klassen als Elementen die Menge FF_2. Bezeichnen Sie mit "0" die Klasse "Gerade" und mit "1" die Klasse "Ungerade". Dann können Sie Addition und Multiplikation für die beiden Elemente von FF_2 aus den entsprechenden Operationen auf der Menge der ganzen Zahlen ableiten. ZB definiert man 1 + 1 := 0 in FF_2, weil „ungerade“ + „ungerade“ „gerade“ ist.

Man geht also von der unendlichen Menge der ganzen Zahlen zur endlichen Menge FF_2 über, indem man eine Äquivalenzrelation einführt. Und diese Äquivalenzrelation respektiert Addition und Multiplikation.

Die obige Konstruktion bedeutet, zwei ganze Zahlen als äquivalent zu betrachten, wenn und nur sie den gleichen Rest ergeben, wenn sie durch n = 2 dividiert werden. Die gleiche Konstruktion kann für die Division durch ein beliebiges n ungleich Null erreicht werden. Das Ergebnis sind die Restklassen modulo n, also die Mengen mit den Elementen 0,1,2,...,n-1. Auch hier sind Addition und Multiplikation wohldefiniert.

Als Programmierer sehe ich das vielleicht etwas anders als andere.

Ich behandle identisch und gleich als verschiedene Dinge, vor allem, weil einige Programmiersprachen das tun.

In den meisten Fällen sind beide Dinge identisch und gleich, aber in einigen Fällen sind sie möglicherweise nur gleich, zum Beispiel:

1 und 1 sind identisch und gleich (gleicher Wert, gleicher Typ).

1 (Zahl) und 1 (Text) sind gleich, aber nicht identisch (gleicher Wert, aber von unterschiedlichem Typ). Wenn Sie kein Programmierer sind, werden Sie wahrscheinlich denken: „Hey, wie ist das überhaupt möglich, dass eine Zahl keine Zahl ist? ?", aber Dinge können verschiedene "Zustände" haben (nennen wir es so).

Ich sehe es also als gleich gleich und identisch als genau gleich.

Wenn Gleiches Gleiches ist , ist dann Ungleiches Gleiches Anders oder Anders? Und wenn anders, dann kann das Sein nicht eins sein, ein Argument von Sokrates an Parmenides.

Aber so wird Gleichheit in der Mathematik nicht theoretisiert.

Wenn Sie daran interessiert sind, wie mathematische Gleichheit durchdacht wird, dann finden Sie vielleicht einen Blick darauf, wie Gleichheit in der Kategorientheorie theoretisiert wird; Es gibt hier einen Blog - Eintrag von Baez zu seinem Aufsatz über „Konzepte der Gleichheit“, der sich genau damit befasst.

Eine Kiste ist wie sie selbst – Identität; und in diesem Sinne sagt hier nichts; aber was sagen wir, wenn wir sehen, dass eine Kiste nicht nur eine Kiste für sich ist, sondern so im Raum positioniert ist? Wäre es etwas anders im Raum positioniert - sagen wir, ich habe es ein wenig nach links geschoben; wäre das die selbe box?

Natürlich ja.

Aber das reduziert sich nur auf das, was vorher ging; denn ich nahm es aus dem All, um das zu sagen – in gewisser Weise, in gewissem Sinne; aber nicht wirklich - denn ich tat es nicht; so zu sagen, um zu veranschaulichen.

Also eine Kiste in Bezug auf den Raum nehmen; in Bezug auf seine Beziehung sehen wir, dass es anders, ungleich ist; und doch gleich.

X=X

und

X!=X

So ähnlich wie die heraklitische These von der Einheit der Gegensätze; von Aristoteles entlassen – aber nicht – ganz – denn er lehnte Plattitüden ab; die Äußerungen sind, die durch Wiederholung leer sind oder wie ein Banner über das Sein getragen werden.

Oder, wie im ersten Vers des Dao :

Diese beiden entstehen zusammen

Aber unterscheiden sich in der Natur

Die Einheit soll das Mysterium sein

Oder, im letzten Vers von Borges Ars Poetica :

Tambien es como el rio endlos

Que pasa y queda y es cristal de un mismo

Heraclito inconstante, que es el mismo

Ja es otro, como el rio endlos

Und so verkörpert die Zeit für mathematische Operationen, selbst wenn sie pünktlich sind, niemals die Zeit: wenn A jetzt A ist und später B; wenn Veränderung ein Kontinuum ist, dann sind A und B in gewissem Sinne gleich; aber wenn A sich wirklich von B unterscheidet und so richtig verschieden ist, wann oder wie kann es dann zu Veränderungen kommen? Es ist eine Frage des Werdens und des Seins: Ich kann sagen, das Werden ist , und das Sein ist ; aber das bedeutet nicht ihre ontologische Reduktion; für Aristoteles ist das Sein zumindest in gewissem Sinne eine Grenze des Werdens.

In der Informatik unterscheidet sich Äquivalenz deutlich von Identität, so sehr, dass Computersprachen häufig beide als separate syntaktische Einheiten bereitstellen.

Ich habe festgestellt, dass in vielen Umgebungen Äquivalenz und Identität unterschiedlich behandelt werden. Äquivalenz erfordert immer eine Metrik, mit der Äquivalenz definiert wird („Halt die Klappe und pflücke einfach einen Apfel, Johnny. Sie sind beide gleich gut!“). Identität wird typischerweise eher als ein intrinsisches Merkmal behandelt.

Der häufigste Ort, an dem ich finde, dass die beiden Wörter in der Philosophie unterschiedlich behandelt werden, sind Szenarien, in denen Identität in Gegenwart von Klonen behandelt wird. In diesen Situationen ist es einfach, zwei äquivalente Klone zu erzeugen, aber es ist weniger sofort klar, ob eine Identitätsbeziehung vorliegt oder nicht. In diesem Zusammenhang ist das Konzept des Theseus-Schiffes eine wichtige Frage in der Identitätsphilosophie. Es ist immer jedem klar, dass das Schiff nach der Reparatur dem Schiff vor der Reparatur entspricht, aber die Debatte ist, ob es identisch ist oder nicht.

Ich finde, dass Menschen oft die Grenze zwischen Äquivalenz und Identität in Situationen verwischen, in denen es eine so offensichtliche Äquivalenzbeziehung gibt, dass sie zu einer Identitätsbeziehung „befördert“ wird. Dies ist leicht an der Phrase „1+1=2“ zu erkennen, die wörtlich „eins plus eins gleich zwei“ heißt, aber oft als „eins plus eins ist zwei“ vokalisiert wird.